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第六章
6.3　平面向量基本定理及坐标表示
平面向量及其应用
第1课时　平面向量基本定理
学习 目标 1．了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义，理解平面向量基本定理．
2．会用基底表示平面向量，掌握平面向量基本定理并能熟练应用．
新知初探·基础落实
向量共线定理的实质是：所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来．
问题：向量共线定理是否可以推广到所有共面的向量呢？
可以．所有共面的向量中，只要指定两个不共线的向量，则其他向量都可以用这两个向量表示出来．
一、 概念生成
1．如图所示，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量．请你将向量a分解成图中所给的两个方向上的向量．
如图所示，在平面内任取一点O，作＝e1，＝e2，＝a，然后过点C分别作所在直线的平行线，交，所在直线于M，N两点，则有＝λ1e1，＝λ2e2，所以a＝λ1e1＋λ2e2．
2．上述问题中的分解方法是否唯一？为什么？
分解方法唯一．事实上，若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，则λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1 μ1)e1＝(μ2 λ2)e2．因为e1与e2不共线，所以λ1 μ1＝0，μ2 λ2＝0，所以λ1＝μ1，λ2＝μ2．因此，分解方法是唯一的．
请同学阅读课本P25—P27，完成下列填空．
二、 概念表述
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个__________向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝_____________．
若e1，e2不共线，我们把｛e1，e2｝叫做表示这一平面内所有向量的一个_______．
2．平面向量基本定理的有关结论
(1) 设e1，e2是平面内一组基底，若a＝λ1e1＋λ2e2，当λ1＝0时，a与e2共线；当λ2＝0时，a与e1共线；当λ1＝λ2＝0时，a＝0，同样地，当a＝0时，λ1＝λ2＝0．
(2) 设a，b是同一平面内的两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则
不共线
λ1e1＋λ2e2
基底
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底． (　　)
(2) 一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底．(　　)
(3) 若{e1，e2}是平面内的一个基底，则{e1 e2，e2 e1}能作为平面内的一个基底． (　　)
(4) 基底向量可以是零向量． (　　)
×
√
×
×
典例精讲·能力初成
探究
1
对平面向量基本定理的理解
　　　(多选)如图，设O是□ABCD两对角线的交点，下列向量组中可作为该平面内所有向量基底的是 (　 　)
A．　 B．
C．　 D．
1
【解析】
　　　　不共线，∥，不共线，∥，则A，C可以作为该平面内所有向量的基底．
AC
两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，平面内的一个基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．
变式　(多选)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是 (　 　)
A．a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则＝
D．若存在实数λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
【解析】
　　　　由平面向量基本定理可知A，D正确．对于B，由平面向量基本定理可知，若平面的基底确定，那么同一平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故B不正确．对于C，当λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0时，结论不成立，故C不正确．
BC
探究
2
平面向量基本定理的应用
视角1　用基底表示向量
　　　　　(课本P26例1)如图，，不共线，且＝t (t∈R)，用，表示．
【解答】
　　　　因为＝t，所以＝＋＝＋t＝＋t()＝＋t t＝(1 t)＋t．
2－1
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对所求向量不断转化，直至用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
变式　如图，在□ABCD中，E，F分别为边BC，DC的中点，若＝a，＝b，试用基底{a，b}表示向量，．
【解答】
　　　　＝＋＋＝ ＋＋＝ ＋＋＝a b．
＝＋＋＝ ＋＋＝b a．
视角2　利用基本定理求参数
　　　　　如图，在△ABC中，O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n(m，n＞0)，则m＋n的值为 (　　)
A．2　　　　　B．3　　　　　C．　　　　　　D．5
【解析】
　　　　因为O是BC的中点，所以＝＋)．又因为＝m，＝n(m，n＞0)，所以＝＋．因为O，M，N三点共线，所以＋＝1，所以m＋n＝2．
2－2
A
(1) 设e1，e2是平面内的一个基底，当λ1e1＋λ2e2＝0时，恒有λ1＝λ2＝0．
(2) 已知平面中A，B，C三点共线(点O在该直线外)，若＝x＋y，则必有x＋y＝1．
视角3　利用基本定理解决几何问题
　　　　　(课本P26例2)如图，CD是△ABC的中线，CD＝AB，用向量方法证明△ABC是直角三角形．
【解答】
　　　　如图，设＝a，＝b，则＝a＋b，＝ b，于是＝a b，＝(a＋b)·(a b)＝a2 b2．因为CD＝AB，所以CD＝DA．因为a2＝CD2，b2＝DA2，所以＝0，因此CA⊥CB．于是△ABC是直角三角形．
2－3
平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．
变式　如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3，DC＝1，AD＝2，∠DAB＝60°，点E在线段BD上，点F在线段AC上，且＝，＝，求·的值．
【解答】
　　　　＝＋＝＋＝＝ ，＝＝)，＝＋＝＋，＝＋＝＋＝＝ ＋，＝＝ ＋＝．
随堂内化·及时评价
1．如图，每个小正方形的边长都是1，则下列说法正确的是 (　　)
A．{e1，e2}是该平面所有向量的一个基底，＋＝e1＋2e2
【解析】
　　　　因为平面向量e1，e2不共线，所以{e1，e2}是该平面所有向量的一个基底，故C，D错误．又因为＋＝＝＝e1＋2e2，故A正确，B错误．
A
B．{e1，e2}是该平面所有向量的一个基底，＋＝2e1＋e2
C．{e1，e2}不是该平面所有向量的一个基底，＋＝e1＋2e2
D．{e1，e2}不是该平面所有向量的一个基底，＋＝2e1＋e2
2．若{e1，e2}是平面内的一个基底，且a＝3e1 4e2，b＝6e1＋ke2，{a，b}不能作为一个基底，则k的值为 (　　)
A． 2　 B． 4
C． 6　 D． 8
D
3．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝ (　　)
A．　 B．
C．＋　 D．＋
【解析】
　　　　＝＋＝＋＝＋＋)＝＋，所以＝．
A
4．在△ABC中，E为AB边的中点，F为AC边的中点，BF交CE于点G，若＝x
＋y，则x＋y＝_____．
【解析】
　　　　如图，由B，G，F三点共线，得＝λ＋(1 λ)＝2λ＋(1 λ)；由C，G，E三点共线，得＝μ＋
(1 μ)＝μ＋(2 2μ)，所以解得
＝＋，从而x＝y＝，x＋y＝．
5．(课本P27练习1)如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，＝a，＝b．用a，b表示，，，．
【解答】
　　　　＝＝b a；＝＝＝b a；＝＝＝a b；＝＋)＝(a＋b)＝a＋b．6.3　平面向量基本定理及坐标表示
第1课时　平面向量基本定理
一、 单项选择题
1．已知｛e1，e2｝是表示平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为一个基底的是(　　)
A．｛e1＋e2，e1－e2｝ B．｛3e1－2e2，4e2－6e1｝
C．｛e1＋2e2，e2＋2e1｝ D．｛e2，e1＋e2｝
2．在△ABC中，D是边AB上一点，且BD＝2AD，E是CD的中点.设＝a，＝b，则＝(　　)
A．a＋b B．－a＋b
C．－a＋b D．－a－b
3．在 ABCD中，点E，F分别满足＝＝.若＝＋，则λ＋μ＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
4．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，AE和BD相交于点F.记＝a，＝b，则(　　)
(第4题)
A．＝a－b B．＝a＋b
C．＝a－b D．＝a＋b
二、 多项选择题
5．如图，D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　)
(第5题)
A．＝a－b B．＝a－b
C．＝a＋b D．＝a
6．如图，在 ABCD中，＝a，＝b，E，F分别是AB，BC的中点，点G满足＝，则(　　)
(第6题)
A．＝a－b B．＝a＋b
C．＝a＋b D．＝a－b
三、 填空题
7．如图，设P，Q是线段AB的三等分点，若＝a，＝b，则＝_______，＝________.(用a，b表示)
(第7题)
(第8题)
8．如图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则以｛a，b｝为基底时，可表示为________；以｛a，c｝为基底时，可表示为________．
四、 解答题
9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1) 证明：｛a，b｝可以作为一个基底；
(2) 以｛a，b｝为基底表示向量c＝3e1－e2.
10．如图，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝＝＝.若＝a，＝b，试用a，b表示.
(第10题)
11．已知O是△ABC所在平面内一点，若＋＋＝0，＝x＝y＝，x，y均为正数，则xy的最小值为(　　)
A． B．
C．1 D．
12．(多选)在△ABC中，＝2，D是线段BC的中点，线段BE交AD于点F，则下列说法正确的是(　　)
(第12题)
A．＝
B．＝＋
C．＝
D．△BFD与△BFA的面积之比为1∶4
13．如图，在△ABC中，点M，N满足＝m＝n(m>0，n>0)，点D满足＝，E为AD的中点，且M，N，E三点共线.
(1) 用；
(2) 求＋的值.
(第13题)
第1课时　平面向量基本定理
基础打底·熟练掌握
1．B　
2．C　【解析】 如图，＝＋＝－＋＝－＋－)＝－a＋b.
(第2题)
3．B　【解析】 由题意，设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a＋b.又因为＝λ＋μ，且＝－＝b－a，所以－a＋b＝λ＋μ＝λ＋μ＝a＋b，所以解得所以λ＋μ＝.
4．A　【解析】 在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AE和BD相交于点F，所以△ABF∽△EDF，又E是CD的中点，所以＝＝，所以＝＝－)，所以＝＋＝－＋－)＝－－＝－a－b.
5．AC　【解析】 ＝＋＝－＋＝－b－a，A正确；＝＋＝＋＝a＋b，B错误；＝＋＝＋＝＋＋)＝b＋(－b－a)＝－a＋b，C正确；＝＝－a，D错误.
6．BC　
7．a＋b　a＋b　8．a＋b　2a＋c
9．【解答】 (1) 假设a＝λb(λ∈R)，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2).由e1，e2不共线，得无解，所以λ不存在.故a与b不共线，可以作为一个基底.
(2) 设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2，所以解得所以c＝2a＋b.
10．【解答】 ＝－＝－－＝－－－)＝－＋＝－a＋b.
＝－＝－＝a－b.
＝－＝－(＋)＝(a＋b).
能力进阶·融会贯通
11．B　【解析】 因为＋＋＝0，所以点O是△ABC的重心，所以＝×＋)＝＋).因为＝x，＝y，所以＝，＝，所以＝＋.又因为＝λ，所以M，O，N三点共线，所以＋＝1，即＋＝3.因为x，y均为正数，所以3＝＋≥2，即≤，所以xy≥，所以xy的最小值为.
12．ABD　【解析】 ＝＋＝＋＝－＋，A正确；＝＋＝＋＝＋－)＝＋，B正确；设＝x，＝y，则＝x＝x，＝y＝y，又＝＋，可得x＝＋y，即＋＝0，因为与不共线，所以解得即＝，C错误；△BFD与△BFA分别以DF和AF为底边时，高相同，由＝可知DF∶AF＝1∶4，所以面积之比为1∶4，D正确.
13．【解答】 (1) 因为＝，＝－，所以＝－)，＝＋＝＋－)＝＋.因为E为AD的中点，所以＝＝＝＋.
(2) 因为＝m，＝n，且M，N，E三点共线，则存在实数λ，使得＝λ＋(1－λ)，即＋＝λm＋(1－λ)n.由于与不共线，根据平面向量基本定理可得整理得n＝，n－＝，两边同时除以n得1－＝，移项可得＋＝3.6.3　平面向量基本定理及坐标表示
第1课时　平面向量基本定理
学习 目标 1．了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义，理解平面向量基本定理． 2．会用基底表示平面向量，掌握平面向量基本定理并能熟练应用．
新知初探基础落实
向量共线定理的实质是：所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来．
问题：向量共线定理是否可以推广到所有共面的向量呢？
可以．所有共面的向量中，只要指定两个不共线的向量，则其他向量都可以用这两个向量表示出来．
一、 概念生成
1．如图所示，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量．请你将向量a分解成图中所给的两个方向上的向量．
如图所示，在平面内任取一点O，作＝e1，＝e2，＝a，然后过点C分别作和所在直线的平行线，交，所在直线于M，N两点，则有＝λ1e1，＝λ2e2，所以a＝λ1e1＋λ2e2．
2．上述问题中的分解方法是否唯一？为什么？
分解方法唯一．事实上，若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，则λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1 μ1)e1＝(μ2 λ2)e2．因为e1与e2不共线，所以λ1 μ1＝0，μ2 λ2＝0，所以λ1＝μ1，λ2＝μ2．因此，分解方法是唯一的．
请同学阅读课本P25—P27，完成下列填空．
二、 概念表述
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个__不共线__向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝__λ1e1＋λ2e2__．
若e1，e2不共线，我们把｛e1，e2｝叫做表示这一平面内所有向量的一个__基底__．
2．平面向量基本定理的有关结论
(1) 设e1，e2是平面内一组基底，若a＝λ1e1＋λ2e2，当λ1＝0时，a与e2共线；当λ2＝0时，a与e1共线；当λ1＝λ2＝0时，a＝0，同样地，当a＝0时，λ1＝λ2＝0．
(2) 设a，b是同一平面内的两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．(　×　)
(2) 一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底．(　√　)
(3) 若｛e1，e2｝是平面内的一个基底，则｛e1 e2，e2 e1｝能作为平面内的一个基底．(　×　)
(4) 基底向量可以是零向量．(　×　)
典例精讲能力初成
探究1　对平面向量基本定理的理解
例1　(多选)如图，设O是 ABCD两对角线的交点，下列向量组中可作为该平面内所有向量基底的是(　AC　)
A．与　 B．与
C．与　 D．与
【解析】与不共线，∥，与不共线，∥，则A，C可以作为该平面内所有向量的基底．
两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，平面内的一个基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．
变式　(多选)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　BC　)
A．a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则＝
D．若存在实数λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
【解析】由平面向量基本定理可知A，D正确．对于B，由平面向量基本定理可知，若平面的基底确定，那么同一平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故B不正确．对于C，当λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0时，结论不成立，故C不正确．
探究2　平面向量基本定理的应用
视角1　用基底表示向量
例2 1　(课本P26例1)如图，，不共线，且＝t(t∈R)，用，表示．
【解答】因为＝t，所以＝＋＝＋t＝＋t()＝＋t t＝(1 t)＋t．
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对所求向量不断转化，直至用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
变式　如图，在 ABCD中，E，F分别为边BC，DC的中点，若＝a，＝b，试用基底｛a，b｝表示向量，．
【解答】＝＋＋＝ ＋＋＝ ＋＋＝a b．
＝＋＋＝ ＋＋＝b a．
视角2　利用基本定理求参数
例2 2　如图，在△ABC中，O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n(m，n＞0)，则m＋n的值为(　A　)
A．2　　　 B．3
C．　 D．5
【解析】因为O是BC的中点，所以＝＋)．又因为＝m，＝n(m，n＞0)，所以＝＋．因为O，M，N三点共线，所以＋＝1，所以m＋n＝2．
(1) 设e1，e2是平面内的一个基底，当λ1e1＋λ2e2＝0时，恒有λ1＝λ2＝0．
(2) 已知平面中A，B，C三点共线(点O在该直线外)，若＝x＋y，则必有x＋y＝1．
视角3　利用基本定理解决几何问题
例2 3　(课本P26例2)如图，CD是△ABC的中线，CD＝AB，用向量方法证明△ABC是直角三角形．
【解答】如图，设＝a，＝b，则＝a＋b，＝ b，于是＝a b，＝(a＋b)·(a b)＝a2 b2．因为CD＝AB，所以CD＝DA．因为a2＝CD2，b2＝DA2，所以＝0，因此CA⊥CB．于是△ABC是直角三角形．
平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．
变式　如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3，DC＝1，AD＝2，∠DAB＝60°，点E在线段BD上，点F在线段AC上，且＝，＝，求·的值．
【解答】＝＋＝＋＝＝ ，＝＝)，＝＋＝＋，＝＋＝＋＝＝ ＋，＝＝ ＋＝．
随堂内化及时评价
1．如图，每个小正方形的边长都是1，则下列说法正确的是(　A　)
A．｛e1，e2｝是该平面所有向量的一个基底，＋＝e1＋2e2
B．｛e1，e2｝是该平面所有向量的一个基底，＋＝2e1＋e2
C．｛e1，e2｝不是该平面所有向量的一个基底，＋＝e1＋2e2
D．｛e1，e2｝不是该平面所有向量的一个基底，＋＝2e1＋e2
【解析】因为平面向量e1，e2不共线，所以｛e1，e2｝是该平面所有向量的一个基底，故C，D错误．又因为＋＝＝＝e1＋2e2，故A正确，B错误．
2．若｛e1，e2｝是平面内的一个基底，且a＝3e1 4e2，b＝6e1＋ke2，｛a，b｝不能作为一个基底，则k的值为(　D　)
A． 2　 B． 4
C． 6　 D． 8
3．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　A　)
A．　 B．
C．＋　 D．＋
【解析】＝＋＝＋＝＋＋)＝＋，所以＝．
4．在△ABC中，E为AB边的中点，F为AC边的中点，BF交CE于点G，若＝x＋y，则x＋y＝____．
【解析】如图，由B，G，F三点共线，得＝λ＋(1 λ)＝2λ＋(1 λ)；由C，G，E三点共线，得＝μ＋(1 μ)＝μ＋(2 2μ)，所以解得故＝＋，从而x＝y＝，x＋y＝．
5．(课本P27练习1)如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，＝a，＝b．用a，b表示，，，．
【解答】＝＝b a；＝＝＝b a；＝＝＝a b；＝＋)＝(a＋b)＝a＋b．

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