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2025-2026学年广东省惠州市惠东县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
3.如图，AC、BC是的弦，连结OA，OB，若，则的大小为( )
A. B. C. D.
4.若点，关于原点对称，则的值为( )
A. B. 1 C. D. 5
5.若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为( )
A. B. 0 C. D.
6.关于x的一元二次方程的两个根是，，则的值为( )
A. 8 B. C. D. 2
7.在一次酒会上，参加酒会的人每两人碰一次杯，一共碰杯55次，共有多少人参加酒会？设有x人参加酒会，则可列方程为( )
A. B. C. D.
8.如图，将绕点C逆时针旋转得到，点D落在边AB上，且，则的度数是( )
A. B. C. D.
9.二次函数，当时y随x的增大而减小，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x … 0 1 2 3 …
y … 3 0 m 3 …
有以下几个结论：
①抛物线的开口向下；
②抛物线的对称轴为直线；
③方程的根为0和m；
④当时，x的取值范围是或
其中正确结论的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知的半径是3cm，则中最长的弦长是______.
12.将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为 .
13.已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 .
14.如图，直线a，b互相垂直且相交于点O，曲线c关于点O成中心对称，点A的对应点是，于点B，于点若，，则阴影部分的面积之和为 .
15.若a是方程的一个根，则的值为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题7分
解方程：
17.本小题7分
如图：已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为，与x轴交于A，B两点点A在点B左侧
求这个二次函数的解析式；
求的面积.
18.本小题7分
如图，AB为的直径，弦于点E，连接AC，
求证：；
若，，求CD的长.
19.本小题9分
如图，某农户准备利用墙面墙面足够长，用34m长的栅栏围一个矩形羊圈ABCD和一个边长为1m的正方形狗屋图中阴影部分为羊的活动范围设
的长为______用含x的代数式表示
若羊的活动范围的面积为，求AB的长.
羊的活动范围的面积能否为？若能，求出此时AB的长；若不能，请说明理由.
20.本小题9分
如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，
画出关于原点O对称的；
将绕原点O顺时针旋转，得到，画出并写出点坐标；
在x轴上找一点P，使的和最小，求出的最小值.
21.本小题9分
综合与实践
驱动任务：
跳绳，作为一项全民皆可参与的运动，只要一根绳子就能跳遍天下，是一项简单、有趣的运动.不仅可以锻炼身体，增强免疫力，还可以训练反应能力和协调能力.单人跳、多人跳、花样跳，简单易学，精彩纷呈.学校计划在运动会上增加跳绳比赛项目，数学应用研习小组协助跳绳筹备组对多人跳绳的战队方式进行了相关设计.
研究步骤：
数学建模：图1是甲，乙两人甩绳子的示意图，当绳子甩到最高处时，其形状可近似地看作一条抛物线如图2所示
实践操作：
第一步：选两名身高基本相同的男同学为持绳手，量得两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且两人相距6m；
第二步：经过多次试跳发现：当绳子甩到最高处时，身高米的小敏同学从乙持绳手的左侧距离乙米处进入游戏，恰好通过；
第三步：现以两人的站立点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系.
问题解决：
求绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式并求出其顶点坐标.
当绳子甩到最高处时，通过计算说明身高的小明，从甲持绳手的右侧距离甲1m处进入游戏能否通过跳绳.
现有9位同学身高统计如下表，计划采取一路纵队并排的方式同时起跳如图，为了保证安全，要求人与人之间距离至少，此时绳子能否顺利地甩过所有队员的头顶？若能，请写出队列安排方案；若不能，请说明理由.
同学编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
身高
22.本小题13分
综合与探究
数学课上，老师布置了这么一道题目：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，，连接EF，求证：
思路梳理：
“勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整；
，
将绕点A逆时针旋转至，可使AB与AD重合，
，
，即点F，D，G共线.
根据______，易证≌______，即可证得
类比引申：
“智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图2，在四边形ABCD中，，，点E，F分别在边BC，CD上，，连接若，都不是直角，且，则中的结论是否还成立？并说明理由；
联想拓展：
“创新”小组的同学提出了下面的问题：如图3，在中，，，点D，E均在边BC上，且猜想BD，DE，CE满足的等量关系，并写出推理过程.
23.本小题14分
在平面直角坐标系xOy中，抛物线：和与x轴的交点分别为A，C和C，B，抛物线，的顶点分别用P，Q表示，其中点A，B，C的坐标分别为，，
如图1，当时，
①求抛物线和的解析式；
②求P，Q两点间的距离.
如图2，当时，直线，分别是抛物线和的对称轴.
①直线，之间的距离是否为定值？若是，直接写出该定值；若不是，说明理由；
②N是直线上一点，若为等腰直角三角形，试写出所有符合条件的点N的坐标.
参考答案
一、选择题
1.B
2.D
3.D
4.C
5.D
6.A
7.C
8.B
9.D
10.B
二、填空题
11.6cm
12.
13.且
14.9
15.2022
三、解答题
16.解：由原方程，得，
等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得，
配方，得，
直接开平方，得，
，
17.解：由题意可得：设二次函数的解析为，
把代入解析式，
得，
解得，
所以，；
令，则，
解得或，
，
18.证明：直径弦CD，
弧弧
；
连接OC，
直径弦CD，
直径，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
在中，
，

19.解：依题意得，，
，
，
；
故答案为：；
依题意得：羊的活动范围的面积为，
，即，
解得，，
的长为12m或4m；
羊的活动范围的面积不能为理由如下，
依题意得：，即，
，
羊的活动范围的面积不能为
20.解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
由图可得，点坐标为
取点C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接CP，
此时，为最小值，
由勾股定理得，，
的最小值为
21.解：设抛物线的解析式为：，
根据题意，抛物线经过点、、，
代入解析式得：，
解得：，
设抛物线的解析式为：，
当时，，
顶点坐标为
答：抛物线的解析式为，顶点坐标为；
当时，，
小明从甲持绳手的右侧距离甲1m处进入游戏能否通过跳绳；
绳子能顺利地甩过所有队员的头顶，方案如下：
有9位同学采取一路纵队并排的方式同时起跳且人与人之间距离至少米，
则首尾两位同学的距离是米，
最理想状态是最高的同学站在对称轴的位置，身高越高的同学越靠近对称轴，按照，，，，，，，，的顺序排列，
此时首尾两位同学距离对称轴距离恰好是2米，
将代入得，此时绳子能顺利的甩过头顶，
将代入得，此时绳子能顺利的甩过头顶，
将代入得，此时绳子能顺利的甩过头顶，
将代入得，此时绳子能顺利的甩过头顶，
将代入得，此时绳子能顺利的甩过头顶，
当按照，，，，，，，，的顺序排列时，绳子能顺利的甩过所有队员的头顶答案不唯一
22.解：如图1，把绕点A逆时针旋转至，
，
与AD重合，如图1，
，
，
点F、D、G共线，
，，，，
，
≌，
；
故答案为：SAS，；
中的结论还成立．
理由如下：
，
把绕点A逆时针旋转至，可使AB与AD重合，如图2所示：
，，
，，
，
，
，
，点F、D、G共线，
≌，
，
，
；
猜想：理由如下：
把绕点A逆时针旋转到的位置，连接DF，如图3所示：
则≌，，
，，，
，
，
，
，
≌，
，
，，
，
，
，
是直角三角形，
，
23. 解：①，，，
抛物线：，
抛物线：；
②，
，
；
①直线，之间的距离是定值，理由如下：
，，
，
直线，之间的距离是定值；
②抛物线L1：，抛物线：，
，
，
当，且点P在点Q的下方时，
，
，
当时，，，
；
当且点P在点Q的下方时，
，
，
当，且点P在点Q的上方时，
，
，
当时，，，
；
当，且点P在点Q的上方时，
，
；
综上所述：或或或

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