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小结与复习
第 20 章 数据的初步分析
一、数据的集中趋势
平均数 定义 一组数据的平均值称为这组数据的平均数
算术平 均数 一般地，如果有 n 个数 x1，x2，…，xn，那么_____________________叫做这 n 个数的平均数
加权平 均数 一般求加权平均数，可统一用下面的公式：
叫做这 n 个数据的加权平均数
中位数 定义 将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于________________就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么中间___________________就是这组数据的中位数
防错 提醒 确定中位数时，一定要注意先把整组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，再确定
众 数 定义 一组数据中出现次数________的数据叫做这组数据的众数
防错 提醒 (1) 一组数据中众数不一定只有一个，还可能没有；
(2) 当一组数据中含极端值时，其平均数往往不能准确反映这组数据的集中趋势，应考虑用中位数或众数来分析
中间位置的数
两个数据的平均数
最多
表示波 动的量 定义 意义
离差平方和 离差平方和越大，数据的波动越___，反之也成立
设一组数据是 x1，x2，…，xn，它们的平均数是 ，我们将
称为这组数据的离差平方和 . 可以简记为 .
二、数据的波动程度
大
大
表示波 动的量 定义 意义
方差 方差越大，数据的波动越___，反之也成立
设一组数据是 x1，x2，…，xn，它们的平均数是 ，我们将
称为这组数据的方差.
三、用样本估计总体
1. 统计的基本思想：用样本的特征（平均数和方差）估计总体的特征．
2. 统计的决策依据：利用数据做决策时，要全面、
多角度地去分析已有数据，从数据的变化中发
现它们的规律和变化趋势，减少人为因素的影响．
四、四分位数与箱线图
一组数据从小到大排列,第 25 百分位数 ( 记作m25)、中位数(记作 m50)、第 75 百分位数(记作 m75) 把所有的数据等分成四部分，因此,称为四分位数。
m25 称为第一四分位数 (Q1)，
m50 称为第二四分位数(Q2)，
m75 称为第三四分位数(Q3)。
其中 m25 满足小于或等于 m25 的至少占 25% ,
m75 满足小于或等于 m75 的至少占 75% 。
数据个数为 n 的一组数据四分位数的求法：
m25 (Q1) ：计算 n×25％，当结果为整数时，m25 为这个数与下一个数的平均数.不为整数时，将 n×25％ 的结果向上取整，得到的那个数为 m25 ，
m50 (Q2) = 整组数据的中位数，
m75 (Q3) ：计算 n×75％，当结果为整数时，m25为这个数与下一个数的平均数.不为整数时，将 n×75％ 的结果向上取整，得到的那个数为 m75 。
统计学上,常用箱线图直观地展示一组数据的统计特征值,便于分析不同类别数据各层次水平的差异(如离散程度、分布差异等).
5
4
3
2
1
0
最小值
最大值
第一四分位数
第二四分位数(中位数)
第三四分位数
须长
考点一 平均数、中位数、众数
例1 某市在开展节约用水活动中，对某小区 200 户居民家庭用水情况进行统计分析，其中 3 月份比 2 月份节约用水情况如下表所示：
节水量（m3） 1 1.5 2
户数 20 120 60
请问：(1) 抽取的200户家庭节水量的平均数是____m3，中位数是______m3，众数是______m3.
(2) 根据以上数据，估计该市 100 万户居民家庭 3 月份比 2 月份的节水量是_________.
1.6
1.5
160万 m3
1.5
1. 某米店经营某种品牌的大米，该店记录了一周中不同包装(10 kg，20 kg，50 kg)的大米的销售量(单位：袋)如下：10 kg 装 100 袋；20 kg 装 220 袋；50 kg 装 80 袋.如果每 500 g 大米的进价和售价都相同，那么他最应该关注的是这些销售数据(袋数)中的（ ）
A.平均数 B.中位数 C.众数 D.最大值
C　
2. 一组数据中的一个数大小发生了变化，一定会影响
这组数据的平均数、众数、中位数中的（ ）
　　A．1 个　　 B．2 个　　C．3 个　　D．0 个
A　
针对训练
3. 某地发生地震灾害后，某中学八 (1) 班学生积极捐款献爱心，如图是该班 50 名学生的捐款情况统计，则他们捐款金额的众数和中位数分别是 (　　)
A．20，10　　
B．10，20　
C．16，15 　　
D．15，16
B
4. 小刚在“中国梦·我的梦”演讲比赛中，演讲内容、语言表达、演讲技能、形象礼仪四项得分依次为 9.8，9.4，9.2，9.3. 若其综合得分按演讲内容 50%、语言表达 20%、演讲技能 20%、形象礼仪 10% 的比例计算，则他的综合得分是______分.
9.55
考点二 方差的计算及应用
例2 小明和小亮在课外活动中，报名参加了短跑训练小组. 在近几次百米训练中，所测成绩如图所示，请根据图中所示解答以下问题：
(1) 根据图中信息，
补全表格.
次数 1 2 3 4 5
小明 13.3 13.3 13.2 13.3
小亮 13.2 13.4 13.1 13.3
13.4
13.5
(2) 分别计算成绩的平均数和方差，填入表格. 若你是
老师，将小明与小亮的成绩比较分析后，将分别给予他们怎样的建议？
平均数 方差
小明
小亮
13.3
13.3
0.02
0.004
解：从平均数看，两人的平均水平相同；从方差看，
小明的成绩较稳定，小亮的成绩波动较大.
给小明的建议是：加强锻炼，提高爆发力，提升
短跑成绩；
给小亮的建议是：总结经验，找出成绩忽高忽低
的原因，在稳定中提高.
平均数 方差
小明
小亮
13.3
13.3
0.02
0.004
5. 小张和小李去练习射击，第一轮 10 发子弹打完后，两人的成绩如图. 根据图中的信息，小张、小李两人中成绩较稳定的是 .
小张
针对训练
考点三 四分位数与箱线图
例3 某考生参加某校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8 位老师根据考生表现给出分数 ( 单位：分)，分数由低到高依次为 76 ，77 ，79，80，80，81，84，85，这组数据的上四分位数为 ( )
A. 80.5 分 B. 81.5 分 C. 82.5 分 D. 83.5 分
C
6. 下面是根据八年 2 班学生 1 分钟跳绳次数制作的箱线图，由图不能确定这组数据的（ ）
A．下四分位数 B．中位数
C．最大值 D．平均数
针对训练
D
7. 求出以下这组数据
4.77，3.98，6.44，4.98，2.15，3.85，
3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10
的 m25＝______，m50＝_____，m75＝______．
3.195
3.915
4.44
例4 甲、乙两组的测试成绩如下：
甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98；
乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95.
(1) 求甲组数据的四分位数；
解：(1) 把甲的成绩从小到大排列为：
60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，
中位数 m50 = (89+91)÷2= 90.
10×25% = 2.5 10 ×75% =7.5
m25 是第 3 个数 ,第 75 百分位数 m75 是第 8 个数。
故 m25 =70，m50=90，m75 = 96.
(2) 根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图；
根据箱线图和四分位数，
可知甲组成绩比较分散，
乙成绩比较集中(答案不唯一)
(3) 根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法．
例5 某中学七、八年级各选派 10 名选手参加学校举办的“爱我祖国”知识竞赛，计分采用 10 分制，选手得分均为整数，成绩达到 6 分或 6 分以上为合格，达到 9 分或 10 分为优秀．这次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的条形统计图和
成绩统计分析表如下所示，
其中七年级代表队得 6 分、
10 分的选手人数分别为 a，
b.
考点四 分析数据做决策
队别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
七年级 6.7 m 3.41 90% n
八年级 7.1 7.5 1.69 80% 10%
(1) 请依据图表中的数据，求 a，b 的值；
依题意，得
(3×1 + 6a + 7×1 + 8×1 + 9×1 + 10b)÷10 = 6.7，
1 + a + 1 + 1 + 1 + b = 10.
a = 5，
b = 1.
(2) 直接写出表中 m，n 的值；
解得
m＝6，n＝20%.
①八年级队平均分高于七年级队；
②八年级队的成绩比七年级队稳定；
③八年级队的成绩集中在中上游，所以支持八年级
队成绩好(注：任说两条即可)．
(3) 有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但也有人说八年级队成绩比七年级队好．请你给出两条支持八年级队成绩好的理由．
8. 经市场调查，某种优质西瓜质量为(5±0.25) kg 的最为畅销．为了控制西瓜的质量，农科所采用 A，B 两种种植技术进行试验．现从这两种技术种植的西瓜中各随机抽取 20 个，记录它们的质量如下(单位：kg)：
A：4.1 4.8 5.4 4.9 4.7 5.0 4.9 4.8 5.8 5.2
5.0 4.8 5.2 4.9 5.2 5.0 4.8 5.2 5.1 5.0
B：4.5 4.9 4.8 4.5 5.2 5.1 5.0 4.5 4.7 4.9
5.4 5.5 4.6 5.3 4.8 5.0 5.2 5.3 5.0 5.3
针对训练
(1) 若质量为 (5±0.25) kg 的为优等品，根据以上信息
完成下表：
(2)请分别从优等品数量、平均数与方差三方面对 A，B 两种技术做出评价；从市场销售的角度看，你认为推广哪种种植技术较好？
解：从优等品数量的角度看，因为 A 种技术种植的西瓜优等品数量较多，所以 A 种技术较好；
从平均数的角度看，因为 A 种技术种植的西瓜质量的平均数更接近 5 kg，所以 A 种技术较好；
从方差的角度看，因为 B 种技术种植的西瓜质量的方差更小，所以 B 种技术种植的西瓜质量更为稳定；
从市场销售角度看，因优等品更畅销，A 种技术种植的西瓜优等品数量更多，且平均质量更接近 5 kg，因而更适合推广 A 种技术.
数据收集→数据整理→数据描述→数据分析　　
数据的
集中趋势
数据的
波动程度
方 差
用样本平均数
估计总体平均数
用样本方差
估计总体方差
用样本估计总体
平均数
中位数
众 数

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