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2025-2026学年广东省深圳市南山实验教育集团白石洲学校八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数是无理数的是( )
A. B. C. D.
2.如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A，B两点的坐标分别为，，则叶柄底部点C的坐标为( )
A. B. C. D.
3.的三边长分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的为( )
A. ：：：4：5 B.
C. a：b：：4：5 D.
4.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
5.若点与点关于y轴对称，则( )
A. B. 2025 C. D. 1
6.关于x的一次函数的图象正确的是( )
A. B. C. D.
7.意大利著名画家达芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是( )
A. B.
C. D.
8.甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地.出发小时后，乙车才沿相同的路线开始行驶，乙车先达到B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与甲车相遇.图中的折线段表示从开始到相遇为止，两车之间的距离S km与乙车行驶时间h的函数关系图象，则下列说法正确的是( )
A. 乙车的速度为
B. AB两地相距360km
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.81的算术平方根是 .
10.如图，，，若数轴上点A所表示的数为a，则a的值为 .
11.将长为30cm，宽为10cm的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为设x张白纸粘合后的纸条总长度为ycm，则y与x的函数关系式为______.
12.若点到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，且，则点P的坐标为 .
13.如图，中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积，，，则______.
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题12分
计算：
；
；
；
15.本小题6分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上网格中小正方形的顶点即为格点
在图中作出关于x轴的对称图形；
求的面积；
在y轴上画出点P，使最小.
16.本小题8分
我们知道是无理数，因此的小数部分不可能全部写出来.因为，即，所以的整数部分为2，将减去其整数部分，差就是小数部分，即的小数部分为
根据以上材料请解答：
的整数部分是______，小数部分是______.
已知的小数部分是x，则______，的小数部分是y，则______.
在的条件下，若，求出满足条件的m的值.
17.本小题8分
如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇A，B，城镇A到轨道的垂直距离AM为5千米，城镇B到轨道的垂直距离BN为10千米，MN的长度为12千米.
求城镇A，B之间的距离；
现要在线段MN上修建一个货运中转站P，使得中转站P到城镇A，B的距离相等，此时中转站P应修建在离点M多远处？
18.本小题8分
某中学计划购买20副文具套装和x支笔作为数创节的奖品，文具店出售一副文具套装是12元，一支笔是3元.因预算有限，想尽可能地节省开支，文具店提供了两种优惠方案：
甲方案：每购买一副文具套装，赠送一支笔；
乙方案：所有商品按总价的9折出售.
分别求出甲方案的实际付款金额与x的函数关系式，以及乙方案的实际付款金额与x的函数关系式；
如果你是本次数创节奖品采购员，你将如何选择这两种方案购物更省钱.
19.本小题9分
【自主学习】
在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“识别距离”，给出如下定义：
若，则点与点的“识别距离”为；
若，则点与点的“识别距离”为
例如：对于点与点，因为，所以点与点的“识别距离”为
【初步理解】
已知点，，则点A与点B的“识别距离”为______.
【深入应用】
已知点，点B为y轴上的一个动点，
①若点A与点B的“识别距离”为4，求出满足条件的点B的坐标；
②点A与点B的“识别距离”的最小值为______.
【知识迁移】
已知点，，直接写出点C与点D“识别距离”的最小值及对应的C点坐标.
20.本小题10分
如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线
求直线AC的函数表达式.
是直线AC上的一动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
如图2，点，P为x轴正半轴上的一动点，以点P为直角顶点，CP为腰在第一象限内作等腰直角，连结QD，当的值最小时，请直接写出点Q的坐标.
参考答案
一、选择题
1.D
2.B
3.A
4.A
5.C
6.C
7.A
8.D
二、填空题
9.9
10.
11.
12.或
13.
三、解答题
14.
；
；
，
把②代入①得：，
解得，
把代入②得：，
方程组的解为；
，
①+②得：，
解得；，
把代入②得：，
解得，
方程组的解为
15.解：关于x轴的对称图形，如图1即为所求；
；
如图2，点P即为所求．

16.解：，
的整数部分是4，小数部分是，
故答案为：4，；
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
由知，，，
，
，
，
或
17.解：过点A作于点E，如图1，
，，
，，
四边形AMNE为矩形，
千米，千米，
千米，
在中，千米，
答：城镇A，B之间的距离为13千米；
如图2，连接PA，PB，
设千米，则千米，
，
，
，
解得，
中转站P应修建在离点M处千米处．
18.解：，
；
①，
，
解得：；
②，
，
解得：；
③，
，
解得：
答：时，乙方案更省钱；时，两种方案付费相同；时甲方案更省钱．
19.解：点，，
，，
，
根据“识别距离”的定义，可知点A与点B的“识别距离”为3，
故答案为：3；
①为y轴上的动点，
可设B点坐标为，
点与点B的“识别距离”为4，，
，
点B的坐标为或；
②，根据“识别距离”的定义可知，
当时，点A与点B的“识别距离”大于2，
当时，点A与点B的“识别距离”等于2，
点A与点B的“识别距离”的最小值为2，
故答案为：
点C与D的“识别距离”的最小值；
相应的C点坐标为，
理由：由“识别距离”的定义可知：点C与点D“识别距离”最小，，
，，
，，
，
解得：或，
当时，“识别距离”为，
当时，“识别距离”为，
点C与D的“识别距离”的最小值为；
相应的C点坐标为
20.解：一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，
当时，得：，
点C的坐标为
设直线AC的函数表达式为将点，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
直线AC的函数表达式为；
存在点M，使得理由如下：
一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，
当时，得：，
解得：，
点B的坐标为，
，
点，，
，，
，
，
，
，
，
，
当时，，
解得：，
点M的坐标为；
当时，得：，
解得：，
点M的坐标为
综上所述，存在点M，使得，点M的坐标为或；
点Q的坐标为理由如下：
如图2，连接CD，
设点P的坐标为
，
当C，Q，D三点共线时，的值最小．
过点Q作轴于点H，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
点Q的坐标为
点，，
设直线CD的函数表达式为，将点D的坐标代入得：
，
解得：，
直线CD的函数表达式为
把点代入，得：，
解得：，
点Q的坐标为

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