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2025-2026学年河南省洛阳市西工区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝.下列航天图案是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是( )
A. B.
C. D.
3.下列函数解析式中，一定为二次函数的是( )
A. B. C. D.
4.在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线的图象经过，，，四个点，则( )
A. B. C. D.
6.平面直角坐标系内一点关于原点对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
7.某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售.经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利8450元，设每件降低x元，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
8.著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事非.”寥窖数语，把图形之妙趣说的淋漓尽致.如图是二次函数的图象，那么无论x为何值，函数值y恒为正的条件是( )
A. B. C. D.
9.如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上.若A，C两点的横坐标分别为m，，下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.如图，平面直角坐标系中，，，，将绕点A顺时针旋转，每秒旋转，则第86秒旋转结束时，点C的坐标为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若方程是一元二次方程，则k的取值范围是 .
12.两位同学分别说出了一条二次函数的图象与性质，小明：抛物线开口向上；小智：抛物线对称轴是直线；请你写出一个符合上述条件的二次函数表达式： .
13.已知a，b是方程的两个实数根，则的值为 .
14.如图，将绕点A逆时针旋转角得到，点B的对应点D恰好落在BC边上，若，，则旋转角的度数是______.
15.如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题10分
解一元二次方程：
；
17.本小题8分
如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.
请解决下列问题：
请直接判断下列方程，哪些是“勾系一元二次方程”？
①；
②；
③；
④
求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根.
18.本小题8分
如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上.
画出将关于原点O的中心对称图形
将绕点E顺时针旋转得到，画出
若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为______.
19.本小题9分
如图，直线AB的解析式为，且与抛物线相交于B，C两点.
求点B与点C的坐标；
若抛物线上有一点D，使得，求出点D的坐标；
点在直线AB上，点在抛物线上，若，直接写出m的取值范围.
20.本小题9分
阅读：
砸沙包游戏：通常涉及两组玩家，一组负责扔沙包，另一组负责躲避沙包.游戏规则如下：
扔沙包：扔沙包的玩家轮流将沙包从肩上方投出，试图击中躲沙包的玩家.
躲避：躲沙包的玩家需要躲避沙包，如果被沙包击中，则退出游戏；如果接住沙包，则可以多一条命或让本方被击中的玩家“复活”.
注：扔沙包时可有进攻和防守两种选择，若进攻，沙包的运行路线可近似看作是一条直线；若防守，可将沙包高抛给另一名同组玩家伺机进攻，这时沙包的运行路线可近似看作是一条抛物线.
小明、小亮和小红玩砸沙包游戏，小明和小亮扔沙包，小红接沙包.如图，以地面为x轴，以小明站立的位置为y轴建立平面直角坐标系，小明一开始准备进行防守，他跳起在处高抛，将沙包传给小亮，小亮在横坐标为7的B处接到沙包.其运行路线可以看作是抛物线的一部分.
求抛物线的表达式和点B的坐标；
小红在小明和小亮之间运动，选择合适的方式躲避沙包和接住沙包，已知小红跳起后的最大高度为2m，请求出小红接住沙包的运动范围.
21.本小题10分
学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙长为25米，其余部分用总长36米的铝合金材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道通道不用铝合金材料
设自行车车棚的面积为S平方米，车棚的宽度AB为x米，求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
若车棚面积需达到108平方米，求此时自行车车棚的长和宽；
学校在规划自行车车棚时，考虑到体育馆旁的空间利用以及未来的使用便捷性，经过测量与讨论，发现当车棚的宽度AB为8米时，既能最大程度契合现有的场地条件，又能满足预期的停车及充电区域划分需求.已知此时停车区的宽度是充电区宽度的倍，停车区和充电区的面积各是多少？
22.本小题10分
在二次函数中，x与y的几组对应值如表所示.
x … 0 1 …
y … 1 …
求二次函数的表达式.
求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象.
将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值.
23.本小题11分
综合与实践：我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可以达到解一题知一类的目的，下面是一个案例：
如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，，连接EF，求证：，试说明理由.
【思路梳理】
，
把绕点A逆时针旋转至，可使AB与AD重合.
，
，点F、D、G共线.
易证≌____________，得
【类比引申】
如图2，四边形ABCD中，，，点E，F分别在边BC，CD上，，若、都不是直角，则当与满足等量关系______时，仍有，试说明理由.
【联想拓展】
如图3，在中，，，点D，E均在边BC上，且，若，，直接写出DE的长.
参考答案
一、选择题
1.D
2.A
3.A
4.A
5.A
6.C
7.D
8.C
9.B
10.B
二、填空题
11.
12.答案不唯一
13.0
14.
15.2
三、解答题
16.解：，
，
或，
解得，；
，
方程整理，得，
，
，
或，
解得，
17.解：①对于方程，，，，
，
，，
，
方程是“勾系一元二次方程”；
②对于方程，，，，
，
，，
，
方程不是“勾系一元二次方程”；
③对于方程，，，，
，
，，
，
方程是“勾系一元二次方程”；
④对于方程，，，，
，
，，
，
方程不是“勾系一元二次方程”，
综上所述：①③是“勾系一元二次方程”；②④不是“勾系一元二次方程”；
证明：对于关于x的“勾系一元二次方程”，
判别式为：，
，
，
判别式，
关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根．
18.解：如图，即为所求；
；
如图，即为所求；

解：见答案；
见答案；
根据旋转的性质可得，旋转中心为线段AD和CF垂直平分线的交点，图中点P即为旋转中心，
，
故答案为：
19.解：解方程组得或，
，；
令，则，解得，
，
，
而，
，
设，
，解得，
或；
点在直线AB上，点在抛物线上，若，
由图象可知，m的取值范围为
20.解：抛物线过点，
，
解得：，
，
当时，，
点B的坐标为：；
当时，，
整理得：，
或，
，，
小红在小明和小亮之间运动，
小红接住沙包的运动范围为：
21.解：设车棚的宽度AB为x m，则车棚长度，
，
墙长为25米，
，
解得：，
与x之间的函数关系式为，自变量x的取值范围为；
根据题意得：，
解得：，，
，
，
此时，
答：自行车棚的长为12米，宽为9米；
，
，
，
当时，米，
米，
停车区的面积为平方米，
充电区的面积为平方米
22.解：由题意，结合表格数据可得，二次函数的对称轴是直线
可设二次函数的表达式为
又图象过，，
，且
，
二次函数的表达式为，即
由题意，结合，
顶点坐标为
作图如下．
由题意，二次函数的图象向右平移n个单位长度后，
新函数为
此时对称轴是直线，函数图象开口向上．
①当时，即，
当时，y取最大值为；当时，y取最小值为
又最大值与最小值的差为5，
，不合题意．
②当时，即，
当或时，y取最大值为或；当时，y取最小值为
又最大值与最小值的差为5，
或
或不合题意，舍去或不合题意，舍去或
③当时，即，
当时，y取最小值为；当时，y取最大值为
又最大值与最小值的差为5，
，不合题意．
综上，或
23.证明：，
把绕点A逆时针旋转至，可使AB与AD重合．
，
，点F、D、G共线．
则，，，
，
即，
在和中，
，，，
≌，
，
故答案为：；SAS；
解：，理由如下：
证明：，
把绕点A逆时针旋转至，可使AB与AD重合．如图2所示：
，，
，，
，
，
，
，点F、D、G共线．
在和中，
，，，
≌，
，
，
；
故答案为：；
解：将绕点A旋转到的位置，连接DF，如图3，
则
，，
，
又，
，
在和中，
，，，
≌，
，，
，
是直角三角形．
，
，，

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