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1 四分位数
第 20 章 数据的初步分析
20.4 四分位数和箱线图
学习目标
1. 理解四分数与中位数之间的关系 .
2. 理解百分位数与四位分数的概念和表示方法，掌握求一组数据的四分位数的方法. （重点）
3. 理解四分位数在数据分析中的作用，能够利用四分位数分析一组数据的特征. （难点）
一般地，n 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫作这组数据的中位数.
1. 什么是中位数
2.计算下面两组数的中位数。
① 91，96，70，89，60，70，100，80，92，98；
② 92，93，70，88，82，75， 96，80，92，95，90.
① 中位数为 90 ，② 中位数为 90 .
问题1 某市举办“中华优秀传统文化知识”竞赛,来自甲、乙两个县的各 15 名选手竞赛成绩 ( 单位:分 ) 按照从低到高排序如下:
甲: 69 , 70, 70, 71, 72, 75, 78, 80, 82, 83, 87, 88, 88, 93, 97;
乙: 70 , 72, 73, 75, 77, 79, 79, 80, 80, 81, 83, 83, 85, 92, 94.
(1) 分别指出甲、乙两个县选手竞赛成绩的中位数;
(2) 中位数能否反映两个县选手成绩的分布差异
四分位数
1
甲: 69 , 70, 70, 71, 72, 75, 78, 80, 82, 83, 87, 88, 88, 93, 97;
乙: 70 , 72, 73, 75, 77, 79, 79, 80, 80, 81, 83, 83, 85, 92, 94.
(1) 分别指出甲、乙两个县选手竞赛成绩的中位数;
(2) 中位数能否反映两个县选手成绩的分布差异
甲、乙两个县选手竞赛成绩的中位数均为 80 .
两个县选手竞赛成绩的中位数均为 80 ，无法通过中位数来分析成绩分布差异.
思考1 有没有进一步分析这两个县选手成绩分布差异的方法
中位数是一组由小到大排列的数据里 50% 位置上的数据，优点是计算简单，受极端值影响较小。但仅有中位数，还不能完整地反映数据的分布。
为此，通常还可以找出其他百分位位置上的数据(处于 p % 位置的数据称第 p 百分位数，记为 p% 分位数)。
为了进一步分析上述两组数据的分布特点,我们可以利用以下方法：
一组数据从小到大排列后,中位数将其等分成两部分,类似地,我们也可以将一组数据从小到大排列后等分成四部分,然后再分析数据的分布特点。
中位数
整组数据
思考2 将一组数据从小到大排列后,类比求中位数的方法,怎样将该组数据四等分
中位数
整组数据
第 25 百分位数
第 75 百分位数
利用第 25 百分位数、中位数和第 75 百分位数将这组数据均分成四等份即可。
以甲县选手成绩为例，将数据从小到大排列，可得
甲: 69 , 70, 70, 71, 72, 75, 78, 80, 82, 83, 87, 88, 88, 93, 97;
第 25 百分位数：15×25% = 3.75，第 4 个数 71 满足这组数据不大于 71 分的至少占 25% 。
中位数就是第 50 百分位数，它表示不大于 80 分的至少占 50%，不小于 80 分的至少占 50% 。
延伸 根据这种方法，第 75 百分位数是多少
一组数据从小到大排列,第 25 百分位数(记作m25)、中位数(记作 m50)、第 75 百分位数(记作 m75) 把所有的数据等分成四部分，因此,称为四分位数。
m25 称为第一四分位数 (Q1)，
m50 称为第二四分位数(Q2)，
m75 称为第三四分位数(Q3)。
其中 m25 满足小于或等于 m25 的至少占 25% ,
m75 满足小于或等于 m75 的至少占 75% 。
知识要点
从表中可以看出，甲县有 25% 的选手大于或等于 88 分，乙县有 25% 的选手大于或等于 83 分，说明在高分段甲县的选手表现更好.甲县有 25% 的选手小于或等于 71 分，乙县有 25% 的选手小于或等于 75 分，说明在低分段乙县的选手表现更好.
从而我们可求得甲、乙两个县选手成绩的四分位数 ，如下表所示:
县 m25(Q1)/分 m50(Q2)/分 m75(Q3)/分
甲 71 80 88
乙 75 80 83
例1 求下列各组数据的四分位数
(1) 11 , 10 , 12 , 19 , 13 , 11 , 6 , 4 , 17 , 9 , 13 , 17 , 15；
(2) 11 , 10 , 12 , 19 , 13 , 11 , 6 , 4 , 17 , 9 , 13 , 17.
解 (1) 将这 13 个数据从小到大排列 , 得
4 , 6 , 9 , 10 , 11 , 11 , 12 , 13 , 13 , 15 , 17 , 17 , 19.
因为数据的个数是奇数，所以中位数 m50 = 12.
13×25% = 3.25. 13 ×75% =9.75
得到第 25 百分位数 m25 是第 4 个数 10，第 75 百分位数 m75 是第 10 个数。故 m25 =10，m50=12，m75 = 15.
典例精析
(2) 将这 12 个数据从小到大排列，得
4，6，9，10，11，11，12，13，13，17，17，19.
因为 12×50% = 6，所以中位数 m50 是第 6，7 个数的平均数 .
因为12×25% = 3，12×75% = 9，
第 25 百分位是第 3，4 个数的平均数
第 75 百分位数是第 9，10 个数的平均数
因此,该组数据的四分位数分别为 9.5，11.5，15 .
方法归纳
数据个数为 n 的一组数据四分位数的求法：
m25 (Q1) ：计算 n×25％，当结果为整数时，m25 为这个数与下一个数的平均数.不为整数时，将 n×25％ 的结果向上取整，得到的那个数为 m25 ，
m50 (Q2) ：整组数据的中位数，
m75 (Q3) ：计算 n×75％，当结果为整数时，m25为这个数与下一个数的平均数.不为整数时，将 n×75％ 的结果向上取整，得到的那个数为 m75 。
举例说明：
一组数据的个数为 n，计算这组数据的第一四分位数。
1.先计算 n ×25％ (即 0.25n ).
2.若结果为整数 ( 如 n = 12 时，12×25％ = 3 )，则 m25 是第 3 个数和第 4 个数的平均数 .
若结果不为整数 ( 如 n = 15 时，15×25％= 3.75 ) ，
将 3.75 向上取整结果为 4 ，则 m25 是第 4 个数 。
练一练
1.求下列各组数据的四分位数:
(1) 75 , 85 , 87 , 95 , 99 , 100 , 101 , 105 , 113 , 115 , 125；
m25 = 87，m50 = 100，m75 = 113.
(1) 11×0.25 = 2.75，11×0.75 = 8.25 .
(2) 96 , 104 , 112 , 138 , 93 , 96 , 107 , 92,
93, 95 , 100 , 100 , 96 , 118 , 115 , 118.
(2) 96，104，112，138，93，96，107，92,
93，95，100，100，96，118，115，118.
(2) 92，93，93，95，96，96，96，100，
100，104，107，112，115，118，118，138 .
将数据从小到大排列：
16×0.25 = 4，11×0.75 = 12.
2. 已知一组数据为 20 , 30 , 40 , 50 , 50 , 60 , 70 , 80,其
平均数、第 50 百分位数和众数的大小关系是(　　)
A.平均数 > 第 50 百分位数 > 众数
B.平均数 < 第 50 百分位数 < 众数
C.第 50 百分位数 < 众数 < 平均数
D.平均数 = 第 50 百分位数 = 众数
解析：平均数、第 50 百分位数和众数均为 50
D
思考与提升
1. 第 25 百分位数和第 75百分位数有何性质
2. 四分位数在分析数据时有何特点
m25 满足小于或等于 m25 的至少占 25% ,
m75 满足小于或等于 m75 的至少占 75% 。
① 不受极端值影响，稳定性强.
② 反映数据集中趋势与离散度.
4.利用四分位数来分析数据
1.四分位数的定义： .
四分位数
3.四分位数的作用：反映数据的分布.
2.如何求一组数据的四分位数.
m25 ，m50 ，m75
2.已知一组数据为 7,10,14,8,7,12,11,10,8,10,13,10,8,11,
8 , 9 ,12,9,13,20, 那么这组数据的第 25 百分位数是(　 )
A.8　　　 B.9　　　 C.10　　　 D.11
1.______________、________、_____________这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数。
第 25 百分位数
第 75 百分位数
中位数
A
3. 已知甲、乙两组数据 ( 由小到大排列 ):
甲组：27 ，28 ，39 ，40 ，m ，50；
乙组：24 ， n ，34 ，43 ，48 ，52.
若这两组数据的第 25 百分位数、第 75 百分位数分别相等，求 mn 的值。
解 6×0.25 = 1.5 , 6×0.75 = 4.5.
甲组和乙组的第 25 百分位数分别为 28 和 n .
甲组和乙组的第 75 百分位数分别为 m 和 48 .
所以 m = 48 ，n = 28 ，mn = 1344.
4. 初二(2)班小朱 、小王两名学生自进入初二以来数学考试成绩情况如下：
小朱：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107.115.
小王：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101.108.
求两个同学数学成绩的第 25 、50、75 的百分位数．
解 将两个同学的数学成绩按从小到大排列.
小朱：65,71,75,76,81,86,88,89,91,94,95,107,110,115 .
小王：78,79,83,86,88,93,98,98,99,101,103,106,108,114.
小朱：65,71,75,76,81,86,88,89,91,94,95,107,110,115 .
小王：78,79,83,86,88,93,98,98,99,101,103,106,108,114.
小朱： 14×0.25 = 3.5 , 14×0.75 = 10.5.
小王： 14×0.25 = 3.5 , 14×0.75 = 10.5.

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