资源简介

安徽合肥市第一中学 2026届高三下学期素质扩展训练 (三)
数学试题
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知集合 A= x|x是绝对值小于 3的整数}，B= 1,3,5 ，则 A∪ B的元素个数为
A. 1 B. 3 C. 7 D. 8
2.命题“ x∈ R , ex> ln x+ 1”的否定是
A. x∈ R , ex≤ lnx+ 1 B. x∈ R , ex≤ lnx+ 1
C. x R , ex> ln x+ 1 D. x R , ex> ln x+ 1
3.已知向量m = 1,2 ，n= 5-2t2, t 满足m- 2n= -5,0 ，则向量m与 n的夹角为
A. π6 B.
π 3π 5π
4 C. 4 D. 6
4.已知锐角 α满足 sin(α+ β)cos(α- β) + cos(α+ β)sin(α- β) = 13 ，则 sinα+ cosα=
A. 33 B.
2 2 3 3
2 C. 3 D. 2
5.已知数列 a
S
n ， bn 为等差数列，其前 n项和分别为 Sn，Tn，且满足 n+1 an= 2n+1 bn+1，则 7T =7
A. 15 B. 15 C. 97 8 4 D.
9
5

6.已知点 P是圆C : x-2 2 + y2= 4上一点，直线 l : kx- y- k+ 1= 0与圆C相交于 A，B两点，则 PA+PB
的最大值为
A. 2+ 2 B. 2+ 2 2 C. 4+ 2 D. 4+ 2 2
7. y= x
2
函数
e|x|
的图象大致为
-2
A. B.
数学试题 第 1 页 共 4 页
C. D.
8.如果方程 F(x , y) = 0能确定 y是 x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如
下：在方程 F(x , y) = 0中，把 y看成 x的函数 y= y x ，则方程可看成关于 x的恒等式 F x,y x = 0，在
等式两边同时对 x求导，然后解出 y x 即可．例如，求由方程 x2+ y2= 1所确定的隐函数的导数 y ，将方
程 x2+ y2= 1的两边同时对 x求导，则 2x+ 2y y = 0(y= y(x)是中间变量，需要用复合函数的求导法
则) x，得 y =- y (y≠ 0)．那么曲线 xy+ lny= 2在点 2,1 处的切线方程为
A. x- 3y+ 1= 0 B. x+ 3y- 5= 0 C. 3x- y- 5= 0 D. 2x+ 3y- 7= 0
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9.已知 2-x 8 = a 20+ a1x+ a2x + +a 88x ，则
A. a0= 28 B. a1+ a2+ +a8= 1
C. a1 + a2 + a3 + + a8 = 38 D. a1+ 2a2+ 3a3+ +8a8=-8
10.如图，已知正方体 ABCD- A1B1C1D1的棱长为 2，P是正方形 ABCD(包括边界)底面内的一动点，则下列
结论正确的有
A. 三棱锥 B1- A1D1P的体积为定值
B. 存在点 P，使得D1P⊥ BC1
C. 若D1P⊥ B1D，则 P点在正方形 ABCD内的运动轨迹长度为 2 2
D. 若点 P为 AD的中点，点Q为 BB1的中点，过 P，Q作平面 α⊥平面 ACC1A1，则平面 α截正方体 ABCD
- A1B1C1D1所得截面的面积为 3 3
2
11. x已知椭圆C : 22 + y = 1，F1，F2分别是椭圆C的左右焦点，O是原点，P是椭圆C上任意一点，下列说法
正确的有
A. △F1PF2的周长是 2 2+ 2
B. ∠F PF = π1 2 3 时，△F1PF2的面积是 3
C. PF1 PF2 的最大值是 2
D. 过 P作椭圆C的切线与 x轴和 y轴分别交于 A，B两点，则△ABO面积的最小值为 2
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三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12.圆台母线长为 3，上、下底面半径比为 1 : 2，当圆台体积最大时，以此圆台的上、下底面为截面的球的表面
积为 .
13.下图是由七个圆和八条线段构成的图形 (该图形不能旋转和翻转)，其中由同一条线段连通的两个圆称
作“相邻的圆”.若将 1，2，3，4，5，6，7这七个数字分别填入这七个圆中，且满足带有阴影的圆中的数字
大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有 种.
14.草坪上有一个带有围栏的边长为 6m的正三角形活动区域 ABC，点 P在边 BC上，且 PC= 2PB，小王同学
在该区域玩耍，他在 P处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角 (任两条光线的最大夹角)为 60°，
则手电筒在 ABC内部所能照射到的地面的最大面积为 m2.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知 Sn为数列 an 的前 n项和，若 S2= 6，S6= 42
S
，且数列 n n 为等差数列.
(1)求数列 an 的通项公式；
(2) b a若数列 b n+1 nn 的首项为 2，且 b = a ，求数列 bn 的前 n项和 Tn.n n+2
16.已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有 1个红球和 3个白球，乙袋内有 2个红球和 2个白球．根据下列规则
进行连续有放回的摸球 (每次只摸 1个球)：先随机选择一个袋子摸球．若选中甲袋，则后续每次均选择
甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球．
(1)按照上述规则摸球 3次．当第 1次选中的是甲袋，求摸到红球的个数 X的分布列及期望 E X ；
(2)按照上述规则进行连续摸球，若摸到 2次红球则停止摸球．求 3次之内 (含 3次)停止摸球的概率.
数学试题 第 3 页 共 4 页
17.如图，在四棱锥 P- ABCD中，底面 ABCD为菱形，E，F分别为CD，PA的中点.
(1)证明：EF 平面 PBC；
(2)若平面 PAB⊥平面 ABCD，PA= PB，AB= 2，∠BAD= 60°，平面 PAE与平面 PAB夹角的余弦值为
4 31
31 ，求点 F到平面 PBC的距离.
18.已知函数 f x = ex-a a∈R ．
(1)若函数 f x 过原点 0,0 的切线为 y= ex，求实数 a的值；
(2)若函数 f x 的图象与⊙O : x2+ y2= r2(r> 0)相交于两个不同点 A，B，记直线 AB的斜率为 k．
(i)当 r= 2时，求实数 a取值范围；
(ii)当 r= 2 33 时，证明：k< 3 .
19. F 0, 1 E y=- 1 E Γ l : y= kx+ 1已知经过定点 2 的动圆 与直线 2 相切，记圆心 的轨迹为曲线 ，直线 2 与
曲线 Γ交于不同的两点M ,N，以M ,N分别为切点作曲线 Γ的切线 l1 , l2 , l1与 l2的交点为 P.
(1)求点 P的轨迹方程；
(2)设点 A1 0,y1 ，连接MA1 ,NA1，分别与曲线 Γ的另一个交点为M1 ,N1，直线M1N1与 y轴相交于
A2 0,y2 ，连接MA2 ,NA2，分别与曲线 Γ的另一个交点为M2 ,N2，直线M2N2与 y轴相交于 A3 0,y3 , ，连
接MAn ,NAn，分别与曲线 Γ的另一个交点为Mn ,Nn，直线MnNn与 y轴相交于 An+1 0,yn+1 ，已知 y1= 1.
(i)求数列 yn 的通项；
(ii)已知 an= log2yn+ 1 , bn= log2an , Sn为数列 anbn 的前 n项和，求使不等式 Sn> 2025成立时，n的最小
值.
数学试题 第 4 页 共 4 页
参考答案
1. C
【解析】由题意得 A= -2,-1,0,1,2 ，A∪ B={-2 ,-1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 5}，因此，A∪ B共 7个元素.
2. A
【解析】命题“ x∈ R , ex> ln x+ 1”的否定为“ x∈ R , ex≤ lnx+ 1”.
3. B
m - 2n 【解析】因为 = (1 , 2) - 2(5- 2t2 , t) = (4t2- 9 , 2- 2t) = -5,0 ，
4t2-9=-5 所以 2-2t=0 ，解得 t= 1，所以 n= 3,1 ，
, = m
n
cos m n = 3+2 2

所以 = ，又 0≤ m,n
≤ π，
m n 1+4 9+1 2

m n π所以向量 与 的夹角为 4 .
4. C
【解析】由 sin(α+ β)cos(α- β) + cos(α+ β)sin(α- β) = sin[(α+ β) + (α- β)]= sin2α，
可得 sin2α= 13 , α为锐角，可得 sinα+ cosα= (sinα+ cosα)
2= 1+ sin2α= 1+ 13 =
2 3
3 .
5. C
n a1+an n b1+bn
【解析】等差数列前 n项和 Sn= 2 ，Tn= 2 ，
7 a1+a7
S7 = 2 = a1+a7所以 T ，7 7 b1+b7 b1+b7
2
由等差数列性质知 a1+ a7= 2a4，b1+ b7= 2b4，
S7 = a1+a7 = 2a4 = a所以 4T b +b .7 1 7 2b4 b4
又 n+1 an= 2n+1 bn+1，
当 n= 2时， 2+1 a2= 2×2+1 b2+1，即 3a2= 5b3，
当 n= 3时， 3+1 a3= 2×3+1 b3+1，即 4a3= 7b4，
当 n= 4时， 4+1 a4= 2×4+1 b4+1，即 5a4= 9b5，
令等差数列 an 的公差为 d1，等差数列 bn 的公差为 d2，
则 3 a4-2d1 = 5 b4-d2 ①，4 a4-d1 = 7b4②，5a4= 9 b4+d2 ③，
d = 4a4-7b4 d = 5a -9b由②得， ，由③得， 4 41 4 2 9 ，
代入①中，整理得，4a4= 9b
a
，所以 4 = 9 S，故 74 b 4 T =
a4 9
b = 4 .4 7 4
6. D
【解析】依题意，直线 l : kx- y- k+ 1= 0可化为 k x-1 - y-1 = 0，所以直线 l过定点D 1,1 ；
圆C : x-2 2 + y2= 4的圆心为C 2,0 ，半径为 r= 2，所以 CD = 2< 2，所以定点D在圆C的内部；
参考答案 1 页 共 10 页

如上图 (左)，作 AB的中点M，则 PA+ PB= 2PM，所以 PA+PB = 2 PM ；

如上图 (中)，在△DCM中， CM ≤ CD = 2，当D与M重合时取等号，此时 AB⊥CD；

如上图 (右)，在△PCM中， PM ≤ PC + CM = r+ CM = 2+ CM ，当 PC与CM 共线时取等号；

所以 PA+PB = 2 PM ≤ 2 PD ≤ 2 2+ CD ≤ 2 2+ 2 = 4+ 2 2 .当D与M重合，且 AB⊥CD，P ,
C ,D共线时取等号.
7. D
2
【解析】∵ y= x|x| ，e -2
∴ e|x|- 2≠ 0，则 x≠±ln2，即定义域为 {x|x≠±ln2}，
2 -x 2
f x = y= x f -x =
2
设 x ，则 -x =
x
x = f x ，e -2 e -2 e

-2
2
故 f x x = y= x 为偶函数，图象关于 y轴对称，排除 BC，e -2
2
当 x> ln2时，e|x|> 2，e|x|- 2> 0 x，
e|x|
> 0，f x > 0，排除 A.
-2
8. B
【解析】由给定定义得，对 xy+ lny= 2左右两侧同时求导，
1
可得 y+ xy + y × y
= 0，将点 2,1 代入，得 1+ 2y + y = 0，
解得 y =- 1 1 13 ，故切线斜率为- 3 ，得到切线方程为 y- 1=- 3 x-2 ，
化简得方程为 x+ 3y- 5= 0，故 B正确.
9. AD
【解析】由 2-x 8 = a0+ a1x+ a2x2+ +a8x8，
令 x= 0得 a0= 28，A选项正确.
令 x= 1得 a0+ a1+ a2+ +a8= 1 , a1+ a2+ +a8= 1- 28，B选项错误.
二项式 2-x 8 展开式的通项公式为Cr 28-r8 -x r = -1 r 28-r Cr r8 x ，
由此可知 a1 , a3 , a5 , a7是负数，a2 , a4 , a6 , a8为正数，
所以令 x=-1得 a0- a1+ a2- a3+ a4- a5+ a6- a7+ a8= 38，
-a1+ a2- a3+ a4- a5+ a 86- a7+ a8= 3 - 28，
即 a1 + a2 + a3 + + a 88 = 3 - 28，C选项错误
由 2-x 8 = a0+ a1x+ a2x2+ +a x88 ，
两边求导得-8 2-x 7 = a1+ 2a2x+ 3a3x2+ +8a8x7，
令 x= 1得 a1+ 2a2+ 3a3+ +8a8=-8，所以D选项正确.
10. ACD
参考答案 2 页 共 10 页
【解析】对于 A，在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，平面 ABCD 平面 A1B1C1D1，
则点 P到平面 A1B1C1D1距离为定值，△A1B1D1的面积为定值，VB1-A =V1D1P P-A 为定值，A正确；1D1B1
对于 B，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(2 , 2 , 0) ,C1(0 , 2 , 2) ,D1(0 , 0 , 2)，

设 P(x , y , 0) (x , y∈ [0 , 2])，D1P= (x , y ,-2) , BC1= (-2 , 0 , 2)，D1P BC1=-2x- 4≤-4，
D1P , BC1不垂直，因此不存在点 P，使D1P⊥ AD1，B错误；
对于C，连接DB，BB1⊥平面 ABCD，AC 平面 ABCD，则 AC⊥ BB1，而 AC⊥DB，
又DB∩ BB1= B ,DB , BB1 平面DBB1，则 AC⊥平面DBB1，又DB1 平面DBB1，则 AC⊥DB1.
同理得 AD1⊥DB1，又 AD1∩ AC= A , AD1 , AC 平面D1AC，则 B1D⊥平面D1AC，
由D1P⊥ B1D，得D1P 平面D1AC，又 P∈平面 ABCD，因此点 P轨迹为平面D1AC
与底面 ABCD交线，即为线段 AC，又 AC= 2 2，C正确；
对于D，取 AB中点为 P1，连接 PP1，DB⊥ AC , AA1⊥平面 ABCD，
由 PP1平行于DB，PP1 平面 ABCD，得 PP1⊥ AC , PP1⊥ AA1，又 AC∩ AA1= A，则 PP1⊥平面 ACC1A1，
又取DD1中点为Q1，则QQ1 DB PP1，有 P , P1 ,Q ,Q1四点共面，则平面 PP1QQ1⊥平面 ACC1A1.
平面 PP1QQ1即为平面 α，设平面 α分别与D1C1 , B1C1交于 R , R1，
由平面 ADD1A1 平面 BCC1B1，平面 ADD1A1∩ α= PQ1，平面 BCC1B1∩ α=QR1，
则 PQ1 QR1，又 P ,Q ,Q1都是中点，则 R1是 B1C1中点，同理 R是D1C1中点，
于是平面 α截正方体 ABCD- A1B1C1D1所得截面为正六边形，又正方体棱长为 2，则 PP1= 2，
所以截面面积为 6× 3 × ( 2 )24 = 3 3，D正确.
参考答案 3 页 共 10 页
11. ACD
x2
【解析】对于 A，由椭圆C : + y22 = 1知椭圆焦点在 x轴上，且 a= 2 , b= 1 , c= 1，
则△F1PF2的周长是 PF1 + PF2 + F1F2 = 2a+ 2c= 2 2+ 2，故 A正确；
对于 B，由椭圆的定义得 PF1 + PF2 = 2a= 2 2， F1F2 = 2c= 2，
由余弦定理得， PF 21 + PF2 2- 2 PF1 PF2 cos∠F1PF2= F1F2 2，
则 PF 21 + PF2 - 3 PF1 PF2 = 4，即 8- 3 PF 41 PF2 = 4，则 PF1 PF2 = 3 ，
所以△F1PF 12的面积为 2 PF1 PF2 sin∠F
1 4 3 3
1PF2= 2 × 3 × 2 = 3 ，故 B错误；
PF + PF 2
对于C，由 PF1 + PF2 = 2 2，则 PF1 PF2 ≤ 1 2 2 = 2，
当且仅当 PF1 = PF2 = 2时等号成立，故C正确；
x2 y2 x x y y0
对于D，先证明：椭圆 + = 1(a> b> 0)上的一点 x ,y
a2 b2 0 0
处的切线方程为 02 + 2 = 1.a b
x2 y
2

联立 a
2 + b2 =1
2 2 2x x y y ，得 (a y0+ b x
2)x20 - 2a2b2x0x+ b2a4- a4y20= 0，
0 + 0 a2 b2 =1
2 2
∵ x ,y ∴ x0 + y0点 0 0 在椭圆上， 2 2 = 1(a> b> 0) b
2x20+ a2y20= a2b2，a b
∴ a2b2x2- 2a2b2xx + a2b2x20 0= 0，即 a2b2(x2- 2xx0+ x20) = 0，
∴ a2b2(x- x0)2= 0，得 x= x0，故直线和椭圆仅有一个公共点，
x2 y2
则椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)
x x
上的一点 x ,y 处的切线方程为 0 +
y y0
a b 0 0
= 1.
a2 b2
2
设 P x x0,y0 ，由题意知C : 2 + y
2= x x1 0的切线斜率存在，则切线方程为 2 + y0y= 1，
令 x= 0，得 y= 1y ，令 y= 0，得 x=
2
x ，即 A
2
x ,0 , B 0, 10 0 0 y ，0
x2 2
又 0 + y2 x0 2
x
2 0= 1，则 1= 2 + y0≥ 2
0 y0 ，2
x 2
x0 2
即 0 y0 ≤ 2 ，当且仅当 = y0 =2 2
时等号成立，
则△ABO 1 2 1 1面积为 2 = ≥ 2， x0 y0 x0 y0
即△ABO的面积的最小值为 2，故D正确.
12. 171π
【解析】设圆台上底半径为 r，则其下底半径为 2r，高 h= 9-r2，
参考答案 4 页 共 10 页
V= π (r2+ r 2r+ 4r2)h= 7π此圆台的体积 23 3 (9- h )h，0< h< 3，
7π
求导得V = 3 (9- 3h
2)，当 0< h< 3时，V > 0；当 3< h< 3时，V < 0，
V= 7π函数 (9- h23 )h在 (0 , 3 )上单调递增，在 ( 3 , 3)上单调递减，
则当 h= 3，即 r= 6时，此圆台体积取得最大值，
设球的半径为 R，则球心到两个截面距离分别为 R2-6 , R2-24，
显然此圆台的外接球球心在两底圆心确定的直线上，
则 R2-6+ R2-24= 3或 R2-6- R2-24= 3，
解 R2-6+ R2-24= 3，无解；解 R2-6- R2-24= 3，得 4R2= 171，
所以此圆台的外接球的表面积为 171π.
13. 200
【解析】
将有阴影的圆分别标为 a , b , c，
由于带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，
当阴影的圆中的数字为 7 , 6 , 5时，则将 7 , 6 , 5填在 a , b , c中有 A33种方法，接着剩下的 4个数字填到圆
中有 A44种方法，所以共有 A33A44= 144种方法；
当阴影的圆中的数字为 7 , 6 , 4时，若将 4填到 c，则接着安排 7 , 6有 A22种方法，与 c相邻的两个圆只能
从 1 , 2 , 3中选两个有 A23种方法，剩下两个数有 A2种填法，所以共有 A2A2A22 2 3 2= 24种方法；
若将 4填到 a或 b，有 2种方法，则接着安排 7 , 6有 A22种方法，与 4相邻的三个圆只能填 1 , 2 , 3有 A33种
方法，剩下一个数有 1种填法，所以共有 2A3 23A2= 24种方法；
当阴影的圆中的数字为 7 , 6 , 3时，则 3只能填到 c，则接着安排 7 , 6有 A22种方法，与 c相邻的两个圆只能
安排 1 , 2有 A22种方法，剩下两个数有 A2种填法，所以共有 A2A2A22 2 2 2= 8种方法；
所以总共有 144+ 24+ 24+ 8= 200种填法.
14. 5 3
【解析】依题意，要使手电筒在 ABC内部所能照射到的地面的面积最大，则光线必须经过 AB、AC边，如
π
图，在正△ABC中，∠EPF= 3 ，BP= 2，CP= 4，设∠BPF=∠CEP= θ，
参考答案 5 页 共 10 页
4sin 2πPC CE 3 -θ
由正弦定理得：sinθ = 2π ，则CE=sin -θ sinθ
，
3
PB BF 2sinθ
2π = ，则 BF= ，sin 3 -θ
sinθ sin 2π3 -θ
4sin 2π -θ
S= S△ABC- S△BPF- S△CPE= 9 3-

3 sinθ + 3

2π sinθ ≤ 5 3，
sin 3 -θ
sinθ 4sin
2π
3 -θ π
当且仅当
sin 2π
=
-θ sinθ
，即 θ= 2 时取等号，
3
所以，最大值为 5 3m2．
若∠BPM= π3 ，BP= 2，CP= 4，
S= S△BPM= 3
若∠CPM= π3 ，BP= 2，CP= 4，S= S△CPM= 4 3
所以，最大值为 5 3m2.
15. (1) S 6 S由题意： 2 = = 3， 6 = 42 = 7 Sn S2 2 6 6 ，又数列 n 为等差数列，设数列
n
n 的公差为D，
S
由 66 =
S2
2 + 4D 7= 3+ 4D D= 1.
S S
所以 n = 2n 2 + n-2 D= 3+ n- 2= n+ 1.所以 Sn= n n+1 .
当 n= 1时，a1= S1= 1× 2= 2，
当 n≥ 2时，an= Sn- Sn-1= n n+1 - n-1 n= 2n.
n= 1时，上式也成立.
所以 an= 2n.
(2) bn+1 = an = 2n因为 b a =
n
，
n n+2 2 n+2 n+2
b2 = 1 b3 = 2 b 3 b n-1所以 b 3 ，b 4 ，
4 n
1 2 b
= 5 ， ，b = .3 n-1 n+1
b 2
以上各式相乘，可得当 n≥ 2时， nb = ，1 n n+1
又 b1= 2，所以 b = 4n = 4 1 1n n+1 n - n+1 ，n∈N
*，
所以 Tn= 4 1- 1 + 1 12 2 - 3 + +
1 1 4n
n - n+1 = n+1 .
16. (1)法一：由题意得 X的可能取值为 0 , 1 , 2 , 3．
3 2
P(X= 0) =C03 3 = 27 1 1 3 274 64 ，P(X= 1) =C3 4 × 4 = 64 ，
2 3
P(X= 2) =C2 13 4 ×
3 9
4 = 64 ，P(X= 3) =C3
1
3 4 =
1
64 ．
X 0 1 2 3
P 27 27 9 164 64 64 64
参考答案 6 页 共 10 页
E(X ) = 0× 27 + 1× 27因此 64 64 + 2×
9
64 + 3×
1
64 =
3
4 ．
法二：由题意得 X的可能取值为 0 , 1 , 2 , 3．
X~B 3, 1
k 3-k
又 4 ，故 P(X ) =Ck
1
3 4
3
4 (k= 0 , 1 , 2 , 3)．
因此 E(X ) = 3× 1 34 = 4 .
(2)设事件M=“3次之内 (含 3次)停止摸球”，
事件 A=“第 1次摸到红球，第 2次摸到红球”；
事件 B=“第 1次摸到红球，第 2次摸到白球，第 3次摸到红球”；
事件C=“第 1次摸到白球，第 2次摸到红球，第 3次摸到红球”；
事件Di=“首次选择甲袋是第 i次摸球”(i= 1 , 2 , 3)，
事件D0=“一直没有选择甲袋”．
则 P A = P D1 P A D1 + P D2 P A D2 + P D0 P A D0
= 12 ×
1 1 1
4 × 4 + 2 ×
1 × 1 × 1 + 1 × 1 × 1 12 2 4 2 2 2 × 2 =
1
8 ．
P B = P D1 P B D1 + P D2 P B D2 + P D3 P B D3 + P D0 P B D0
= 1 × 1 × 3 × 1 + 1 × 1 × 3 × 1 + 1 × 1 × 1 × 1 + 1 × 1 × 1 × 1 = 92 4 4 4 4 2 4 4 8 2 2 4 8 2 2 2 128 ．
P C = P D1 P C D1 + P D2 P C D2 + P D3 P C D3 + P D0 P C D0
= 12 ×
3
4 ×
1 1
4 × 4 +
1 1 1 1 1 1 1 1
2 × 2 × 2 × 4 × 4 + 2 × 2 × 2 ×
1 × 1 × 1 + 1 × 1 × 1 12 2 4 8 2 2 × 2
= 7128 ．
因此 P(M ) = P(A) + P(B) + P(C) = 1 + 9 + 7 18 128 128 = 4 .
17. (1)取 PB中点G，连接 FG ,GC，
∵ E , F ,G分别为CD , PA , PB的中点，
∴ FG AB且 FG= 12 AB，CE AB且CE=
1
2 AB，
∴ FG CE，且 FG=CE，则四边形CEFG为平行四边形，
∴ EF CG，∵ EF 平面 PBC ,CG 平面 PBC，
∴ EF 平面 PBC.
(2)取 AB中点O，连接OP，OD，BD
因为 PA= PB，所以 PO⊥ AB，
∵平面 PAB⊥平面 ABCD，PO 面 PAB，AB为交线，
∴ PO⊥平面 ABCD，∵∠BAD= 60°，
∴△ABD为正三角形，∴OD⊥ AB，
以O为原点，分别以OB，OD，OP为 x，y，z轴建系，如图，
设OP= t，t> 0
则 P(0 , 0 , t)，A(-1 , 0 , 0)，B(1 , 0 , 0)，E(1 , 3 , 0)，C(2 , 3 , 0)，

所以 AP= (1 , 0 , t) , AE= (2 , 3 , 0) , BC= 1, 3 ,0 ，

易知平面 PAB的法向量可取m= (0 , 1 , 0)，

设平面 PAE的法向量为 n= (x , y , z)，
参考答案 7 页 共 10 页
n

AE=2x+ 3 y=0 3
因为 ，令 x= \sqrt3，可取 n= 3 ,-2,-n AP=x+ tz=0 t ，
, = |m
n |
cos m n = 2 = 4 31所以 31 ，解得 t= 2，|m||n| 7+ 3t2

所以 F - 12 ,0,1 ，BF= -
3
2 ,0,1 ，PB= 1,0,-2 ，

设平面 PBC的法向量为 l = (a , b , c)，

l P B =a-2c=0 2因为 ，令 a= 2，可得 l = 2,- ,1 ，l BC=a+ 3b=0 3

BF l -3+1 2 2 57
所以 d= = = = .
l 4+ 4 +1 19 193 3
18. (1)设切点为 x x0-a x-a x0-a0,e ，f x = e ，所以 f x0 = e = e，所以 x0- a= 1，
所以函数 f x 在 x= x0处的切线为 y- ex0-a= ex0-a x-x0 ，
将 0,0 代入得 0- e= e 0-x0 ，解得 x0= 1，a= 0.
(2) (ⅰ)当 r= 2时，原问题 x2+ e2x-2a= 2有两个不等实根．
u x = x
2-2
法一：设 2x (- 2< x< 2 )，e
2x-2 x
2-2
u x
2 x-2 x+1
则 = =-e2x e2x
∴当- 2< x<-1时，u x < 0，当-1< x< 2时，u x > 0
∴ u x 在 - 2 ,-1 递减， -1, 2 递增，
u x 2 -2a 2极小值= u -1 =-e ，u 2 = 0，∴-e ∈ -e ,0 ，∴ a>-1
法二：g x = x2+ e2x-2a- 2(- 2< x< 2 )
g x = 2x+ 2e2x-2a，令m x = 2x+ 2e2x-2a，
则m x = 2+ 4e2x-2a> 0，∴m x 在 R上递增，
x0∈ R，使得 g x0 = 0，∴当 x< x 0时，g x < 0，当 x> x0时，g x > 0
g x 在 -∞,x0 上单调递减，在 x0,+∞ 上单调递增，
g(x) 2极小值= g x0 = x0- x0- 2< 0 -1< x0< 2，
又-e-2a= x02x ，e 0
x 1-2x
设 t x = e2x
(-1< x< 2 )，则 t x = e2x
当-1< x< 12 时，t
x > 0 1，当 2 < x< 2时，t
x < 0，
∴ t x ∈ -e2, 1 ，∴-e2 -e-2a 12e ≤ 2e a - 1．
(ⅱ)设 A x1,y1 ，B x2,y2 ，不妨设 x1< x2
则 0< ex1-a< ex2-a，即 0< y1< y2，∴ k> 0
x = 2 1 3 cosθ x =
2
1 2 3 cosθ2
令 2 ， 2 θ1,θ2∈ 0,π y1= 3 sinθ1 y2= 3 sinθ2
ln 2则 3 sinθi =
2
3 cosθi- a i=1,2 θ1，θ
2 2
2是方程 a= 3 cosx- ln 3 sinx 两个根．
参考答案 8 页 共 10 页
2cos θ1+θ2 θ1-θ2
∵ k= sinθ1-sinθ2 = 2
sin 2 1
又 cosθ1-cosθ
=- > 0
2 -2sin θ1+θ22 sin
θ1-θ2
2 tan
θ1+θ2
2
k< 3 - 1 3欲证 ，只需证 < - 1 = tan θ1+θ23 tan θ1+θ2 3 k 2
<- 3
2
π2 <
θ1+θ2 2 4
2 < 3 π π< θ1+ θ2< 3 π
2
设 h x = 3 cosx- ln
2
3 sinx x∈ 0,π
h x =- 2 sinx- cosx
2 1-cos2x +3cosx 2cosx+1 cosx-2
则 3 sinx =- 3sinx =

3sinx
∴ 0< x< 2 π h x < 0 2当 3 时， ；当 3 π< x< π时，h
x > 0；
∴ h 2 x 在 0, 3 π
2
递减， 3 π,π 递增，
设 φ x = h 4 x - h 3 π-x
2
3 π下面证明 φ x = h x + h 43 π-x > 0
φ x = h 4 2π x + h 3 π-x ，x∈ 3 ,π
2 2 4 cosx cos x-
π
3 =- 3 sinx+ 3 sin 3 π-x - sinx + sin x- π3

4 π π 3 3 4sinxsin x-
π
6 sin x-
π
=- sin x- cos + =- 3
-3
3 6 6 2sinxsin x- π3 6sinxsin x-
π
3
设 α= x- π6 ，α∈
π
2 ,
5π
6 ，则 sinα∈
1
2 ,1
4sinxsin x- π6 sin x-
π
3 = 4sinαsin α-
π
6 sin α+
π
6
= 4sinα 34 sin2α-
1
4 cos
2α = 4sinα sin2α- 14 = sinα 4sin2α-1 < 3
故 φ x > 0．
∴ φ x 在 23 π,π 递增，∴ φ x > φ
2
3 π = 0，
∴ φ θ2 > 0，h x = h θ2 > h 43 π-θ2 ，
又∵ h x 0, 2 π θ < 4 π- θ θ + θ < 4 3 在 3 递减， 1 3 2 1 2 3 π，故 k< 3 .
19. (1)依题意可知，动圆 E的圆心 E到点 F 0, 12 与到直线 y=-
1
2 的距离相等，
根据抛物线定义可得曲线 Γ是以 F 0, 12 为焦点，y=-
1
2 为准线的抛物线，
所以曲线 Γ的方程为 x2= 2y，则直线 l : y= kx+ 12 经过抛物线的焦点，
y=kx+ 1
设M xM ,yM ,N xN ,yN ，联立 2 ，整理得 x2- 2kx- 1= 0 ,Δ> 0恒成立，x2=2y
则 xM+xN=2k 2
1
x x =-1 ，又 x = 2y可化为 y=
2
2 x ，则 y = x，M N
参考答案 9 页 共 10 页
所以 l1 : y- yM= xM x-xM , l2 : y- yN= xN x-xN ，联立 l1 , l2，
1
消 x可得 xM-xN y= xN yM- xM yN= 2 xMxN xM-x
1
N =- 2 xM-xN ，
又因为 xM≠ xN，所以点 P的轨迹方程为 y=- 12 .
(2) (i)设Mn x 2 2Mn,yMn ,Nn xNn,yNn ，则 xMn= 2yMn , xNn= 2yNn，
又 x2M= 2y , x2M N= 2yN，则 xMn-xM xMn+xM = 2 yMn-yM ，又 xMn≠ xM，
yMn-yM = x所以 Mn+xM xMn+xMxMn-xM 2
，即直线MMn的方程为 y- yM= 2 x-xM ，
整理得 2y= x xMn+xM - xMnxM，令 x= 0，可得 2yn=-xMnxM，①
同理得NNn的方程为 2y= x xNn+xN - xNnxN，令 x= 0，可得 2yn=-xNnxN，②
yMn-yNn x +x
又直线M Mn NnnNn的斜率为 x -x = 2 ，Mn Nn
所以直线MnNn的方程为 2y= x xMn+xNn - xMnxNn，令 x= 0，得 2yn+1=-xMnxNn，
由①可知，xMxN=-1，
①×②可得 4y2n= xMnxMxNnxN=-xMnxNn.
于是可得 4y2 2n= 2yn+1，即 2yn= yn+1，又因为 y1= 1，则 yn> 0，
于是 log2 2y2n = log2yn+1，即 1+ 2log2yn= log2yn+1，即 2+ 2log2yn= log2yn+1+ 1，
即 2 log2yn+1 = log2yn+1+ 1，又 log2y1+ 1= 1，
所以数列 log2yn+1 是以 1为首项，2为公比的等比数列，
则 log y + 1= 2n-1，所以 log y = 2n-1- 1 y = 22n-1，所以 -12 n 2 n n .
(ii)由 (i)可知，a = 2n-1 , b = log 2n-1= n- 1，则 a b = n-1 2n-1n n 2 n n ，
所以 Sn= 0+ 2+ 2× 22+ + n-2 2n-2+ n-1 2n-1，
则 2S = 0+ 22+ 2× 23n + + n-2 2n-1+ n-1 2n，
n-1
两式作差可得-S = 0+ 2+22+23
2
+ +2n-1 -
1-2
n n-1 2n= 1-2 - n-1 2
n
所以 Sn= n-2 2n+ 2.
令 Sn= n-2 2n+ 2> 2025，即 n-2 2n> 2023.
当 n= 1 , 2时，显然不合题意；
当 n≥ 3时，f n = n-2 2n随着 n的增大而增大，
又 f 7 = 5× 27= 58 × 2
10= 58 × 1024< 1024，
f 8 = 6× 28= 6 × 210= 34 2 × 1024< 2023，
f 9 = 7× 29= 72 × 2
10= 72 × 1024> 2023，
则满足不等式 Sn> 2025的 n的最小值为 9.
参考答案 10 页 共 10 页安徽合肥市第一中学 2026届高三下学期素质扩展训练 (三)
数学试题
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知集合 A= x|x是绝对值小于 3的整数}，B= 1,3,5 ，则 A∪ B的元素个数为
A. 1 B. 3 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】由题意得 A= -2,-1,0,1,2 ，A∪ B={-2 ,-1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 5}，因此，A∪ B共 7个元素.
2.命题“ x∈ R , ex> ln x+ 1”的否定是
A. x∈ R , ex≤ lnx+ 1 B. x∈ R , ex≤ lnx+ 1
C. x R , ex> ln x+ 1 D. x R , ex> ln x+ 1
【答案】A
【解析】命题“ x∈ R , ex> ln x+ 1”的否定为“ x∈ R , ex≤ lnx+ 1”.
3. 已知向量m= 1,2 ，n = 5-2t2, t 满足m - 2n = -5,0 ，则向量m与 n的夹角为
A. π6 B.
π
4 C.
3π
4 D.
5π
6
【答案】B

【解析】因为m- 2n= (1 , 2) - 2(5- 2t2 , t) = (4t2- 9 , 2- 2t) = -5,0 ，
4t2-9=-5 所以 2-2t=0 ，解得 t= 1，所以 n= 3,1 ，

所以 cos m,n =
m n
=
3+2 = 22 ，又 0≤ m

,n

≤ π，
m n 1+4 9+1
π
所以向量m与 n的夹角为 4 .
4.已知锐角 α满足 sin(α+ β)cos(α- β) + cos(α+ β)sin(α- β) = 13 ，则 sinα+ cosα=
A. 3 2 2 3 33 B. 2 C. 3 D. 2
【答案】C
【解析】由 sin(α+ β)cos(α- β) + cos(α+ β)sin(α- β) = sin[(α+ β) + (α- β)]= sin2α，
可得 sin2α= 1 2 1 2 33 , α为锐角，可得 sinα+ cosα= (sinα+ cosα) = 1+ sin2α= 1+ 3 = 3 .
数学试题 第 1 页 共 14 页
5. S已知数列 an ， bn 为等差数列，其前 n项和分别为 Sn，Tn，且满足 n+1 an= 2n+1 b 7n+1，则 T =7
A. 157 B.
15 C. 98 4 D.
9
5
【答案】C
n a1+an n b +bn S = T = 1 n 【解析】等差数列前 项和 n 2 ，n 2 ，
7 a1+a7
S
所以 7 = 2 = a1+a7T ，7 7 b1+b7 b1+b7
2
由等差数列性质知 a1+ a7= 2a4，b1+ b7= 2b4，
S7 = a1+a7 = 2a a所以 4 4T7 b1+b7 2b
= b .4 4
又 n+1 an= 2n+1 bn+1，
当 n= 2时， 2+1 a2= 2×2+1 b2+1，即 3a2= 5b3，
当 n= 3时， 3+1 a3= 2×3+1 b3+1，即 4a3= 7b4，
当 n= 4时， 4+1 a4= 2×4+1 b4+1，即 5a4= 9b5，
令等差数列 an 的公差为 d1，等差数列 bn 的公差为 d2，
则 3 a4-2d1 = 5 b4-d2 ①，4 a4-d1 = 7b4②，5a4= 9 b4+d2 ③，
4a -7b 5a -9b
由②得，d1= 4 4 ，由③得，d = 4 44 2 9 ，
a 9 S a 9
代入①中，整理得，4a = 9b ，所以 44 4 b = 4 ，故
7 = 4T b = 4 .4 7 4

6.已知点 P是圆C : x-2 2 + y2= 4上一点，直线 l : kx- y- k+ 1= 0与圆C相交于 A，B两点，则 PA+PB
的最大值为
A. 2+ 2 B. 2+ 2 2 C. 4+ 2 D. 4+ 2 2
【答案】D
【解析】依题意，直线 l : kx- y- k+ 1= 0可化为 k x-1 - y-1 = 0，所以直线 l过定点D 1,1 ；
圆C : x-2 2 + y2= 4的圆心为C 2,0 ，半径为 r= 2，所以 CD = 2< 2，所以定点D在圆C的内部；

如上图 (左)，作 AB的中点M，则 PA+ PB= 2PM，所以 PA+PB = 2 PM ；

如上图 (中)，在△DCM中， CM ≤ CD = 2，当D与M重合时取等号，此时 AB⊥CD；

如上图 (右)，在△PCM中， PM ≤ PC + CM = r+ CM = 2+ CM ，当 PC与CM 共线时取等号；

所以 PA+PB = 2 PM ≤ 2 PD ≤ 2 2+ CD ≤ 2 2+ 2 = 4+ 2 2 .当D与M重合，且 AB⊥CD，P ,
C ,D共线时取等号.
数学试题 第 2 页 共 14 页
2
7.函数 y= x
e|x|
的图象大致为
-2
A. B.
C. D.
【答案】D
2
【解析】∵ y= x
e|x|
，
-2
∴ e|x|- 2≠ 0，则 x≠±ln2，即定义域为 {x|x≠±ln2}，
2 -x 2 2
设 f x = y= xx ，则 f -x =
= x
e

-2 e -x -2 e x
= f x ，-2
2
故 f x = y= xx 为偶函数，图象关于 y轴对称，排除 BC，e -2
2
当 x> ln2时，e|x|> 2，e|x|- 2> 0 x， |x| > 0，f x > 0，排除 A.e -2
8.如果方程 F(x , y) = 0能确定 y是 x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如
下：在方程 F(x , y) = 0中，把 y看成 x的函数 y= y x ，则方程可看成关于 x的恒等式 F x,y x = 0，在
等式两边同时对 x求导，然后解出 y x 即可．例如，求由方程 x2+ y2= 1所确定的隐函数的导数 y ，将方
程 x2+ y2= 1的两边同时对 x求导，则 2x+ 2y y = 0(y= y(x)是中间变量，需要用复合函数的求导法
则)，得 y =- xy (y≠ 0)．那么曲线 xy+ lny= 2在点 2,1 处的切线方程为
A. x- 3y+ 1= 0 B. x+ 3y- 5= 0 C. 3x- y- 5= 0 D. 2x+ 3y- 7= 0
【答案】B
【解析】由给定定义得，对 xy+ lny= 2左右两侧同时求导，
可得 y+ xy + 1y × y
= 0，将点 2,1 代入，得 1+ 2y + y = 0，
1 1 1
解得 y =- 3 ，故切线斜率为- 3 ，得到切线方程为 y- 1=- 3 x-2 ，
化简得方程为 x+ 3y- 5= 0，故 B正确.
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9.已知 2-x 8 = a0+ a1x+ a2x2+ +a x88 ，则
A. a0= 28 B. a1+ a2+ +a8= 1
C. a1 + a2 + a3 + + a8 = 38 D. a1+ 2a2+ 3a3+ +8a8=-8
数学试题 第 3 页 共 14 页
【答案】AD
【解析】由 2-x 8 = a0+ a1x+ a x2+ +a x82 8 ，
令 x= 0得 a0= 28，A选项正确.
令 x= 1得 a 80+ a1+ a2+ +a8= 1 , a1+ a2+ +a8= 1- 2 ，B选项错误.
二项式 2-x 8 展开式的通项公式为Cr8 28-r -x r = -1 r 28-r Cr8 xr，
由此可知 a1 , a3 , a5 , a7是负数，a2 , a4 , a6 , a8为正数，
所以令 x=-1得 a0- a1+ a2- a3+ a4- a5+ a6- a 87+ a8= 3 ，
-a1+ a2- a3+ a4- a5+ a6- a7+ a8= 38- 28，
即 a1 + a2 + a3 + + a8 = 38- 28，C选项错误
由 2-x 8 = a0+ a1x+ a 22x + +a8x8，
两边求导得-8 2-x 7 = a1+ 2a2x+ 3a 23x + +8a8x7，
令 x= 1得 a1+ 2a2+ 3a3+ +8a8=-8，所以D选项正确.
10.如图，已知正方体 ABCD- A1B1C1D1的棱长为 2，P是正方形 ABCD(包括边界)底面内的一动点，则下列
结论正确的有
A. 三棱锥 B1- A1D1P的体积为定值
B. 存在点 P，使得D1P⊥ BC1
C. 若D1P⊥ B1D，则 P点在正方形 ABCD内的运动轨迹长度为 2 2
D. 若点 P为 AD的中点，点Q为 BB1的中点，过 P，Q作平面 α⊥平面 ACC1A1，则平面 α截正方体 ABCD
- A1B1C1D1所得截面的面积为 3 3
【答案】ACD
【解析】对于 A，在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，平面 ABCD 平面 A1B1C1D1，
则点 P到平面 A1B1C1D1距离为定值，△A1B1D1的面积为定值，VB1-A =V1D1P P-A1D1B 为定值，A正确；1
对于 B，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(2 , 2 , 0) ,C1(0 , 2 , 2) ,D1(0 , 0 , 2)，
数学试题 第 4 页 共 14 页

设 P(x , y , 0) (x , y∈ [0 , 2])，D1P= (x , y ,-2) , BC1= (-2 , 0 , 2)，D1P BC =-2x- 4≤-4， 1
D1P , BC1不垂直，因此不存在点 P，使D1P⊥ AD1，B错误；
对于C，连接DB，BB1⊥平面 ABCD，AC 平面 ABCD，则 AC⊥ BB1，而 AC⊥DB，
又DB∩ BB1= B ,DB , BB1 平面DBB1，则 AC⊥平面DBB1，又DB1 平面DBB1，则 AC⊥DB1.
同理得 AD1⊥DB1，又 AD1∩ AC= A , AD1 , AC 平面D1AC，则 B1D⊥平面D1AC，
由D1P⊥ B1D，得D1P 平面D1AC，又 P∈平面 ABCD，因此点 P轨迹为平面D1AC
与底面 ABCD交线，即为线段 AC，又 AC= 2 2，C正确；
对于D，取 AB中点为 P1，连接 PP1，DB⊥ AC , AA1⊥平面 ABCD，
由 PP1平行于DB，PP1 平面 ABCD，得 PP1⊥ AC , PP1⊥ AA1，又 AC∩ AA1= A，则 PP1⊥平面 ACC1A1，
又取DD1中点为Q1，则QQ1 DB PP1，有 P , P1 ,Q ,Q1四点共面，则平面 PP1QQ1⊥平面 ACC1A1.
平面 PP1QQ1即为平面 α，设平面 α分别与D1C1 , B1C1交于 R , R1，
由平面 ADD1A1 平面 BCC1B1，平面 ADD1A1∩ α= PQ1，平面 BCC1B1∩ α=QR1，
则 PQ1 QR1，又 P ,Q ,Q1都是中点，则 R1是 B1C1中点，同理 R是D1C1中点，
于是平面 α截正方体 ABCD- A1B1C1D1所得截面为正六边形，又正方体棱长为 2，则 PP1= 2，
3
所以截面面积为 6× 4 × ( 2 )
2= 3 3，D正确.
2
11. x已知椭圆C : 22 + y = 1，F1，F2分别是椭圆C的左右焦点，O是原点，P是椭圆C上任意一点，下列说法
正确的有
A. △F1PF2的周长是 2 2+ 2
B. ∠F1PF2= π3 时，△F1PF2的面积是 3
C. PF1 PF2 的最大值是 2
D. 过 P作椭圆C的切线与 x轴和 y轴分别交于 A，B两点，则△ABO面积的最小值为 2
【答案】ACD
数学试题 第 5 页 共 14 页
x2
【解析】对于 A，由椭圆C : 22 + y = 1知椭圆焦点在 x轴上，且 a= 2 , b= 1 , c= 1，
则△F1PF2的周长是 PF1 + PF2 + F1F2 = 2a+ 2c= 2 2+ 2，故 A正确；
对于 B，由椭圆的定义得 PF1 + PF2 = 2a= 2 2， F1F2 = 2c= 2，
由余弦定理得， PF1 2+ PF 22 - 2 PF 21 PF2 cos∠F1PF2= F1F2 ，
则 PF + PF 21 2 - 3 PF1 PF2 = 4，即 8- 3 PF 41 PF2 = 4，则 PF1 PF2 = 3 ，
1
所以△F1PF2的面积为 2 PF1 PF2 sin∠F PF =
1
1 2 2 ×
4 3 3
3 × 2 = 3 ，故 B错误；
C
PF1 + PF 22
对于 ，由 PF1 + PF2 = 2 2，则 PF1 PF2 ≤ 2 = 2，
当且仅当 PF1 = PF2 = 2时等号成立，故C正确；
2 y2
对于D x，先证明：椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)上的一点 x0,y
x x
处的切线方程为 0 +
y y0 = 1.
a b 0 a2 b2
x
2
+ y
2
2
联立 a b
2 =1
2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2
x x0 y y
，得 (a y0+ b x0)x - 2a b x0x+ b a - a y0= 0，
0 a2 + b2 =1
2 2
∵点 x ,y 在椭圆上，∴
x0 + y0 = 1(a> b> 0) b2x2 2 20 0 2 2 0+ a y0= a
2b2，
a b
∴ a2b2x2- 2a2b2xx + a2b2x20 0= 0，即 a2b2(x2- 2xx 20+ x0) = 0，
∴ a2b2(x- x0)2= 0，得 x= x0，故直线和椭圆仅有一个公共点，
x2 y2
则椭圆 2 + 2 = 1(a>
y y
b> 0) x x 0上的一点 x 0
a b 0
,y0 处的切线方程为 2 + 2 = 1.a b
2 x x
设 P x0,y x 00 ，由题意知C : 22 + y = 1的切线斜率存在，则切线方程为 2 + y0y= 1，
令 x= 0 1 2，得 y= y ，令 y= 0，得 x= x ，即 A0 0
2
x ,0 , B 0, 10 y0 ，
x2 20 + y2
x
= 1 1= x0 + y2≥ 2 0 又 2 0 ，则 2 0 y0 ，2
x y 2
x0 2
即 0 0 ≤ 2 ，当且仅当 = y0 = 2 时等号成立，2
△ABO 1 2则 面积为 2
1 = 1 ≥ 2，
x0 y0 x0 y0
即△ABO的面积的最小值为 2，故D正确.
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12.圆台母线长为 3，上、下底面半径比为 1 : 2，当圆台体积最大时，以此圆台的上、下底面为截面的球的表面
积为 .
【答案】171π
【解析】设圆台上底半径为 r，则其下底半径为 2r，高 h= 9-r2，
V= π此圆台的体积 (r23 + r 2r+ 4r
2)h= 7π (9- h23 )h，0< h< 3，
求导得V = 7π3 (9- 3h
2)，当 0< h< 3时，V > 0；当 3< h< 3时，V < 0，
V= 7π函数 3 (9- h
2)h在 (0 , 3 )上单调递增，在 ( 3 , 3)上单调递减，
则当 h= 3，即 r= 6时，此圆台体积取得最大值，
数学试题 第 6 页 共 14 页
设球的半径为 R，则球心到两个截面距离分别为 R2-6 , R2-24，
显然此圆台的外接球球心在两底圆心确定的直线上，
则 R2-6+ R2-24= 3或 R2-6- R2-24= 3，
解 R2-6+ R2-24= 3，无解；解 R2-6- R2-24= 3，得 4R2= 171，
所以此圆台的外接球的表面积为 171π.
13.下图是由七个圆和八条线段构成的图形 (该图形不能旋转和翻转)，其中由同一条线段连通的两个圆称
作“相邻的圆”.若将 1，2，3，4，5，6，7这七个数字分别填入这七个圆中，且满足带有阴影的圆中的数字
大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有 种.
【答案】200
【解析】
将有阴影的圆分别标为 a , b , c，
由于带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，
当阴影的圆中的数字为 7 , 6 , 5时，则将 7 , 6 , 5填在 a , b , c中有 A33种方法，接着剩下的 4个数字填到圆
中有 A44种方法，所以共有 A33A44= 144种方法；
当阴影的圆中的数字为 7 , 6 , 4时，若将 4填到 c，则接着安排 7 , 6有 A22种方法，与 c相邻的两个圆只能
从 1 , 2 , 3中选两个有 A23种方法，剩下两个数有 A22种填法，所以共有 A2A22 3A22= 24种方法；
若将 4填到 a或 b，有 2种方法，则接着安排 7 , 6有 A22种方法，与 4相邻的三个圆只能填 1 , 2 , 3有 A33种
方法，剩下一个数有 1种填法，所以共有 2A33A22= 24种方法；
当阴影的圆中的数字为 7 , 6 , 3时，则 3只能填到 c，则接着安排 7 , 6有 A22种方法，与 c相邻的两个圆只能
安排 1 , 2有 A22种方法，剩下两个数有 A22种填法，所以共有 A2 2 22A2A2= 8种方法；
所以总共有 144+ 24+ 24+ 8= 200种填法.
14.草坪上有一个带有围栏的边长为 6m的正三角形活动区域 ABC，点 P在边 BC上，且 PC= 2PB，小王同学
在该区域玩耍，他在 P处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角 (任两条光线的最大夹角)为 60°，
则手电筒在 ABC内部所能照射到的地面的最大面积为 m2.
【答案】5 3
【解析】依题意，要使手电筒在 ABC内部所能照射到的地面的面积最大，则光线必须经过 AB、AC边，如
π
图，在正△ABC中，∠EPF= 3 ，BP= 2，CP= 4，设∠BPF=∠CEP= θ，
数学试题 第 7 页 共 14 页
2π
PC CE 4sin -θ
由正弦定理得：sinθ = 2π ，则CE=
3
，
sin -θ sinθ3
PB BF 2sinθ
sin 2π
= ，则 BF= ，
3 -θ
sinθ sin 2π3 -θ
4sin 2π -θ
S= S△ABC- - = -
sinθ + 3 S△BPF S△CPE 9 3 3 2π sinθ ≤ 5 3， sin -θ 3
2π
sinθ 4sin 3 -θ π
当且仅当 2π = sinθ ，即 θ= 2 时取等号，sin 3 -θ
所以，最大值为 5 3m2．
若∠BPM= π3 ，BP= 2，CP= 4，
S= S△BPM= 3
若∠CPM= π3 ，BP= 2，CP= 4，S= S△CPM= 4 3
所以，最大值为 5 3m2.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知 Sn为数列 an 的前 n项和，若 S2= 6，S6= 42
S
，且数列 n n 为等差数列.
(1)求数列 an 的通项公式；
数学试题 第 8 页 共 14 页
(2) b若数列 b 的首项为 2，且 n+1 =
an
n b ，求数列 bn 的前 n项和 Tn.n an+2
【解析】(1) S由题意： 2 = 6 = 3 S62 2 ，6 =
42
6 = 7，
又数列 Sn S n 为等差数列，设数列
n
n 的公差为D，
S
由 6 = S26 2 + 4D 7= 3+ 4D D= 1.
Sn = S所以 2n 2 + n-2 D= 3+ n- 2= n+ 1.
所以 Sn= n n+1 .
当 n= 1时，a1= S1= 1× 2= 2，
当 n≥ 2时，an= Sn- Sn-1= n n+1 - n-1 n= 2n.
n= 1时，上式也成立.
所以 an= 2n.
(2) bn+1 = an = 2n n因为 b =n an+2 2 n+2 n+2
，
b2 = 1 b3 = 2 b所以 ， ， 4 3 b n-1b 3 b 4 b = 5 ， ，
n
b = .1 2 3 n-1 n+1
b 2
以上各式相乘，可得当 n≥ 2时， nb = ，1 n n+1
又 b1= 2 4 1 1，所以 bn= = 4 *n n+1 n - n+1 ，n∈N ，
所以 Tn= 4 1- 1 + 1 - 1 + + 1 - 1 4n2 2 3 n n+1 = n+1 .
16.已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有 1个红球和 3个白球，乙袋内有 2个红球和 2个白球．根据下列规则
进行连续有放回的摸球 (每次只摸 1个球)：先随机选择一个袋子摸球．若选中甲袋，则后续每次均选择
甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球．
(1)按照上述规则摸球 3次．当第 1次选中的是甲袋，求摸到红球的个数 X的分布列及期望 E X ；
(2)按照上述规则进行连续摸球，若摸到 2次红球则停止摸球．求 3次之内 (含 3次)停止摸球的概率.
【解析】(1)法一：由题意得 X的可能取值为 0 , 1 , 2 , 3．
3 2
P(X= 0) =C0 3 = 273 4 64 ，P(X= 1) =C1
1
3 4 ×
3
4 =
27
64 ，
2 3
P(X= 2) =C2 1 × 3 = 93 4 4 64 ，P(X= 3) =C33
1
4 =
1
64 ．
X 0 1 2 3
P 27 27 9 164 64 64 64
因此 E(X ) = 0× 2764 + 1×
27 9 1 3
64 + 2× 64 + 3× 64 = 4 ．
法二：由题意得 X的可能取值为 0 , 1 , 2 , 3．
1 1 k 3 3-k
又 X~B 3, 4 ，故 P(X ) =Ck3 4 4 (k= 0 , 1 , 2 , 3)．
因此 E(X ) = 3× 14 =
3
4 .
(2)设事件M= “3次之内 (含 3次)停止摸球”，
事件 A= “第 1次摸到红球，第 2次摸到红球”；
数学试题 第 9 页 共 14 页
事件 B= “第 1次摸到红球，第 2次摸到白球，第 3次摸到红球”；
事件C= “第 1次摸到白球，第 2次摸到红球，第 3次摸到红球”；
事件Di= “首次选择甲袋是第 i次摸球” (i= 1 , 2 , 3)，
事件D0= “一直没有选择甲袋”．
则 P A = P D1 P A D1 + P D2 P A D2 + P D0 P A D0
= 1 × 1 × 1 + 1 × 1 1 1 12 4 4 2 2 × 2 × 4 + 2 ×
1 × 1 1 12 2 × 2 = 8 ．
P B = P D1 P B D1 + P D2 P B D2 + P D3 P B D3 + P D0 P B D0
= 1 × 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 92 4 × 4 × 4 + 4 × 2 × 4 × 4 + 8 × 2 × 2 × 4 + 8 × 2 × 2 × 2 = 128 ．
P C = P D1 P C D1 + P D2 P C D2 + P D3 P C D3 + P D0 P C D0
= 12 ×
3 1
4 × 4 ×
1 + 1 1 1 1 14 2 × 2 × 2 × 4 × 4 +
1
2 ×
1 1
2 × 2 ×
1 × 1 1 1 1 12 2 × 4 + 8 × 2 × 2 ×
1
2
= 7128 ．
因此 P(M ) = P(A) + P(B) + P(C) = 1 9 7 18 + 128 + 128 = 4 .
17.如图，在四棱锥 P- ABCD中，底面 ABCD为菱形，E，F分别为CD，PA的中点.
(1)证明：EF 平面 PBC；
(2)若平面 PAB⊥平面 ABCD，PA= PB，AB= 2，∠BAD= 60°，平面 PAE与平面 PAB夹角的余弦值为
4 31
31 ，求点 F到平面 PBC的距离.
【解析】
(1)取 PB中点G，连接 FG ,GC，
∵ E , F ,G分别为CD , PA , PB的中点，
∴ FG AB且 FG= 12 AB，CE AB且CE=
1
2 AB，
∴ FG CE，且 FG=CE，则四边形CEFG为平行四边形，
∴ EF CG，∵ EF 平面 PBC ,CG 平面 PBC，
∴ EF 平面 PBC.
(2)取 AB中点O，连接OP，OD，BD
因为 PA= PB，所以 PO⊥ AB，
∵平面 PAB⊥平面 ABCD，PO 面 PAB，AB为交线，
∴ PO⊥平面 ABCD，∵∠BAD= 60°，
∴△ABD为正三角形，∴OD⊥ AB，
以O为原点，分别以OB，OD，OP为 x，y，z轴建系，如图，
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设OP= t，t> 0
则 P(0 , 0 , t)，A(-1 , 0 , 0)，B(1 , 0 , 0)，E(1 , 3 , 0)，C(2 , 3 , 0)，

所以 AP= (1 , 0 , t) , AE= (2 , 3 , 0) , BC= 1, 3 ,0 ，
易知平面 PAB 的法向量可取m= (0 , 1 , 0)，

设平面 PAE的法向量为 n= (x , y , z)，

n AE=2x+ 3 y=0 3因为 n ，令 x= \sqrt3，可取 n= 3 ,-2,- AP=x+ tz=0 t ，
|m n |
所以 cos m , n = = 2 = 4 31 31 ，解得 t= 2，|m||n| 7+ 3t2

所以 F - 1 32 ,0,1 ，BF= - 2 ,0,1 ，PB= 1,0,-2 ，

设平面 PBC的法向量为 l = (a , b , c)，

l PB 因为
=a-2c=0 2
，令 a= 2，可得 l = 2,- ,1 ，
l BC=a+ 3b=0 3

BF l -3+1d= = 2所以 = = 2 57 .
l 4+ 43 +1
19 19
3
18.已知函数 f x = ex-a a∈R ．
(1)若函数 f x 过原点 0,0 的切线为 y= ex，求实数 a的值；
(2)若函数 f x 的图象与⊙O : x2+ y2= r2(r> 0)相交于两个不同点 A，B，记直线 AB的斜率为 k．
(i)当 r= 2时，求实数 a取值范围；
(ii) r= 2 3当 3 时，证明：k< 3 .
【解析】(1)设切点为 x0,ex0-a ，f x = ex-a，所以 f x0 = ex0-a= e，所以 x0- a= 1，
所以函数 f x 在 x= x0处的切线为 y- ex0-a= ex0-a x-x0 ，
将 0,0 代入得 0- e= e 0-x0 ，解得 x0= 1，a= 0.
(2) (ⅰ)当 r= 2时，原问题 x2+ e2x-2a= 2有两个不等实根．
2
法一：设 u x = x -2 2x (- 2< x< 2 )，e
2x-2 x
2-2 2 x-2 x+1
u x = =- 则 e2x e2x
∴当- 2< x<-1时，u x < 0，当-1< x< 2时，u x > 0
数学试题 第 11 页 共 14 页
∴ u x 在 - 2 ,-1 递减， -1, 2 递增，
u x 极小值= u -1 =-e2，u 2 = 0，∴-e-2a∈ -e2,0 ，∴ a>-1
法二：g x = x2+ e2x-2a- 2(- 2< x< 2 )
g x = 2x+ 2e2x-2a，令m x = 2x+ 2e2x-2a，
则m x = 2+ 4e2x-2a> 0，∴m x 在 R上递增，
x0∈ R，使得 g x0 = 0，∴当 x< x0时，g x < 0，当 x> x 时，g 0 x > 0
g x 在 -∞,x0 上单调递减，在 x0,+∞ 上单调递增，
g(x)极小值= g x = x20 0- x0- 2< 0 -1< x0< 2，
-e-2a= x又 0
e2x
，
0
设 t x = x2x (-1< x< 2 ) t
x = 1-2x，则
e e2x
当-1< x< 1 12 时，t
x > 0，当 2 < x< 2时，t
x < 0，
∴ t x ∈ -e2, 1 ，∴-e2 -e-2a≤ 12e 2e a - 1．
(ⅱ)设 A x1,y1 ，B x2,y2 ，不妨设 x1< x2
则 0< ex1-a< ex2-a，即 0< y1< y2，∴ k> 0
x = 2 1 3 cosθ
2
1 x2= 3 cosθ2
令 ，= 2 θ1,θ2∈ 0,π y1 3 sinθ1 y2= 23 sinθ2
ln 2则 3 sinθi =
2
3 cosθi- a
2
i=1,2 θ1，θ2是方程 a= 3 cosx- ln
2
3 sinx 两个根．
sinθ -sinθ 2cos
θ1+θ2
2 sin1 2
θ1-θ2
2 ∵ k= 1又 cosθ1-cosθ =2 -2sin θ1+θ
=- > 0
2 sin θ1-θ2 tan θ1+θ22 2 2
欲证 k< 3 1 3 1 θ +θ3 ，只需证- θ +θ < 3 - k = tan
1 2 <- 3
tan 1 22
2
π < θ1+θ22 2 <
2
3 π π< θ
4
1+ θ2< 3 π
设 h x = 23 cosx- ln
2
3 sinx x∈ 0,π
h x =- 2 sinx- cosx
2 1-cos2x +3cosx 2cosx+1 cosx-2
则 3 sinx =- 3sinx = 3sinx
∴当 0< x< 2 23 π时，h x < 0；当 3 π< x< π时，h
x > 0；
∴ h 2 2 x 在 0, 3 π 递减， 3 π,π 递增，
设 φ x 4 2 = h x - h 3 π-x 3 π下面证明 φ x = h x + h 43 π-x > 0
φ 4 2π x = h x + h 3 π-x ，x∈ 3 ,π
π
2 2 4 cosx
cos x- 3 =- 3 sinx+ 3 sin 3 π-x - sinx + sin x- π3
数学试题 第 12 页 共 14 页

4 π π 3 3 4sinxsin x-
π
6 sin x-
π
=- sin x- cos + =- 3
-3
3 6 6 2sinxsin x- π3 6sinxsin x-
π
3
α= x- π α∈ π , 5π设 6 ， 2 6 ，则 sinα∈
1
2 ,1
4sinxsin x- π6 sin x-
π
3 = 4sinαsin α-
π
6 sin α+
π
6
= 4sinα 34 sin2α-
1 cos24 α = 4sinα sin2α-
1
4 = sinα 4sin2α-1 < 3
故 φ x > 0．
∴ φ 2 x 在 3 π,π 递增，∴ φ x > φ
2
3 π = 0，
∴ φ 4 θ2 > 0，h x = h θ2 > h 3 π-θ2 ，
∵ h 2 4 4 3又 x 在 0, 3 π 递减，θ1< 3 π- θ2 θ1+ θ2< 3 π，故 k< 3 .
19. 1 1 1已知经过定点 F 0, 2 的动圆 E与直线 y=- 2 相切，记圆心 E的轨迹为曲线 Γ，直线 l : y= kx+ 2 与
曲线 Γ交于不同的两点M ,N，以M ,N分别为切点作曲线 Γ的切线 l1 , l2 , l1与 l2的交点为 P.
(1)求点 P的轨迹方程；
(2)设点 A1 0,y1 ，连接MA1 ,NA1，分别与曲线 Γ的另一个交点为M1 ,N1，直线M1N1与 y轴相交于
A2 0,y2 ，连接MA2 ,NA2，分别与曲线 Γ的另一个交点为M2 ,N2，直线M2N2与 y轴相交于 A3 0,y3 , ，连
接MAn ,NAn，分别与曲线 Γ的另一个交点为Mn ,Nn，直线MnNn与 y轴相交于 An+1 0,yn+1 ，已知 y1= 1.
(i)求数列 yn 的通项；
(ii)已知 an= log2yn+ 1 , bn= log2an , Sn为数列 anbn 的前 n项和，求使不等式 Sn> 2025成立时，n的最小
值.
【解析】(1)依题意可知，动圆 E的圆心 E到点 F 0, 12 与到直线 y=-
1
2 的距离相等，
1 1
根据抛物线定义可得曲线 Γ是以 F 0, 2 为焦点，y=- 2 为准线的抛物线，
1
所以曲线 Γ的方程为 x2= 2y，则直线 l : y= kx+ 2 经过抛物线的焦点，
1
设M xM ,yM , ,
y=kx+
N xN yN ，联立 2 ，整理得 x2- 2kx- 1= 0 ,Δ> 0恒成立，x2=2y
xM+xN=2k 1则 2 2 xMxN=-1 ，又 x = 2y可化为 y= 2 x ，则 y = x，
所以 l1 : y- yM= xM x-xM , l2 : y- yN= xN x-xN ，联立 l1 , l2，
消 x可得 xM-xN y= xN yM- xM y
1 1
N= 2 xMxN xM-xN =- 2 xM-xN ，
又因为 xM≠ x 1N，所以点 P的轨迹方程为 y=- 2 .
(2) (i)设Mn xMn,yMn ,Nn xNn,yNn ，则 x2Mn= 2yMn , x2Nn= 2yNn，
又 x2M= 2y 2M , xN= 2yN，则 xMn-xM xMn+xM = 2 yMn-yM ，又 xMn≠ xM，
yMn-yM x
所以 Mn
+xM
x -x = 2 ，即直线MMn的方程为 y- y =
xMn+xM
M 2 x-xM ，Mn M
整理得 2y= x xMn+xM - xMnxM，令 x= 0，可得 2yn=-xMnxM，①
同理得NNn的方程为 2y= x xNn+xN - xNnxN，令 x= 0，可得 2yn=-xNnxN，②
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y -y
M N Mn Nn x +x又直线 的斜率为 Mn Nnn n x = ，Mn-xNn 2
所以直线MnNn的方程为 2y= x xMn+xNn - xMnxNn，令 x= 0，得 2yn+1=-xMnxNn，
由①可知，xMxN=-1，
①×②可得 4y2n= xMnxMxNnxN=-xMnxNn.
于是可得 4y2n= 2y 2n+1，即 2yn= yn+1，又因为 y1= 1，则 yn> 0，
于是 log2 2y2n = log2yn+1，即 1+ 2log2yn= log2yn+1，即 2+ 2log2yn= log2yn+1+ 1，
即 2 log2yn+1 = log2yn+1+ 1，又 log2y1+ 1= 1，
所以数列 log2yn+1 是以 1为首项，2为公比的等比数列，
则 log y + 1= 2n-12 n ，所以 log2yn= 2n-1- 1，所以 y = 22
n-1-1
n .
(ii)由 (i)可知，an= 2n-1 , b = log n-1 n-1n 22 = n- 1，则 anbn= n-1 2 ，
所以 Sn= 0+ 2+ 2× 22+ + n-2 2n-2+ n-1 2n-1，
则 2Sn= 0+ 22+ 2× 23+ + n-2 2n-1+ n-1 2n，
2 1-2n-1
两式作差可得-S = 0+ 2+22+23+ +2n-1n - n-1 2n= 1-2 - n-1 2
n
所以 Sn= n-2 2n+ 2.
令 Sn= n-2 2n+ 2> 2025，即 n-2 2n> 2023.
当 n= 1 , 2时，显然不合题意；
当 n≥ 3时，f n = n-2 2n随着 n的增大而增大，
又 f 7 = 5× 27= 58 × 2
10= 58 × 1024< 1024，
f 8 6 3 = 6× 28= 4 × 2
10= 2 × 1024< 2023，
f 9 = 7× 29= 7 × 210= 72 2 × 1024> 2023，
则满足不等式 Sn> 2025的 n的最小值为 9.
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