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【备战2026北京中考】二轮复习高分突破专题06 圆解答题较难提升题（最新模拟题高频考点精选-精练-精讲）
1．（2025·北京昌平·二模）如图，在中，，过中点作与相切于点，交于点E，F，交于点M，N．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
2．（2025·北京海淀·二模）如图，为的切线，为切点，与交于点P，交于点．
(1)求证：；
(2)连接交于点．若的半径为，求的长．
3．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，的半径为．对于点和的弦，给出如下定义：点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，若点在弦上，且不与点，重合，则称点是弦“伴随点”．
(1)如图，点，，在点，，中，弦的“伴随点”是______；
(2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“伴随点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围；
(3)已知点．对于线段上任意一点，存在的弦，使得点是弦的“伴随点”，将点对应的弦的长度的最小值记为，直接写出的最大值及的取值范围．
4．（2025·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，对于线段和不在直线上的点，给出如下定义：若存在点，满足点与点在直线的异侧，，且，则称点为点关于线段的“平衡点”．
(1)已知点，．
①在点，，中，点_____是点关于线段的“平衡点”；
②若直线上存在点关于线段的“平衡点”，直接写出的取值范围；
(2)已知半径为2，是的弦，且．点，，以为对角线作正方形．若正方形边上存在点关于线段的“平衡点”，直接写出的取值范围．
5．（2025·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，对于的弦（非直径）和圆外一点，给出如下定义：若弦所对的劣弧上存在两点（可与重合），使直线与相切，则称点是关于的“切弧点”．
(1)如图，的半径为1，点，．
①在点中，关于的“切弧点”是___________；
②直线经过点（0，2），且与轴垂直，点在上．若直线上存在关于的“切弧点”，记点的横坐标为，直接写出的取值范围；
(2)已知点．若存在半径为的，使得对于上任意一点，都存在的长为的弦，满足点是关于的“切弧点”，直接写出的取值范围．
6．（2025·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，的半径为，点是上一点．对平面内的一点，先将点关于点作中心对称变换得到点，再将点沿射线的方向平移半径的长度得到点，称为一次关于半径的反射平移，点称为点关于半径的反射平移点．如图，已知点．
(1)点是上的动点，当时，在，，，中，可能是点关于半径的反射平移点的是_______；
(2)设直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过．
在上述条件下，________；
当的坐标为时，如果线段上一点关于半径的反射平移点在上或内部，直接写出点的横坐标的取值范围；
当在轴的正半轴上时，如果线段上存在点，使点关于半径的反射平移点在上，直接写出的半径的取值范围．
7．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，已知点，线段轴于点为平面内一条线段，将点绕点旋转后得到点．若点到点的距离为1，则称线段为点的“隐圆线段”．
　　　　
(1)若点在轴上时，点的“隐圆线段”长为_____________；
(2)求点的“隐圆线段”长的最大值；
(3)若点的“隐圆线段”所在直线为，直接写出的取值范围．
8．（2025·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，对于和外一点，给出如下定义：若的一条弦绕点旋转得到的线段仍然是的一条弦，则称点是的“-旋称点”，此时的是关于点的一条“-旋称弦”．
(1)如图1，的半径为2．
①在点，，，中，的“-旋称点”可以是___________；
②弦的长为2，轴．若是关于点的“-旋称弦”，直接写出点的坐标；
(2)如图2，，，．若点，，都是的“-旋称点”，且的边上存在关于点，，的“-旋称弦”，直接写出点的坐标，和的半径的取值范围．
9．（2025·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，对于图形，点给出如下定义：图形向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到图形，若图形与图形有且只有一个公共点，称点为图形的“限定点”．
已知点，，
(1)在点，，中，的“限定点”是____．
(2)点在直线上，且点为的“限定点”，则点的坐标为____．
(3)的圆心在轴上，半径为，若上存在点，使得点为的“限定点”，则点的横坐标的取值范围为____．
10．（2025·北京西城·二模）给定线段和位于直线同一侧的两点，，若在线段上（不含端点，）存在点，使得且，则称点与关于线段等角等距．在平面直角坐标系中，已知点．
(1)点的坐标为，
①在点，，，中，与点关于线段等角等距的点是______；
②点是直线上一点，若在以点为圆心，1为半径的圆上总能找到一点与点关于线段等角等距，则点的横坐标的取值范围是______；
(2)已知点，在以为圆心，1为半径的圆上存在点，使得点与关于线段等角等距，直接写出的取值范围．
11．（2025·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，对于和图形，给出如下定义：若图形上任意两个不同点，，上存在两点，使得，则称图形为的“平衡图形”
(1)如图1，的半径为1
①点，，，，，．在线段，，中，线段______是的“平衡图形”；
②若直线与坐标轴交于点，线段为的“平衡图形”．则的取值范围是______；
(2)如图2，点，，．若是的“平衡图形”，直接写出的半径的取值范围．
试卷第1页，共3页
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《【备战2026北京中考】二轮复习高分突破专题06 圆解答题较难提升题（最新模拟题高频考点精选-精练-精讲）》参考答案
1．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，．由圆切线的定义得出，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出．再由等腰三角形三线合一即可得出答案．
（2）过点作于点，连接．设的半径为，则．先由勾股定理定理得出，再由垂径定理得出，再根据矩形的判定和性质得出，再根据勾股定理得出，
再利用垂径定理求值即可．
【详解】（1）解：连接，．
与相切，
．
在中，，
．
．
（2）解：过点作于点，连接．
设的半径为，则．
，
．
在中，
，
．
．
解得：．
为的弦，
．
，
四边形为矩形．
．
在中，
，
．
．
【点睛】本题主要考查了圆切线的定义，垂径定理，三线合一，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键．
2．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质以及切线长定理，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键；
（1）根据切线长定理得，根据平行线的性质即可得证；
（2）连接．由（1）可得，则，由可得则，勾股定理求得证明得出，根据，即可求解．
【详解】（1）证明：为的切线，
．
．
．
，
．
（2）解：如图，连接．
由（1）可得，
是的直径．
是的切线，
．
．
，
．
，
．
．
．
在中，，
．
在中，
由（1）可得，，
为的中点．
为的中点，
．
，
．
．
．
．
在中，，
．
3．(1)；
(2)或
(3)的最大值为，
【分析】本题考查了点的平移，切线的性质，勾股定理，解直角三角形，理解新定义是解题的关键；
（1）根据新定义，结合坐标系，平移即可求解；
（2）根据新定义，弦，先得出在的圆环内，进而得点是弦的“伴随点”则以为圆心的圆环，设分别和圆环交于，进而分别求得其横坐标，结合图形，即可求解；
（3）根据新定义先得对应的弦的长度的最小值时，经过的的切点，进而求得经过时，取得的最大值，进而得出的范围，即可求解．
【详解】（1）解：根据新定义，将先弦向右平移1个单位，再向上平移1个单位，
则平移后经过点，则是弦的“伴随点”
故答案为：；
（2）解：的弦，的半径为．
∴是等边三角形，
设
则
∴在的圆环内
如图，将圆环向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到以为圆心的圆环，设分别和圆环交于，
则点是弦的“伴随点”在圆环内部，不包括圆弧外边界（根据定义不和端点重合），
由于与轴的夹角为
∴的横坐标为，的横坐标为，
同理可得的横坐标为，的横坐标为
∴或
（3）解：如图，将向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到以为圆心的圆，设为的对应弦，
线段上任意一点，存在的弦，使得点是弦的“伴随点”，则为的圆环内的弦，
当经过的的切点时，取得最小值，
当为半径为的切点时，即的中点时，取得最大值，
∵点在上，
∴的最大值为
∴,
∴的最大值为
∴，
∵，,
即是线段上的点，当重合时取得最小值，当重合时取得最大值，而不包括端点，则不能取等于号，
∴
4．(1)①；②；
(2)或．
【分析】本题考查了几何新定义，勾股定理，圆内接四边形对角互补，切线的性质，坐标与图形，理解新定义是解题的关键；
（1）先进行定义分析，得出，的长度临界值为四点共圆，
①根据定义即可求解；
②根据定义得出点关于线段的“平衡点”，在上，且在以的圆的内部，包括圆上，即上的点，进而将点和分别代入一次函数解析式，即可求解；
（2）根据定义得出点关于线段的“平衡点”在的右侧，在的垂直平分线上，且在的外接圆的内部，找出范围，进而将正方形从左到右移动找到临界值，即可求解．
【详解】（1）解：定义分析，如图，满足点与点在直线的异侧，过点分别作的垂线，垂足分别为
根据勾股定理可得：，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴，即重合，
∴符合条件的四边形，，如图，
又∵，
∴，即的长度临界值为四点共圆，且包括圆上的点，
①∵点，，，，，
∴只有点使得，，且
∴点是点关于线段的“平衡点”
②作的外接圆，则圆心为的垂直平分线的交点，如图，
由定义可得，点关于线段的“平衡点”，在上，且在以的圆的内部，包括圆上，即上的点，
当经过和时，即
将代入，解得，
将代入，解得：
∴；
（2）解：∵半径为2，是的弦，且，
∴是等边三角形，
如图，点关于线段的“平衡点”在的右侧，在的垂直平分线上，且在的外接圆的内部，
设的中点为，，则在的外接圆上，此时为直径，
∵是的弦，
∴点关于线段的“平衡点”在以，为半径的圆弧内部，不包括为半径的圆上部分，包括为半径的圆上部分，
∵，
∴，，
∵点，，以为对角线作正方形．若正方形边上存在点关于线段的“平衡点”，
如图，当正方形与为半径的圆在轴的负半轴外切时，
∴
解得：，
如图，当正方形的一个顶点在以为半径的圆上时，
解得：或（舍去）
∴
继续移动正方形，如图，当在以为半径的圆上时，
∴
解得：（舍去）或
当正方形与为半径的圆在轴的正半轴外切时，
∴
∴
综上所述，或．
5．(1)①；②
(2)
【分析】本题主要考查了切线的性质、垂径定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，根据“切弧点”确定“切弧点”所在的区域是解题的关键．
（1）①根据“切弧点”的定义画出“切弧点”所在的区域，然后结合图形即可解答；②先根据“切弧点”确定“切弧点”所在的区域，再通过勾股定理、等面积法求得，设，则，然后根据勾股定理求得，即，再结合“切弧点”的定义即可解答；
（2）如图：过作，通过解直角三角形可得，再根据垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质可得，进而得到，解得：；最后再结合“切弧点”的定义即可解答．
【详解】（1）解：①分别过A、B作圆的切线，由“切弧点”的定义可知：两切线与弦所对的劣弧形成的图形上的点都是“切弧点”．则是“切弧点”．
故答案为：．
②由题意可知：“切弧点”在过A点的切线上 由于在弦上存在两点M、N，与外一点Q相切，使直线与⊙O相切，则等价于C点从A出发缓慢移动，在运动过程中，OC的切线与过A点的切线的交点扫过的区域，即为“切弧点”的所在的区域．
当“切弧点”在这条直线上，画出“切弧点”的所在的区域如图所示：
由题意可知：，
∴，
∵，
∴，解得：．
设，则，
由勾股定理可得：，
∴，解得：，即
∵切弧点在劣弧上，
∴，
∴m的取值范围为．
（2）解：如图：过作，
∵．
∴，
∴，即，
∴，
由（1）可知切弧点所在的区域过弦的端点作的切线与该弦所对劣弧围成的区域．由于随着弦的运动，切弧点所在的区域即为圆环对应的区域(如图示)．
由垂径定理可知： ，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
∴圆环的宽度为，即，
∵存在，对于上任意一点S，满足点S是关于的“切弧点”，即切弧点所在的区域（圆弧）需完全覆盖，由于位置固定、T位置可变，可通过相对运动转化固定圆环，如图：让可以不同方式“进入”圆环区域，确保圆环区域以最小宽度全部覆盖，即，解得：；
∵圆环的宽度不能为圆的直径，即，
∴的取值范围为．
6．(1)，；
(2)；；．
【分析】（）根据新定义可得在为圆心，为半径的圆上，进而根据点的坐标到)的距离为，即可求解；
（）根据一次函数的性质即可求出的值；
线段上一点关于半径的反射平移点在上或内部，即在的内部时，先中心对称再平移得出，则，由线段经过反射平移后与轴的夹角不变，所以，进而得出，结合图形即可求解；
当与相切时，为临界值，延长交于点，作轴，则，，，求出，根据 ，再解方程．
【详解】（1）解：由点关于的对称点，
∵，
∴在为圆心，为半径的圆上，如图所示，
∵，，， ，
∴根据图形可知，在上，
故答案为：，；
（2）解：∵经过点，
∴当时，，
故答案为：；
∵，
∴，
如图所示，线段上一点关于半径的反射平移点在上或内部，即在的内部时，先中心对称再平移，
当时，，
则，
∴，
∴，
∴，
∵线段经过反射平移后与轴的夹角不变，
∴，
∴当在上且不与点重合时，连接，则即为等边三角形，
∴
∴，，
结合图形，可得线段上一点关于半径的反射平移点在上或内部时， ；
如图所示，当与相切时，为临界值，延长交于点，作轴，则，，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
又∵，
∴，
解得，
∴线段上存在点，使点关于半径的反射平移点在上，的半径的取值范围为．
【点睛】本题考查了圆的综合应用，几何新定义，中心对称与平移变换，一次函数与坐标轴交点问题，解直角三角形，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，勾股定理，理解题意，熟练掌握以上知识掌握是解题的关键．
7．(1)和
(2)3
(3)
【分析】（1）由点C在x轴上，且点C到点O的距离为1，得到或．由中心对称得到点D是线段的中点，因此可得点D的坐标，根据两点间的距离公式即可求解；
（2）连接，取的中点，连接，，则，由三角形中位线的性质得到，因此点D在以点为圆心，半径的圆上运动，根据“一箭穿心”模型即可解答；
（3）由（2）可知点D在上运动，又直线过点B，因此，过点B作的切线，切点分别为点M，N，设直线的解析式为，直线的解析式为，则．根据相似三角形的判定及性质，待定系数法分别求出，即可解答．
【详解】（1）解：∵点C在x轴上，且点C到点O的距离为1，
∴或．
①当点C为时，
∵点绕点旋转后得到点，
∴点D是线段的中点，
∵，
∵线段轴于点，
∴，
∴．
②当点C为时，
∵点绕点旋转后得到点，
∴点D是线段的中点，
∵，
∵线段轴于点，
∴，
∴．
综上所述，点A的“隐圆线段”长为或．
（2）解：连接，取的中点，连接，
∵，
∴点C在以点O为圆心，半径为1的圆上运动，
∵点D是的中点，点E是的中点，
∴，
∴点D在以点为圆心，半径的圆上运动，
∴，
∴的最大值为，
即点的“隐圆线段”长的最大值为3．
（3）解：由（2）可知点D在上运动，
又点的“隐圆线段”所在直线为，
∴直线过点B，
∴如图，过点B作的切线，切点分别为点M，N，
设直线的解析式为，直线的解析式为，
∴．
①连接，过点E作轴，交于点F，过点F作轴于点G，
由（2）有，，
∴在中，，
∵，轴， 轴，
∴，
设，则，
∵轴，
∴，
∵与相切于点M
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
即，
∴，
∴，
∴，即，
∴把点，代入直线的解析式，得
，解得．
②连接，过点E作轴，交于点H，交于点K，
∴，，，
∵，是的切线，
∴，，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，即，
∴把点，代入直线的解析式，得
，解得．
综上，．
【点睛】本题考查中心对称图形的性质，两点间的距离公式，三角形中位线的性质，圆的定义，圆外一点到圆上的点的最短距离，相似三角形的判定及性质，切线的性质，待定系数法等，综合运用相关知识是解题的关键．
8．(1)①，；②或
(2)，
【分析】（1）①对于外任一点，连接，将绕点顺时针旋转交于、，其中设弦的中点为，连接，将绕点逆时针旋转交于、，其中设弦的中点为，当为的切线时，可求得，可知时，的一条弦绕点旋转得到的线段仍然是的一条弦，然后分别算出，，，判断即可；②取与轴的交点为，连接，延长，使得，连接，那么可知道是等腰直角三角形，可算出点的坐标，由题意可知，当点落在点时符合题意，延长，使得，同理可算得，满足条件；
（2）由题意可知，在内部，、、三点都在外部，将绕逆时针旋转，将绕顺时针旋转，将绕顺时针旋转、将绕点逆时针旋转，将绕逆时针旋转，将绕点顺时针旋转，如图所示，其交点有两个，分别为和，当圆心在点时，根据定义舍去，当圆心在点时， ，先求得点的坐标，分别以为圆心，以、为半径画圆，那么当，满足题意．
【详解】（1）解：①对于外任一点，连接，将绕点顺时针旋转交于、，其中设弦的中点为，连接，将绕点逆时针旋转交于、，其中设弦的中点为，如图所示：
当为的切线时，，，，
，
，
那么当时，的一条弦绕点旋转得到的线段仍然是的一条弦；
在点，，，中，
，，，，
，
在点，，，中，的“-旋称点”可以是，；
故答案为：，；
②取与轴的交点为，连接，延长，使得，连接，如图所示：
弦的长为2，轴，
，
，
，
；
若是关于点的“-旋称弦”，那么点与点点重合时，满足条件；
延长，使得，同理可算得，满足条件；
综上，点坐标为：或；
（2）解：对于半径为的外任一点，连接，将绕点顺时针旋转交于、，其中设弦的中点为，连接，将绕点逆时针旋转交于、，其中设弦的中点为，如图所示，
同（1）①，可求得当时，的一条弦绕点旋转得到的线段仍然是的一条弦；
，，．若点，，都是的“-旋称点”，且的边上存在关于点，，的“-旋称弦”，
在内部，、、三点都在外部；
将绕逆时针旋转，将绕顺时针旋转，将绕顺时针旋转、将绕点逆时针旋转，将绕逆时针旋转，将绕点顺时针旋转，如图所示，其交点有两个，分别为和，
由题意可知，当圆心在点时， ，点的横坐标在大于0，小于2，
，
在的垂直平分线上，
过点作于，
，，
，，，
，，
，
，
；
不妨设，那么，，
，
，
，
或，
点的横坐标大于0且小于2，
，
，
；
分别以为圆心，以、为半径画圆，如图所示：
，
边上不存在关于点，，的“-旋称弦”，
故不符合题意；
当圆心在点时， ，
，
点在的垂直平分线上，
，，
的纵坐标为，
过点作于，
，
，，
，
，
，，
，，
，，
分别以为圆心，以、为半径画圆，如图所示：
那么当，即，满足题意；
此时，满足；
综上，，．
【点睛】本题考查了“-旋称点”，“-旋称弦”，勾股定理，解直角三角形，垂径定理，等腰三角形的性质，读懂“-旋称点”，“-旋称弦”的定义，作出合适的辅助线利用数形结合的思想是解题的关键．问题也可转化为轴对称进行求解．
9．(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）可证明平移后点O的对应点即为点P，由于是以O为直角顶点的等腰直角三角形，那么由平移的性质可得平移后的对应图形是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，根据和有且只有一个交点，得到的某一个顶点在的边上或的某一个顶点在的边上，可得点P在六边形的边上，据此求解即可；
（2）根据（1）所求可得点P即为直线与六边形的交点，据此求解即可；
（3）根据（1）所求只需要找到与六边形有交点时m的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：当是的“限定点”时，
当时，则平移后点O的对应点坐标为，即，
当时，则平移后点O的对应点坐标为，即，
当时，则平移后点O的对应点坐标为，即，
当时，则平移后点O的对应点坐标为，即，
综上所述，平移后点O的对应点即为点P，
∵，，
∴，
∴是以O为直角顶点的等腰直角三角形，
∴由平移的性质可得平移后的对应图形是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，
∵和有且只有一个交点，
∴的某一个顶点在的边上或的某一个顶点在的边上，
如图所示，当点在线段上时，则点P在线段上，；
当点在线段上时，则点P在线段上，；
当点在线段上时，则点P在线段上；
当点在线段上时，则点P在线段上；
当点在线段上时，则点P在线段上；
点在线段上时，则点P在线段上；
综上所述，点P在六边形的边上，
∵在点，，中，只有在六边形的边上，
∴在点，，中，的“限定点”是；
（2）解：∵点在直线上，且点为的“限定点”，
∴由（1）可得点P即为直线与六边形的交点，
在中，当时，，当时，，
∴点P的坐标为或．
（3）解：如图所示，当恰好经过点A时，则，
∴；
如图所示，当与恰好相切时，设切点为N，连接，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当与恰好相切时，同理可得，
∴，
∴；
如图所示，当恰好经过点D时，则时，解得；
∵上存在点，使得点为的“限定点”，
∴与六边形有交点，
∵当或时，与六边形有交点，
∴点C的横坐标m的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化平移，切线的性质，求一次函数的函数值，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确推出点P的轨迹是解题的关键．
10．(1)①，；
②；
(2)或
【分析】本题考查垂直平分线，平行线的判定与性质，圆与直线的关系，勾股定理，相似三角形的运用，正确分类是解题的关键．
（1）①判断出点K为线段的垂直平分线与线段的交点，且，即可解答；
②根据点K为线段的垂直平分线与线段的交点，且，再分类讨论，即可解答．
（2）根据点K为线段的垂直平分线与线段的交点，且，即可画图，易得时，满足题意；当时，求出继而求出，证明，可求出，再根据，可列出关于m的不等式，即可解答．
【详解】（1）解：作的平分线交于点F，如图，
∴，
∵，
∴，
即为的垂直平分线，
∵， ，
∴，即，
∴，，
∴，
即点K为线段的垂直平分线与线段的交点，且．
①由结论及图，可得与点关于线段等角等距的点是点B，C．
②如图，当时，圆上不存在一点满足题意；
当时，由图可知，满足题意；
当时，过点F作轴于点N，有
，，
∴，
∴，
由题意，可知关于线段等角等距，即的垂直平分线与线段（不包括端点）有交点，有
由成立，
∴
即，
，
∴，
即或（无解）
∴，
综上所述，．
（2）当时，的垂直平分线为直线；
当时，的垂直平分线为第一，三象限的角平分线；
如图，可知，当时，总有点与关于线段等角等距．
当时，过点O作垂直于的垂直平分线于点A，延长与圆的交点即为H，如图，有，，，
即，
∵是的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
即
，
∴，
由，得，
由得
，
，
∴，解得，
由得．
综上所述，或
11．(1)①，；②
(2)
【分析】（1）①根据“平衡图形”的定义分别求出各个线段上任意点到的距离的取值范围即可确定答案；②设直线与轴交于点；进而可求得，，分以下几种情况：当线段完全在内时，线段上任意一点P到的距离满足，此时；当线段上点在上时，任意一点P到的距离满足，时也符合题意，当线段一部分在内，一部分在外时，点到的距离满足，当与相切时．此时，；当线段全部在外时，作于，点到的距离满足，点到的距离满足，进而，确定时符合题意，即可求解；
（2）设直线为，求得； ，分
①当在内时，②当在时，同法求得上任意点到距离的取值范围即可求解．
【详解】（1）解：①设线段上点到的距离为，
，
设线段上点到的距离为，
，
，
，
线段上任意一点到的距离满足，
线段上存在任意两个不同点，，使得，则线段为的“平衡图形”；
设线段上点到的距离为，
，
设线段上点到的距离为，
，
，
，
线段上任意一点到的距离满足，
线段上存在任意两个不同点，，使得，则线段为的“平衡图形”；
设线段上点到的距离为，
，
设线段上点到的距离为，
，
，这两个距离范围没有公共部分，
线段上不存在任意两个不同点，，
使得，则线段不是的“平衡图形”；
综上所述，线段、是的“平衡图形”；
故答案为：、；
②解：设直线与轴交于点；
当时 ，，
当 时，，
，，
，
，
，
当线段完全在内时，线段上任意一点P到的距离满足，即只要这个图形都在内这个图形上所有的点都符合题意，此时；
当线段上点在上时，任意一点P到的距离满足，时也符合题意，
当线段一部分在内，一部分在外时，点到的距离满足，
当与相切时．如上图所示∶此时，
；
当线段全部在外时，如图所示：
作于，
，
点到的距离满足，
点到的距离满足，
时符合题意，即，
综上所述，，
故答案为：；
（2）解：设直线为，
将，代入，
得，
解得，
；
点，
，
①当在内时，
由题意可知，若是的“平衡图形”，则上任意一点到的距离满足，
作于，由上题可知：，
上点到的距离满足，
上任意一点到的距离满足，
时符合题意，即．
②当在时，
同①可得：，
，即此时可以无限大；
综上所述，若是的“平衡图形”，的半径的取值范围是．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系， “平衡图形”，的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会结合图形利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型．
答案第1页，共2页
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