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20.2 数据的集中趋势
2 加权平均数
第 20 章 数据的初步分析
学习目标
1. 理解数据的权和加权平均数的概念，体会权的作用. (难点)
2. 明确加权平均数与算术平均数的关系，掌握加权平均数的计算方法. (重点、难点)
3. 了解使用计算器计算加权平均数 .
1. 什么是算术平均数?
2.如何计算算术平均数 ?
一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数，就得到这组数据的算术平均数，简称平均数.
算术平均数：
想一想 某校在给同学们征订校服时准备从以下几个角度去选择合适的类型，你觉得下面哪些点更为重要 ?
2. 校园特色与符号
3. 舒适、实用性
1.材料与设计
4. 美观度
5. 性价比
在实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同.因此，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”．
一起来看看下面的例子.
加权平均数
1
例1 某校在招聘新教师时以考评成绩确定人选. 甲、乙两位高校毕业生的各项考评成绩 (单位：分) 如下表：
{AC3D5B24-9D2F-4209-9669-EE93DC6CF0F9}考评项目
成绩/分
甲
乙
教学设计
90
80
课堂教学
85
92
答辩
90
83
(1) 如果学校将教学设计、课堂教学和答辩按 1：3：1 的比来计算两人的考评成绩，那么谁会被录用？
典例精析
{AC3D5B24-9D2F-4209-9669-EE93DC6CF0F9}考评项目
成绩/分
甲
乙
教学设计
90
80
课堂教学
85
92
答辩
90
83
解：(1) 甲的考评成绩为
乙的考评成绩为
????????×????+????????×????+????????×????????+????+????=????????(分).
?
????????×????+????????×????+????????×????????+????+????=????????.????(分).
?
答：此时乙会被录用.
(1)如果学校将教学设计、
课堂教学和答辩按1∶3∶1
的比来计算两人的考评成
绩，那么谁会被录用？
(2) 如果按教学设计占 30%、
课堂教学占 50%、答辩占
20% 来计算两人的考评成
绩，那么谁会被录用？
{AC3D5B24-9D2F-4209-9669-EE93DC6CF0F9}考评项目
成绩/分
甲
乙
教学设计
90
80
课堂教学
85
92
答辩
90
83
(2) 甲的考评成绩为
乙的考评成绩为
90×30%+85×50%+90×20%=87.5（分）
?
答：此时甲会被录用.
80×30%+92×50%+83×20%=86.6（分）
?
思考：在上面的例题中，问题 (1) 中该校录用新教师把哪几项看得重要些？题(2)中呢？
问题(1)中侧重于课堂教学，所占比重较高。问题(2)中侧重于课堂教学和教学设计。
上述两个问题中，各个指标的重要程度不一样，考评的结果也就不同.
反思：从这个计算结果你能发现什么问题?
一般地，对上面的求平均数，可统一用下面的公式：
其中 f1，f2，…，fk 分别表示数据 x1，x2，…，xk 出现的次数，或者表示数据 x1，x2，…，xk 在总结果中的比重，我们称其为各数据的权， 叫作这 n 个数据的加权平均数．
知识要点
例2 (1) 已知 A 和 B 两家网站的用户日人均上网时间分别为 a min，b min. 两家网站平均每天的上网用户人数分别为 m，n . 求两家网站所有用户的日人均上网时间.
解：(1) ( am + bn )÷( m + n ) = (min).
答：两家网站所有用户的日人均上网时间为 min.
(2) ( 75%m + 62% n )÷( m + n ) =
答：两家网站所有用户中认为某个热点话题重要的用户所占的百分率为 .
(2) 已知 A 和 B 两家网站认为某个热点话题重要的用户所占百分率分别为 75% 和 62%，两家网站参与话题评价的用户人数分别为 m，n. 求两家网站所有用户中认为某个热点话题重要的用户所占的百分率.
(1) 可以看成两家网站的用户日人均上网时间 a min 和 b min 的加权平均数 min；
(2) 可以看成两家网站认为某个热点话题重要的用户所占的百分率 75% 和 62% 的加权平均数 .
【思考·交流】对于例 3 中两个问题的求解过程：
(1) 两家网站所有用户的日人均上网时间.
(2) 两家网站所有用户中认为某个热点话题重要的用户的百分率.
你能从加权平均数的角度来分析一下这个过程吗?
利用已经计算出各自的平均数或百分率，可以非常方便地通过加权平均数直接计算，这是分布式计算的最简单形式，这样的计算在形式上是加权平均数，在程序上是分别计算.
分布式计算是把一个需要非常大的计算能力才能解决的问题分成许多小的部分进行处理的方式，是大数据处理的一种重要方法.
知识要点
例3 某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对 A，B，C 三名候选人进行了三项素质测试，他们的各项测试成绩如下表所示：
测试项目
测试成绩
A
B
C
创新
72
85
67
综合知识
50
74
70
语言
88
45
67
(1) 如果根据三项测试的平均成绩决定录用人选，
那么谁将被录用？
解：
(1) A 的平均成绩为
B 的平均成绩为
C 的平均成绩为
由于 70 > 68，故 A 被录用.
A 的测试成绩为
B 的测试成绩为
C 的测试成绩为
因此候选人 B 将被录用.
(2) 根据实际需要，公司将创新、综合知识和语言
三项测试得分按 4∶3∶1 的比例确定各人的测试成绩，此时谁将被录用？
例4 某老师对学生每学期总评成绩时，并不是简单地将一个学生的平时成绩与考试成绩相加除以 2，而是按照“平时练习占 40%，考试成绩占 60% ”的比例计算，其中考试成绩更为重要. 这样，如果一个学生的平时成绩为 70 分，考试成绩为 90 分，那么他的该学期总评成绩应该为多少呢？
解：
该同学的学期总评成绩是：
70×40%
= 82 (分).
+
90×60%
加权平均数
权 重
权重的意义：
各个数据在该组数据中所占有的不同重要性的反映.
加权平均数的意义：
按各个数据的权重来反映该组数据的总体平均大小情况.
考试
测试1
测试2
测试3
期中
期末
成绩
89
78
85
90
87
小青在八年级第二学期的数学成绩如下表格， 请按图示的测试、期中、期末的权重， 计算小青同学该学期的总评成绩.
期中
30%
期末
60%
平时
10%
解：
先计算小青的平时成绩：
(89 + 78 + 85)÷3
= 84 (分).
再计算小青的总评成绩：
84×10% + 90×30% + 87×60%
= 87.6 (分).
试一试
你能说说(算术)平均数与加权平均数的区别和联系吗？
2.在实际问题中，各项权不相等时，就要采用加权平均数，当各项权相等时，就采用（算术）平均数.
1.(算术)平均数是加权平均数的一种特殊情况(它特殊在各项的权相等)；
思考提升
平均数
算术平均数
加权平均数
（2）若 m 个数的平均数为 x，n 个数的平均数为 y，则这 (m + n) 个数的平均数是（ ）
A. (x + y)÷2 B. (x + y)÷(m + n)
C. (mx + ny)÷(x + y) D. (mx + ny)÷(m + n)
1.（1）某次考试，5 名学生的平均分是 82，除甲外，其余 4 名学生的平均分是 80，那么甲的得分是（ ）
A. 84 B. 86 C. 88 D. 90
D
D
2. 李大伯有一片果林，共有 80 棵果树．某日，李大伯开始采摘今年第一批成熟的果子，他随机选取 2 棵果树共摘得 10 个果子，质量分别为（单位：kg）：0.28，0.26，0.24，0.23，0.25，0.24，0.26，0.26，0.25，0.23. 以此估算，李大伯收获的这批果子的单个质量和总质量分别约为（　　）
A. 0.25 kg，200 kg B. 2.5 kg，100 kg
C. 0.25 kg，100 kg D. 2.5 kg，200 kg
C
3. 已知 x1，x2，x3，…，?x10 的平均数是 a，x11，x12，
x13，…?，x30 的平均数是 b，则 x1，x2，x3，…?，x30 的平均数为（??? ?）
A. (a + b)??? B. (a + b)??
C. (a + 3b)÷3?? ?? D. (a + 2b)÷3
D
4. 若 x1，x2，…，?xn 的平均数为 a，则
(1) 数据 x1 + 3，x2 + 3，…，xn + 3 的平均数为 ；
(2) 数据 10x1，10x2，…?，10xn?的平均数为 .
a + 3
10a
5. 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制，然后再按演讲内容占 50％、演讲能力占 40％、演讲效果占 10％ 的比例，计算选手的综合成绩（百分制）.
进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示：
选手
演讲内容
演讲能力
演讲效果
A
85
95
95
B
95
85
95
请算出两人的名次.
解:选手 A 的最后得分是
85×50％＋95×40％＋95×10％
50％＋40％＋10％
＝42.5＋38＋9.5
＝90.
选手 B 的最后得分是
95×50％＋85×40％＋95×10％
50％＋40％＋10％
＝47.5＋34＋9.5
＝91.
由上可知选手 B 获得第一名，选手 A 获得第二名.
选手
演讲内容
演讲能力
演讲效果
A
85
95
95
B
95
85
95

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