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20.3.1 数据的离散程度
第1课时 离差平方和与方差
第 20 章 数据的初步分析
学习目标
1. 掌握离差平方和、方差的概念与计算方法，能够进行常见与离差平方和、方差相关的计算. (重点)
2. 能够利用离差平方和、方差来简要的分析一组数据的离散程度. (难点)
3. 理解利用计算器和电子表格计算一组数据的方差的方法.
这是两名队员射击训练各 10 次的成绩，观察两幅图片，比较这两名队员成绩的稳定性.
离差平方和与方差
问题1 两台机床都生产直径为 (20 ± 0.2) mm 的零件 ，为了检验产品质量从产品中各抽出 10 个零件进行测量,结果如下 ( 单位: mm ):
如何评判哪台机床生产的零件的精度更稳定
机床A 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.2 19.8
机床B 20.0 20.0 19.9 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8
1
要比较零件的精度，首先要想到比较两组数据的平均值。
机床A 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.2 19.8
机床B 20.0 20.0 19.9 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8
从平均数这个角度很难区分两台机床生产零件的精度的稳定性。
如图，将每台机床生产的10个零件的直径用散点图表示.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
20.2
20.1
20.0
19.9
19.8
零件直径/mm
数据序号
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
20.2
20.1
20.0
19.9
19.8
零件直径/mm
数据序号
(2) 机床 B
(1) 机床 A
机床 B 比机床 A 生产的零件的精度更稳定.
统计学中，常用方差或离差平方和来衡量数据的离散程度.设一组数据是 x1，x2，…，xn，它们的平均数是 ，我们将 称为这组数据的离差平方和.可以简记为 .
将 称为这组数据的方差.
知识要点
离差平方和与方差都具有如下性质：
（1）最小值为 0 ；
（2）数据的离散程度大，它们的值也大.
当数据个数较多时，离差平方和的值将变得很大，而且当几组数据个数不相等时，不能用离差平方和衡量数据的离散程度，在实际操作中，我们一般选用方差来衡量数据的离散程度，而离差平方和常常会出现在回归分析等多种分析方法中.
机床A 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.2 19.8
机床B 20.0 20.0 19.9 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8
分别计算问题 1 中离差平方和与方差来分析机床 A 和机床 B 哪台生产的零件的精度更稳定。
A 和 B 两组数据的平均数均为 20 ，于是，它们的离差平方和分别为
则方差分别为：
无论是离差平方和还是方差，我们都可以知道机床 A 生产的 10 个零件直径比机床 B 生产的 10 个零件直径波动要大，据此，我们可以评判机床 B 生产的零件精度更稳定.
练一练：如图是甲、乙两射击运动员的 10 次射击训练成绩的折线统计图．观察图形，甲、乙这 10 次射击成绩的离差平方和哪个大？
【答】乙的射击成绩波动大，所以乙的离差平方和大.
例1 小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的五次测试成绩如下表所示.谁的成绩较为稳定？为什么？
测试次数 1 2 3 4 5
小明 10 14 13 12 13
小兵 11 11 15 14 11
典例精析
1 2 3 4 5 求平方和
小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13
(每次成绩－ 平均成绩)2 5.76 2.56 0.36 0.16 0.36 9.2
小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11
(每次成绩－ 平均成绩)2 1.96 1.96 6.76 2.56 1.96 15.2
所以根据结果小明的成绩比较稳定.
甲团
163
164
164
165
165
166
166
167
乙团
163
165
165
166
166
167
168
168
哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？　　
练一练：在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高（单位：cm）分别是：
解：甲、乙两团女演员的身高平均数分别是
=
=
=
=
甲
乙
165 (cm)，
166 (cm).
方差分别是
=
=
=
=
所以， ＜ .
答：甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐划一
1.5，
2.5.
用计算器和电子表格计算方差
机床A 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.2 19.8
机床B 20.0 20.0 19.9 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8
以计算机床 A 生产的零件直径的方差为例，
(1) 设定 SD 模式:打开计算器后,先按键
将其设定至开始状态；
(2) 按键 (SCL) ,清除
计算器原先在 SD 模式下所储存的数据；
MODE
2
SHIFT
CLR
1
=
2
(3) 依次按键:20.0 19.8 20.2 19.9 20.0 20.2 20.2 19.8 20.1
19.8 输入数据；
(4) 按键 显示方差的算术平方根为 0.161 245 155 ；
(5) 按键 ，显示方差为 0. 026，因此，= 0.026.
DT
DT
DT
DT
DT
DT
DT
DT
DT
DT
SHIFT
=
1
S－VAR
你能用计算器计算机床 B 生产的零件直径的方差吗
x2
=
用电子表格软件计算
(1) 在电子表格软件中输入机床 A，B 的数据,如下图：
(2) 如图 ，通过“公式”—“插入函数”—选择类别“统计”—“VAR.P” 函数计算，得到机床 A 数据的方差.
类似的操作你能得到机床 B 数据的方差吗
离差平方和与方差
定义
方差计算公式
简单应用
衡量一组数据的离散程度（稳定性）
意义
1. 人数相同的八年级 (1)、(2) 两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下： ， ，
，则成绩较为稳定的班级是 ( )
A. 甲班 B. 乙班
C. 两班成绩一样稳定 D. 无法确定
2. 在样本方差的计算公式
中，数字 10 表示_________，数字 20 表示_______.
3. 数据 －2，－1，0，1，2 的方差是___.
B
样本容量
平均数
2
4. 五个数 1，3，a，5，8 的平均数是 4，则 a =____，这五个数的方差是_____.
3
5.6
5. 比较下列两组数据的方差大小:
A 组：0， 10， 5， 5， 5， 5， 5， 5， 5， 5；
B 组：4， 6， 3， 7， 2， 8， 1， 9， 5， 5.
解:
6. 甲、乙两台编织机纺织一种毛衣，在 5 天中两台编织机每天出的合格品数如下（单位：件）：
甲：7 10 8 8 7 ；乙：8 9 7 9 7 .
计算在这 5 天中，哪台编织机出合格品的波动较小？
解：
所以乙台编织机出合格品的波动性较小.
=（7 + 10 + 8 + 8 + 7）÷5 = 8，
=（8 + 9 + 7 + 9 + 7）÷5 = 8，
7.【安徽省中考改编题】甲、乙、丙三位运动员在相同条件下各射靶 10 次，每次射靶的成绩如下：
甲：9， 10， 8， 5， 7， 8， 10， 8， 8， 7；
乙：5， 7， 8， 7， 8， 9， 7， 9， 10， 10；
丙：7， 6， 8， 5， 4， 7， 6， 3， 9， 5.
（2）依据表中数据分析，哪位运动员的成绩最稳定，并简要说明理由；
2
6
（1）根据以上数据完成下表：
1.已知一组数据 x1，x2，…，xn 的方差是 a. 平均数是 b.
(1)数据 x1-4, x2-4, …, xn-4的方差是 ，平均数是____.
(2)数据 3x1, 3x2, … , 3xn 的方差是 ，平均数是_____.
(3)数据 3x1-4,3x2-4,…,3xn-4 方差是＿＿,平均数是_____.
2. 若 x1，x2，x3，x4，…，xn 平均数为 x，方差为 s2，则
x1＋a，x2＋a，x3＋a，x4＋a，…，xn＋a 的平均数是
______，方差为_____；而 ax1，ax2，ax3，ax4，…，axn 的平均数是＿＿＿，方差是＿＿＿.
a
b-4
9a
3b
3b-4
9a
x+a
s2
ax
a2s2
拓展延伸

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