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2025-2026学年浙江省山海联盟协作学校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知的直径为6cm，点P与在同一平面内，且点P到圆心O的距离为4cm，则点P与的位置关系是( )
A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 无法确定
2.下列事件为必然事件的是( )
A. 买一张电影票，座位号是偶数 B. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝下
C. 打开电视，正在播放《哪吒之魔童闹海》 D. 任意画一个三角形，其内角和是
3.如图，在O中，OA，OB为半径，点C为O上一点，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
4.将抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得新抛物线的表达式为( )
A. B. C. D.
5.在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同.通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中黑球可能有( )
A. 18个 B. 16个 C. 14个 D. 12个
6.已知圆内接正六边形的周长为30，则圆的半径为( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
7.已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
8.已知y关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.如图，AB是的弦，，C是上的一个动点，且，若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN的最大值是( )
A. B. 10
C. D. 20
10.在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，抛物线的对称轴是直线，若，则t的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.二次函数的图象的顶点坐标是 .
12.一组数据，，…，的方差为5，若将每个数据都加上2，则新数据的方差为 .
13.如图，是的外接圆，，，则的半径为______
第13题图 第14题图 第15题图
14.如图，在中，，截三条边所得的弦长相等，连结OB，OC，则 .
15.如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为 .
16.已知，，且若，设，则k的最小值为 .
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
已知二次函数的图象经过点，
求该二次函数的表达式.
求出二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标.
18.本小题8分
如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点经过A，B两个格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图保留画图痕迹，不写画法
在图中，画出劣弧AB的中点；
在图2的上找一点E，使点E与点A不重合
19.本小题8分
甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘A，B平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图.游戏规则：甲转动转盘A一次，乙转动转盘B一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜.若指针落在分界线上，则无效，要重新转动转盘.
用列表或画树状图的方法，求甲获胜的概率.
这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由；若不公平，请改动转盘A上的一个数字使得游戏公平不需要写出理由
20.本小题8分
如图，AB是的一条弦，，垂足为C，交于点D点E在上．
若，求的度数；
若，，求的半径长．
21.本小题8分
某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个22元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量个与销售单价元有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元.
如果销售单价定为30元，那么该种健身球每天的销售量是______个.
求w与x之间的函数表达式.
当该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
22.本小题10分
如图，已知AB是的直径，点C、D在上，且，过O点作，垂足为
求OE的长；
若OE的延长线交于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形阴影部分的面积
23.本小题10分
已知二次函数为常数且
求该抛物线的顶点坐标.
若该函数图象向右平移3个单位后恰经过原点.
①求t的值.
②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求n的取值范围.
24.本小题12分
小明同学在学习完《圆的基本性质》这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易.
【学习心得】如图1，在中，，，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆，则点C，D必在上，可得______.
【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，，若BD平分，请写出与的数量关系，并说明理由.
【问题拓展】在平面直角坐标系中，A为y轴上一点，若点，，当最大时，求点A的坐标.
参考答案
一、选择题
1.C
2.D
3.C
4.A
5.D
6.A
7.C
8.C
9.A
10.D
二、填空题
11.
12.5
13.2
14.
15.28
16.3
三、解答题
17.解：将，代入，
得，
解得，
该二次函数的表达式为
二次函数的图象的对称轴为直线，
函数图象经过点，
二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为
18.解：如图1中，点T即为所求；
如图2中，点E即为所求．
19.解：列表如下：
2 3 4
1
3
共有6种等可能的结果，其中指针所在区域的数字之和为偶数的结果有：，，共2种，
甲获胜的概率为
这个游戏对甲、乙双方不公平．
将转盘A上的数字1改为答案不唯一，
列表如下：
2 3 4
2
3
共有6种等可能的结果，其中指针所在区域的数字之和为偶数的结果有：，，，共3种，数字之和为奇数的结果有：，，，共3种，
甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
此时游戏公平．
20.解：，
，
，
；
设的半径为r，则，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即的半径长为
21.解：在中，令，得：，
故答案为：40；
根据题意得：，
与x之间的函数关系式为；
，
，
当时，w取最大值，最大值为392，
答：当该种健身球销售单价定为36元时，每天的销售利润最大，最大利润是392元．
22.解：由圆周角定理知：，
是的直径，
，
，
，
，
点E是AC的中点，
点O是AB中点，
是的中位线，
；
连接OC，如图：
，
是的中位线，
，
，
又，
为等边三角形，
，
，
，
，
，且阴影部分的面积等于扇形COF的面积，
故阴影部分的面积S为
23.解：，
该抛物线的顶点坐标为；
①该函数图象向右平移3个单位后得到，
经过原点．
，
；
②当时，二次函数的最大值与最小值的差为
若，当时，函数有最大值2；
当时，函数有最小值，
，解得不合题意，舍去
若，当时，函数有最大值
当时，函数有最小值，
，符合题意;
若，当时，函数有最大值
当时，函数有最小值，
，
解得不合题意，舍去
综上所述，n的取值范围是
解析见答案.
24.解：如图：若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆，
则点C、D必在上，是的圆心角，
而是圆周角，可得，
故答案为：；
证明：如图1，，
点B、C、D是在以A圆心，
以AB为半径的圆上，构建如图所示的图形，
延长CA交圆于点P，连接PB，
则，
，
；
如图2，当最大时，
过B、C两点的与y轴相切，切点为点
过点作，垂足为点
线段BC的中点坐标为，圆心在BC的垂直平分线上，
点横坐标为4，
，，，
，
点A的坐标为或

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