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江西省南昌市 2026届高三下学期三月 (一模)
数学试题
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知集合 A= x∈N x≤4 ，B= x lnx≥1 ，则 A∩ B=
A. 4 B. 3,4 C. 2,3,4 D. 1,2,3,4
【答案】B
【解析】因为 A= x∈N x≤4 = 0,1,2,3,4 ，B= x lnx≥1 = e,+∞ ，所以 A∩ B= 3,4 .
2.已知复数 z=-2+ 3i，则 z =
A. 1 B. 5 C. 13 D. 5
【答案】C
【解析】 z = (-2)2+32= 13 .
3.若 3a= 2，则 a所在的范围是
A. -1,0 B. 0, 12 C.
1
2 ,1 D. 1,2
【答案】C
1
3< 3a= 2< 3 3 2 < 3a< 31 1【解析】由 ，即 ，所以 2 < a< 1.
4.某圆锥的轴截面是一个斜边长为 4的等腰直角三角形，则此圆锥的侧面积为
A. 4 2π B. 8 2π C. 16 2π D. 4 2+4 π
【答案】A
【解析】圆锥的轴截面为△SAB，AB= 4，∠ASB= 90°，
则 SA= SB= 2 2，OB= 2，
圆锥的侧面积为 π OB SA= π 2× 2 2= 4 2π.
2-x, x≤-1
5.已知 f x = ，则不等式 f x < 1的解集为-x2+4x+1, x>-1
A. -∞,-1 B. 4,+∞
C. -∞,0 ∪ 4,+∞ D. -1,0 ∪ 4,+∞
【答案】D
【解析】当 x≤-1时，原不等式可化为 2-x< 1，解得 x> 0，此时解集为 .
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当 x>-1时，原不等式可化为-x2+ 4x+ 1< 1，即 x2- 4x> 0，解得 x< 0或 x> 4.
又 x>-1，所以-1< x< 0或 x> 4.
综上，不等式 f x < 1的解集为 -1,0 ∪ 4,+∞ .
6.已知圆O : x2+ y2= 1，p：点 P a,b 在圆O外，q：直线 l : ax+ by= 1与圆O有两个公共点，则 p是 q的
( ) 条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
【答案】C
【解析】由点 P a,b 在圆O：x2+ y2= 1外，可得 a2+ b2> 1，此时，圆心O(0 , 0)到直线 l : ax+ by= 1的距
离为 d= 1 < 1，即直线 l : ax+ by= 1与圆O相交，故充分性成立；
a2+b2
由直线 l : ax+ by= 1与圆O : x2+ y2= 1有两个公共点，可得圆心O(0 , 0)到直线 l : ax+ by= 1的距离为
d= 1 < 1，则有 a2+ b2> 1，即点 P a,b 在圆O：x2+ y2= 1外，故必要性成立.
a2+b2
故 p是 q的充分必要条件.
7.已知函数 f x = cos ωx+φ ω>0,0<φ<π 的部分图象如图所示，则 f π3 =
A. - 1 B. - 32 C. -
2
2 D. -
1
2
【答案】A
3 T= 7π - - π = 3π 2π【解析】由图知 4 12 6 4 T= π，则 ω = π，得ω= 2，
由 cos 2× 7π 7π 2π12 +φ = cos 6 +φ = 0，则 φ=- 3 + kπ , k∈ Z，0< φ< π，
所以 φ= π3 ，则 f x = cos 2x+
π
3 ，故 f
π
3 = cosπ=-1.
8.已知函数 f x = x3- 6x2+ 12，若函数 g x = f x-m +n 为偶函数，则
A. m= 2，n=-4 B. m=-2，n= 4 C. m= 2，n= 4 D. m=-2，n=-4
【答案】B
【解析】令 h x = f x-m + n，
因为函数 g x = f x-m +n 为偶函数，且 h x 为三次函数，
所以 h x 为奇函数，即 h -x + h x = 0，
所以 -x-m 3 - 6 -x-m 2 + 12+ n+ x-m 3 - 6 x-m 2 + 12+ n= 0，
即-2m 3x2+m2 - 6 2x2+2m2 + 24+ 2n= 0，
即-6 m+2 x2- 2m3- 12m2+ 24+ 2n= 0，
m+2=0 m=-2所以 -2m3-12m2+24+2n=0，解得 n=4 .
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二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9.已知 a , b> 0，a+ b= 1，则下列选项中正确的有
A. lna> 0 B. 2b> 1 C. 1a +
9
b ≥ 16 D. a
2+ b2≥ 12
【答案】BCD
【解析】对 A：因为 a , b> 0，a+ b= 1，所以 0< a< 1，所以 lna< 0，故 A错误；
对 B：因为 b> 0，所以 2b> 20= 1，故 B正确；
C 1 + 9 = a+b 1 + 9对 ：因为 = 10+ b + 9a ≥ 10+ 2 b 9a = 16 b = 9aa b a b a b a b ，当且仅当 a b 即 a
= 1 34 ，b= 4 时取等号.故C正确；
a+b 2
对D：因为 a2+ b2≥ 12 = 2 ，故D正确.
10.在正三棱柱 ABC- A1B1C1中，AB= AA1，M，N，P分别为CC1，BC，AA1的中点，则下列说法中正确的有
A. A1B 平面NPC1 B. 平面 ANC1⊥平面 BB1C1C
C. B1M⊥ AC1 D. B1M⊥平面NPC1
【答案】BC
【解析】取 AC中点O，A1C1中点O1，连接OB ,OO1，设 AB= 2，
因为正三棱柱 ABC- A1B1C1，所以OB ,OC ,OO1两两垂直，
以O为原点，OB ,OC ,OO1为 x , y , z轴正方向建系，如图所示，
则 A1(0 ,-1 , 2) , B( 3 , 0 , 0) ,N 3 , 12 2 ,0 , P(0 ,-1 , 1) ,C1(0 , 1 , 2) , B1( 3 , 0 , 2),M (0 , 1 , 1) , A(0 ,
-1 , 0)，
3 3
所以 A1B= ( 3 , 1 ,-2) , PN = 2 , 2 ,-1 , PC1= (0 , 2 , 1) , B1M = (- 3 , 1 ,-1), AC1= (0 , 2 , 2)，
A 选项 ：设平面NPC1的法向量 n= (x , y , z)，

n P N =0 32 x+ 32 y-z=0则 ，即 ，n PC1=0 2y+z=0
令 y= 1，则 z=-2 , x=- 7 33 ，即 n
= - 7 33 ,1,-2 ，

则 A1B n
=-7+ 1+ 4=-2≠ 0，所以 A1B与平面NPC1不平行，故 A错误；
选项 B：连接 AN，因为正三角形 ABC，所以 AN⊥ BC，
又正三棱柱 ABC- A1B1C1，所以CC1⊥平面 ABC，
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因为 AN 平面 ABC，所以CC1⊥ AN，
因为 BC∩CC1=C，BC ,CC1 平面 BB1C1C，所以 AN⊥平面 BB1C1C，
因为 AN 平面 ANC1，所以平面 ANC1⊥平面 BB1C1C，故 B正确；

选项C：B1M AC1= 0+ 2- 2= 0，所以 B1M ⊥ AC1，则 B1M⊥ AC1，故C正确；
- 7 3
D 3 1 -2

选项 ：因为 ≠ 1 ≠ -1 ，所以 B1M 与 n不平行，- 3
所以 B1M与平面NPC1不垂直，故D错误.
11.在平面直角坐标系 xOy中，已知 A -2,0 ，B 2,0 ，动圆C： x-1 2 + y-r 2 = r2 r>0 ，过点 A，B分别
作斜率为 k1，k2 k1k2≠0 的两条直线与动圆 C相切，两切线交于第一象限的点 P x0,y0 ，设点 B到直线
PA的距离为 d，则下列说法中正确的是
A. PB > 1 B. k1< 3 C. k2> 3 D. d< 2 3
【答案】ABD
【解析】设圆C与线段 AB交于点D，圆C与线段 AP交于点 E，圆C与线段 AB交于点 F，
∵动圆C： x-1 2 + y-r 2 = r2 r>0 ，圆心为C 1,r ，半径为 r，
∴D 1,0 ，
∵ A -2,0 ，B 2,0 ，∴ AD= 3 , BD= 1，AB为圆C的切线，
∵ PA , PB为圆C的切线，
∴ PE= PF , AE= AD , BD= BF，
∴ PA- PB= PE+AE - PF+BF = AE- BF= AD- BD= 3- 1= 2= 2a，
∵ AB= 4= 2c，2a< 2c，
∴点 P是以 A -2,0 ，B 2,0 为焦点的双曲线，且 2a= 2 , 2c= 4，
∴ a= 1 , c= 2，∴ b= c2-a2= 22-12= 3，
2
∴ y0点 P的轨迹方程为 x20- 3 = 1 x0>0,y0>0 ，
∵ 2- y
2
A P x 0选项 ， 在 0 3 = 1 x0>0,y0>0 上，B 2,0 为焦点，
∴ PB > c- a= 2- 1= 1，故选项 A正确；
2
选项 B，∵ 2- yx 00 3 = 1 x0>0,y0>0 的渐近线方程为 y=± 3 x，
∴ 0< k1< 3，故选项 B正确；
选项C，直线 BP的倾斜角可以是钝角，故 k2> 3错误，故选项C错误；
选项D，设过点 A -2,0 的切线方程为 y= k1 x+2 ，即 k1x- y+ 2k1= 0，
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2k1-0+2k∵ B 2,0 ∴ B AP d= 1
4k
= 1 4 ， 点 到直线 的距离为 = ，
k21+1 k21+1 1
k2 +11
∵ 0< k1< 3，∴ 0< k2 1 1 1 4 2 31< 3，∴ 2 > 3 ，∴ + 1> ，∴
1
k k21 1 3 k2
+1> ，
1 3
∴ 0< 1 < 3 4 4 32 ，∴ 0< < 2 = 2 3，∴ d< 2 3，故选项D正确.1
k2 +1
1
1 k2
+1
1
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12. x2-2x 5 的展开式中，x6的系数是 .
【答案】80
【解析】T =Cr x2 5 -rr+1 5 -2x r =Cr5 -2 r x10-r，令 10- r= 6，解得 r= 4，故 x6的系数为C45 -2 4 = 80.
13. a

已知向量 = 2， b = 4 a b= 4 ， ，若向量 c满足 c-a c-b = 0，则 c 的最大值为 .
【答案】 7+ 3

【解析】由题可知 |a| = 2 , |b| = 4 , a b= 4 a ，设 , b夹角为 θ，
a

b 4 1
则 cosθ= = 2×4 = 2 ，θ= 60°，|a||b|

设 a= (2 , 0) , b= (2 , 2 3 ) ，c= (m , n)
c-a c -b = 0，代入坐标化简得：(m- 2)2+ (n- 3 )2= 3
c 故 的最大值为原点到圆上的点 m,n 最大距离，如下图所示，
又圆心M (2 , 3 )，半径 r= 3， OM = 22+ 3 2 = 7，
故 |c |max= 7+ 3 .
14.已知 A盒中装有大小相同的 3个红球和 3个黑球，B盒中装有大小相同的 3个红球，从 A盒中随机取一
个球，若是红球，则放回 A盒；若是黑球，则从 B盒中取一红球与其替换，这样称为 1次操作，重复以上操
作，直到 A盒中 6个球全是红球为止.记 n次重复操作后，A盒中 6个球恰好全是红球的概率为 Pn，则 P5
- 12 P4= .
61
【答案】1296
【解析】若 4次重复操作后，A盒中 6个球全是红球，则 1次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次、第二次
和第三次抽到红球三种情况，
P = 1 × 1 × 2所以 4 2 2 6 ×
1
6 +
1
2 ×
4
6 ×
2 1
6 × 6 +
1 × 2 5 1 12 6 × 6 × 6 = 18 ，
若 5次重复操作后，A盒中 6个球全是红球，则 2次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次和第二次、第一
数学试题 第 5 页 共 10 页
次和第三次、第一次和第四次、第二次和第三次、第二次和第四次、第三次和第四次抽到红球六种情况，
1 1
所以 P5= 2 × 2 ×
1 2 1 1 1 4 2 1 1 1 2 5 1 1 4 4
2 × 6 × 6 + 2 × 2 × 6 × 6 × 6 + 2 × 2 × 6 × 6 × 6 + 2 × 6 × 6 ×
2
6 ×
1
6
+ 12 ×
4
6 ×
2
6 ×
5
6 ×
1
6 +
1
2 ×
2
6 ×
5 5
6 × 6 ×
1 = 976 1296 ，
1
所以 P5- 2 P =
97 1 61
4 1296 - 36 = 1296 .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知△ABC b 2sinB的角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 c= 2，a = cosA .
(1)求 tanA；
(2)若△ABC的面积为 2，求 a和 cosC.
sinB 2sinB 2sinA 1
【解析】(1)由正弦定理可得 sinA = cosA ，因为 sinB≠ 0，所以 cosA = 2tanA= 1，所以 tanA= 2 .
(2)因为 tanA= 12 ，所以 0< A<
π
2 ，
又 sin2A+ cos2A= 1所以 sinA= 1 ，cosA= 2 .
5 5
所以 S = 1 bcsinA= b b△ABC 2 ，即 = 2，所以 b= 2 5，5 5
2
所以 a2= b2+ c2- 2bccosA= 20+ 4- 2× 2 5 × 2× = 8，解得 a= 2 2，
5
2 2 2
cosC= a +b -c = 8+20-4 = 3 10所以 2ab 10 .2×2 2×2 5
因此 a= 2 2，cosC= 3 1010 .
16.近年来，青少年近视问题备受关注.为了探究中学生手机使用习惯与近视之间是否存在关联，某研究小
组在某中学随机抽取了 200名学生进行问卷调查.调查项目包括平均每天使用手机的时间 (分为“少于 1
小时”和“1小时及以上”两类)以及是否被医院诊断为近视 (分为“是”和“否”两类).调查结果汇总如下表：
使用手机时间 近视 不近视 总计
少于 1小时 40 60 100
1小时及以上 65 35 100
总计 105 95 200
(1)从该校学生中任选 1人，记“该人平均每天使用手机时间少于 1小时”为事件 A，记“该人近视”为事件

B.根据上表数据，用频率估计概率，分别估计 P B A ，P B A ，并由此直观判断平均每天使用手机时间
与近视是否有关联，简要说明理由；
(2)利用列联表中的数据，计算卡方统计量 χ2(精确到 0.001)，并判断是否有 99%的把握认为“平均每天使
用手机时间”与“近视”相关.
2 nχ =
ad-bc 2
附：公式 ，χ2独立性检验临界值表：
a+b c+d a+c b+d
P χ2≥k 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
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【解析】(1)在 A( 40平均每天使用手机时间 1小时以下)条件下，近视的频率为 100 = 0.4，
用频率估计概率，得 P B∣A ≈ 0.4，

在 A( 65平均每天使用手机时间 1小时及以上)条件下，近视的频率为
100
= 0.65，
用频率估计概率，得 P B∣A ≈ 0.65，
使用手机时间少于 1小时的学生近视概率约为 0.4，而使用手机时间 1小时及以上的学生近视概率约为
0.65，两者有较大差异.
因此直观判断，平均每天使用手机时间与近视有关联，使用手机时间越长，近视的概率越高.
(2)由题意 a= 40，b= 60，c= 65，d= 35，n= 200，
2 200× 40×35-60×65
2 200× 1400-3900 2
则 χ = 100×100×105×95 = 10000×9975 ≈ 12.531，
由于 χ2> 6.635，所以有 99%的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关.
17.已知等比数列 an 的公比 q为整数，且 a1+ a4= 52，a2+ a3=-12.
(1)求 an 的通项公式；
(2)设 bn= nan ，求数列 bn 的前 n项和 Sn.
【解析】
( ) a1+a4=a1 1+q
3 =521 由题意， a2+a3=a ，1 q+q2 =-12
1+q3 2
两式相除可得 =- 13 q -q+1，即 =- 13 ，解得 q=-3，
q 1+q 3 q 3
a = 52故 1 3 =-2，所以 an= a
n-1
1q =-2 -3 n -1.1+q
(2)因 bn= nan = |n (-2) (-3)n-1| = 2n 3n-1，
则 S = 2 1×30+2×31+3×32+ + n-1 3n-2+n 3n-1n ①
所以 3Sn= 2 1×31+2×32+3×33+ + n-1 3n-1+n 3n ②
则②-①得：2S = 2 -1-31-32- -3n-1n +n 3n
n
=-2× 1-3 n n1-3 + 2n 3 = 2n-1 3 + 1
2n-1 3n+1
所以 Sn= 2 .
18.已知函数 f x =-xlnx+ lna+1 x.
(1)求函数 f x 的单调区间；
(2)设函数 f x 的零点为 x0，设曲线 y= f x 在 x0,0 处的切线为 y= kx+m，求证：f x ≤ kx+ m.
(3) 1当 e ≤ a≤ 1时，设 x1 , x2∈ 0,+∞
1
，且满足 f x1 - f x2 = 1，求证：ex2- ex1> a .
【解析】(1) f x =-xlnx+ lna+1 x，
由 f x =-lnx+ lna，
当 x∈ 0,a 时，f x > 0，即 f x 在 0,a 为增函数；
当 x∈ a,+∞ 时，f x < 0，即 f x 在 a,+∞ 为减函数.
所以 f x 的递增区间为 0,a ，递减区间为 a,+∞ .
(2)由 f x =-xlnx+ lna+1 x= 0，解得 x0= ae，
又因 f x =-lnx+ lna，则 f ae =-lnae+ lna=-1，
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所以切线方程为 y=-x+ ae，
设 φ x =-xlnx+ lna+2 x- ae，则 φ x =-lnx+ lna+ 1，
令 φ x =-lnx+ lna+ 1= 0，解得 x= ae，
当 0< x< ae时，φ x > 0，当 x> ae时，φ x < 0，
可知 φ x 在 0,ae 为增函数，φ x 在 ae,+∞ 为减函数，
故 φ x ≤ φ ae = 0，所以 f x ≤ kx+m.
(3)由 (1)可知 f x max= f a = a≤ 1，
①若 x2∈ 0,a ，则 f x2 = x2 lna+1- lnx2 > x2> 0，
f x1 - f x2 < f x1 ≤ f a =-alna+ alna+ a≤ 1不符合题意；
所以 x2≥ a，
②若 0< x1< a，则 x1< x2，
③若 x1≥ a，x2≥ a，又因为 f x 在 a,+∞ 为减函数，
所以 f x1 = f x2 + 1> f x2 ，所以 x1< x2，
综上所述 x1< x2，
1
又因为 f x1 - f x2 = 1，由 ex2- ex1> a ，
所以 ex2- ex1> 1a f x1 - f x2 ，
即 a ex2-ex1 > f x1 - f x2 ，即 f x + aex11 < f x2 + aex2，
设 g x = f x + aex，
所以 g x = f x + aex= aex- lnx+ lna，
方法一：设 h x = aex- lnx+ lna，所以 h x = aex- 1x ，
因为 h x 在 0,+∞ 为单调递增，
当 x→ 0时，h x →-∞，x→+∞，h x →+∞，
1
所以存在 t∈ 0,+∞ ，使得 h t = 0，即 aet- t = 0，
又因为 x∈ 0, t ，h x < 0，即 h x 在 0, t 为减函数；
又因为 x∈ t,+∞ ，h x > 0，即 h x 在 t,+∞ 为增函数；
所以 h x ≥ h t = aet- lnt+ lna= 1t - lnt+ lna，
1
又因为 aet= t ，则有 lna+ t=-lnt，
1
又因为 e ≤ a≤ 1，
h t = 1t + t+ 2lna≥ 2+ 2lna≥ 0，
所以 h x ≥ 0，即 g x 在 0,+∞ 为增函数，
1
又因为 x2> x1，所以 g x2 > g x ，即 ex2- ex11 > a .
方法二：h x = aex- lnx+ lna= ex+lna+ x+ lna- lnx+x
设 F x = lnx+ x，因为 F x 在 0,+∞ 单调递增，
又因为 ex+lna≥ ex-1≥ x所以 F ex+lna ≥ F x
所以 h x ≥ 0，即 g x 在 0,+∞ 为增函数，
又因为 x2> x 11，所以 g x > g x ，即 ex2- ex12 1 > a .
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19.已知正方体 ABCD- A1B1C1D1的棱长为 2 2，对角线 AC1的中点为 F，动点 P在平面 AA1C1C内，且点 P
2
到平面 AA1B1B的距离等于 2 PF .
(1)求四棱锥 P- AA1B1B体积的最小值；
(2)记点 P的轨迹为曲线M，点G，R，Q是曲线M上不同三点.
(i)若平面 AB1F与轨迹M相交于 RG两点，求线段 RG的长；
(ii)若点G在点 F上方，且GF⊥ AC，GR，GQ与平面 ABCD所成角相等，平面 α过 RQ且与 AB平行，判
断平面 α与平面 ABCD的夹角是否为定值，若是定值，求出这个夹角的余弦值；若不是定值，请说明理由.
【解析】(1)设点 P到平面 AA1B1B和直线 AA1的距离分别为 d1，d2，
因为点 P在平面 AA1C1C内，且平面 AA1B1B与平面 AA1C1C
π
的夹角为 4 ，
因此 d1= 22 d2，得 d2= PF ，所以点 P的轨迹是 F为焦点，AA1为准线的抛物线，
1 2
当点 P在抛物线的顶点O处时，d2最小，最小值为 4 AC= 1，此时 dmin= 2 ，
1 2 4 2
所以四棱锥 P- AA1B1B体积的最小值为 3 × 8× 2 = 3 .
(2)设 AA1的中点为 E，则 EF∥ AC，如图 1，以 EF的中点O为原点，EF所在直线为 y轴，过点O且垂直于
平面 ABCD的直线为 z轴，过点O且平行于 BD的直线为 x轴，建立空间直角坐标系O- xyz，设点
P 0,y,z ，则 z2= 4y，
(i)平面 AB1F与平面 AA1C1C的交线为 AF，因此 R，G是直线 AF与抛物线M的交点，如图 2，
在平面 AA1C1C中，可以设GR：z= 22 y-1 ，与抛物线M方程联立，得：y
2- 10y+ 1= 0，
因此， GR = GF + RF = y1+ 1+ y2+ 1= 12；
(ii)如图 3，在平面 AA1C1C中，点G在点 F上方，且GF⊥ AC，得到点G坐标为 1,2 ，因为GR，GQ与平
面 ABCD所成角相等，所以GR，GQ与 AC所成角相等，
因此，GR，GQ的斜率互为相反数，
设 R y ,z ，Q y ,z
z -2 z -2 z
，则 1 + 2 = 0，得 1
-2 z2-2
1 1 2 2 y -1 y -1 2 + 2 = 0 z1+ z =-4，1 2 z1 -1 z
2
2
4 4 -1
k = z1-z因此， 2RQ y -y =
z1-z2 = 4
1 2 z21 z22 z +z
=-1，
1 2
4 - 4
因此，在空间直角坐标系中，RQ的方向向量为 0,1,-1 ，

又 AB= 2,2,0 ，设平面 α 的法向量 n= x,y,z ，

由 n ⊥ RQ y= z n ，由 ⊥ AB x+ y= 0，令 y= 1 ，则 n= -1,1,1 ，
数学试题 第 9 页 共 10 页
又平面 ABCD 的法向量m= 0,0,1 ，cosn ,m = 33 ，
3
所以平面 α与平面 ABCD的夹角为定值，其余弦值为 3 .
数学试题 第 10 页 共 10 页江西省南昌市 2026届高三下学期三月 (一模)
数学试题
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知集合 A= x∈N x≤4 ，B= x lnx≥1 ，则 A∩ B=
A. 4 B. 3,4 C. 2,3,4 D. 1,2,3,4
2.已知复数 z=-2+ 3i，则 z =
A. 1 B. 5 C. 13 D. 5
3.若 3a= 2，则 a所在的范围是
A. -1,0 B. 0, 12 C.
1
2 ,1 D. 1,2
4.某圆锥的轴截面是一个斜边长为 4的等腰直角三角形，则此圆锥的侧面积为
A. 4 2π B. 8 2π C. 16 2π D. 4 2+4 π
2-x, x≤-1
5.已知 f x = ，则不等式 f2 x < 1的解集为-x +4x+1, x>-1
A. -∞,-1 B. 4,+∞
C. -∞,0 ∪ 4,+∞ D. -1,0 ∪ 4,+∞
6.已知圆O : x2+ y2= 1，p：点 P a,b 在圆O外，q：直线 l : ax+ by= 1与圆O有两个公共点，则 p是 q的
( ) 条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
7.已知函数 f x = cos ωx+φ ω>0,0<φ<π π 的部分图象如图所示，则 f 3 =
A. - 1 B. - 32 C. -
2
2 D. -
1
2
数学试题 第 1 页 共 4 页
8.已知函数 f x = x3- 6x2+ 12，若函数 g x = f x-m +n 为偶函数，则
A. m= 2，n=-4 B. m=-2，n= 4 C. m= 2，n= 4 D. m=-2，n=-4
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9.已知 a , b> 0，a+ b= 1，则下列选项中正确的有
A. lna> 0 B. 2b> 1 C. 1 + 9 2 2 1a b ≥ 16 D. a + b ≥ 2
10.在正三棱柱 ABC- A1B1C1中，AB= AA1，M，N，P分别为CC1，BC，AA1的中点，则下列说法中正确的有
A. A1B 平面NPC1 B. 平面 ANC1⊥平面 BB1C1C
C. B1M⊥ AC1 D. B1M⊥平面NPC1
11.在平面直角坐标系 xOy中，已知 A -2,0 ，B 2,0 ，动圆C： x-1 2 + y-r 2 = r2 r>0 ，过点 A，B分别
作斜率为 k1，k2 k1k2≠0 的两条直线与动圆 C相切，两切线交于第一象限的点 P x0,y0 ，设点 B到直线
PA的距离为 d，则下列说法中正确的是
A. PB > 1 B. k1< 3 C. k2> 3 D. d< 2 3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12. x2-2x 5 的展开式中，x6的系数是 .

13.已知向量 a = 2， b = 4，a b= 4，若向量 c 满足 c-a c -b = 0 ，则 c 的最大值为 .
14.已知 A盒中装有大小相同的 3个红球和 3个黑球，B盒中装有大小相同的 3个红球，从 A盒中随机取一
个球，若是红球，则放回 A盒；若是黑球，则从 B盒中取一红球与其替换，这样称为 1次操作，重复以上操
作，直到 A盒中 6个球全是红球为止.记 n次重复操作后，A盒中 6个球恰好全是红球的概率为 Pn，则 P5
- 12 P4= .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知△ABC的角 A，B，C b 2sinB所对的边分别为 a，b，c，且 c= 2，a = cosA .
(1)求 tanA；
(2)若△ABC的面积为 2，求 a和 cosC.
数学试题 第 2 页 共 4 页
16.近年来，青少年近视问题备受关注.为了探究中学生手机使用习惯与近视之间是否存在关联，某研究小
组在某中学随机抽取了 200名学生进行问卷调查.调查项目包括平均每天使用手机的时间 (分为“少于 1
小时”和“1小时及以上”两类)以及是否被医院诊断为近视 (分为“是”和“否”两类).调查结果汇总如下表：
使用手机时间 近视 不近视 总计
少于 1小时 40 60 100
1小时及以上 65 35 100
总计 105 95 200
(1)从该校学生中任选 1人，记“该人平均每天使用手机时间少于 1小时”为事件 A，记“该人近视”为事件

B.根据上表数据，用频率估计概率，分别估计 P B A ，P B A ，并由此直观判断平均每天使用手机时间
与近视是否有关联，简要说明理由；
(2)利用列联表中的数据，计算卡方统计量 χ2(精确到 0.001)，并判断是否有 99%的把握认为“平均每天使
用手机时间”与“近视”相关.
2 n ad-bc
2
附：公式 χ = ，χ2独立性检验临界值表：
a+b c+d a+c b+d
P χ2≥k 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
17.已知等比数列 an 的公比 q为整数，且 a1+ a4= 52，a2+ a3=-12.
(1)求 an 的通项公式；
(2)设 bn= nan ，求数列 bn 的前 n项和 Sn.
数学试题 第 3 页 共 4 页
18.已知函数 f x =-xlnx+ lna+1 x.
(1)求函数 f x 的单调区间；
(2)设函数 f x 的零点为 x0，设曲线 y= f x 在 x0,0 处的切线为 y= kx+m，求证：f x ≤ kx+ m.
(3) 1当 e ≤ a≤ 1时，设 x1 , x2∈ 0,+∞ ，且满足 f x1 - f
1
x2 = 1，求证：ex2- ex1> a .
19.已知正方体 ABCD- A1B1C1D1的棱长为 2 2，对角线 AC1的中点为 F，动点 P在平面 AA1C1C内，且点 P
2
到平面 AA1B1B的距离等于 2 PF .
(1)求四棱锥 P- AA1B1B体积的最小值；
(2)记点 P的轨迹为曲线M，点G，R，Q是曲线M上不同三点.
(i)若平面 AB1F与轨迹M相交于 RG两点，求线段 RG的长；
(ii)若点G在点 F上方，且GF⊥ AC，GR，GQ与平面 ABCD所成角相等，平面 α过 RQ且与 AB平行，判
断平面 α与平面 ABCD的夹角是否为定值，若是定值，求出这个夹角的余弦值；若不是定值，请说明理由.
数学试题 第 4 页 共 4 页
参考答案
1. B
【解析】因为 A= x∈N x≤4 = 0,1,2,3,4 ，B= x lnx≥1 = e,+∞ ，所以 A∩ B= 3,4 .
2. C
【解析】 z = (-2)2+32= 13.
3. C
1
【解析】由 3< 3a= 2< 3，即 3 2 < 3a< 31 1，所以 2 < a< 1.
4. A
【解析】圆锥的轴截面为△SAB，AB= 4，∠ASB= 90°，
则 SA= SB= 2 2，OB= 2，
圆锥的侧面积为 π OB SA= π 2× 2 2= 4 2π.
5. D
【解析】当 x≤-1时，原不等式可化为 2-x< 1，解得 x> 0，此时解集为 .
当 x>-1时，原不等式可化为-x2+ 4x+ 1< 1，即 x2- 4x> 0，解得 x< 0或 x> 4.
又 x>-1，所以-1< x< 0或 x> 4.
综上，不等式 f x < 1的解集为 -1,0 ∪ 4,+∞ .
6. C
【解析】由点 P a,b 在圆O：x2+ y2= 1外，可得 a2+ b2> 1，此时，圆心O(0 , 0)到直线 l : ax+ by= 1的距
1
离为 d= < 1，即直线 l : ax+ by= 1与圆O相交，故充分性成立；
a2+b2
由直线 l : ax+ by= 1与圆O : x2+ y2= 1有两个公共点，可得圆心O(0 , 0)到直线 l : ax+ by= 1的距离为
d= 1 < 1，则有 a2+ b2> 1，即点 P a,b 在圆O：x2+ y2= 1外，故必要性成立.
a2+b2
故 p是 q的充分必要条件.
7. A
3
【解析】由图知 4 T=
7π
12 - -
π 3π
6 = 4 T= π
2π
，则 ω = π，得ω= 2，
由 cos 2× 7π12 +φ = cos
7π
6 +φ = 0，则 φ=-
2π
3 + kπ , k∈ Z，0< φ< π，
φ= π所以 3 ，则 f x = cos 2x+
π
3 ，故 f
π
3 = cosπ=-1.
8. B
【解析】令 h x = f x-m + n，
因为函数 g x = f x-m +n 为偶函数，且 h x 为三次函数，
所以 h x 为奇函数，即 h -x + h x = 0，
所以 -x-m 3 - 6 -x-m 2 + 12+ n+ x-m 3 - 6 x-m 2 + 12+ n= 0，
即-2m 3x2+m2 - 6 2x2+2m2 + 24+ 2n= 0，
即-6 m+2 x2- 2m3- 12m2+ 24+ 2n= 0，
m+2=0 m=-2
所以 -2m3-12m2+24+2n=0，解得 n=4 .
9. BCD
参考答案 1 页 共 7 页
【解析】对 A：因为 a , b> 0，a+ b= 1，所以 0< a< 1，所以 lna< 0，故 A错误；
对 B：因为 b> 0，所以 2b> 20= 1，故 B正确；
C 1 9对 ：因为 a + b =
1 9 b
a+b a + b = 10+ a +
9a ≥ 10+ 2 b 9ab a b = 16
b 9a
，当且仅当 a = b 即 a
= 1 b= 34 ， 4 时取等号.故C正确；
2 2 a+b
2 1
对D：因为 a + b ≥ 2 = 2 ，故D正确.
10. BC
【解析】取 AC中点O，A1C1中点O1，连接OB ,OO1，设 AB= 2，
因为正三棱柱 ABC- A1B1C1，所以OB ,OC ,OO1两两垂直，
以O为原点，OB ,OC ,OO1为 x , y , z轴正方向建系，如图所示，
则 A1(0 ,-1 , 2) , B( 3 , 0 , 0) ,N 3 , 12 2 ,0 , P(0 ,-1 , 1) ,C1(0 , 1 , 2) , B1( 3 , 0 , 2),M (0 , 1 , 1) , A(0 ,
-1 , 0)，

所以 A1B= ( 3 , 1 ,-2) , PN = 32 ,
3
2 ,-1 , PC1= (0 , 2 , 1) , B1M = (- 3 , 1 ,-1), AC1= (0 , 2 , 2)，

选项 A：设平面NPC1的法向量 n= (x , y , z)，
n

PN 3 3 =0 2 x+ 2 y-z=0则 ，即 ，n PC1=0 2y+z=0
y= 1 z=-2 , x=- 7 3 n 令 ，则 3 ，即 = -
7 3
3 ,1,-2 ，

则 A B n 1 =-7+ 1+ 4=-2≠ 0，所以 A1B与平面NPC1不平行，故 A错误；
选项 B：连接 AN，因为正三角形 ABC，所以 AN⊥ BC，
又正三棱柱 ABC- A1B1C1，所以CC1⊥平面 ABC，
因为 AN 平面 ABC，所以CC1⊥ AN，
因为 BC∩CC1=C，BC ,CC1 平面 BB1C1C，所以 AN⊥平面 BB1C1C，
因为 AN 平面 ANC1，所以平面 ANC1⊥平面 BB1C1C，故 B正确；
参考答案 2 页 共 7 页

选项C：B1M AC1= 0+ 2- 2= 0，所以 B1M ⊥ AC1，则 B1M⊥ AC1，故C正确；
- 7 3
D 3 ≠ 1 ≠ -2

选项 ：因为 ，所以 B M 与 n不平行，
- 3 1 -1 1
所以 B1M与平面NPC1不垂直，故D错误.
11. ABD
【解析】设圆C与线段 AB交于点D，圆C与线段 AP交于点 E，圆C与线段 AB交于点 F，
∵动圆C： x-1 2 + y-r 2 = r2 r>0 ，圆心为C 1,r ，半径为 r，
∴D 1,0 ，
∵ A -2,0 ，B 2,0 ，∴ AD= 3 , BD= 1，AB为圆C的切线，
∵ PA , PB为圆C的切线，
∴ PE= PF , AE= AD , BD= BF，
∴ PA- PB= PE+AE - PF+BF = AE- BF= AD- BD= 3- 1= 2= 2a，
∵ AB= 4= 2c，2a< 2c，
∴点 P是以 A -2,0 ，B 2,0 为焦点的双曲线，且 2a= 2 , 2c= 4，
∴ a= 1 , c= 2，∴ b= c2-a2= 22-12= 3，
2
∴点 P的轨迹方程为 x2 y00- 3 = 1 x0>0,y0>0 ，
y2
选项 A，∵ P在 x2- 00 3 = 1 x0>0,y0>0 上，B 2,0 为焦点，
∴ PB > c- a= 2- 1= 1，故选项 A正确；
y2
选项 B，∵ x2 00- 3 = 1 x0>0,y0>0 的渐近线方程为 y=± 3 x，
∴ 0< k1< 3，故选项 B正确；
选项C，直线 BP的倾斜角可以是钝角，故 k2> 3错误，故选项C错误；
选项D，设过点 A -2,0 的切线方程为 y= k1 x+2 ，即 k1x- y+ 2k1= 0，
∵ B 2,0 ∴ B AP d=
2k1-0+2k1 4k= 1 4 ， 点 到直线 的距离为 = ，
k2+1 k21 1+1 1
k2 +11
∵ 0< k1< 3，∴ 0< k21< 3，∴ 12 >
1 1
3 ，∴ 2 + 1>
4 1
3 ，∴ k2 +1>
2 3
，
k1 k1 1 3
∴ 0< 1 < 3 ∴ 0< 4 4 32 ， < 2 = 2 3，∴ d< 2 3，故选项D正确.1 1
k2 +11 k2
+1
1
12. 80
【解析】Tr+1=Cr5 x2 5 -r -2x r =Cr5 -2 r x10-r，令 10- r= 6，解得 r= 4，故 x6的系数为C4 45 -2 = 80.
13. 7+ 3

【解析】由题可知 |a | = 2 , |b| = 4 , a b= 4，设 a , b夹角为 θ，
a b
则 cosθ= = 4 = 1 ，θ= 60°，|a||b| 2×4 2

设 a = (2 , 0) , b= (2 , 2 3 )，c = (m , n)
c -a c

-b = 0，代入坐标化简得：(m- 2)2+ (n- 3 )2= 3
c 故 的最大值为原点到圆上的点 m,n 最大距离，如下图所示，
参考答案 3 页 共 7 页
又圆心M (2 , 3 )，半径 r= 3， OM = 22+ 3 2 = 7，
故 |c |max= 7+ 3.
14. 611296
【解析】若 4次重复操作后，A盒中 6个球全是红球，则 1次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次、第二次
和第三次抽到红球三种情况，
P = 1 × 1 × 2 × 1 + 1 × 4 × 2 × 1 + 1 × 2 × 5 1 1所以 4 2 2 6 6 2 6 6 6 2 6 6 × 6 = 18 ，
若 5次重复操作后，A盒中 6个球全是红球，则 2次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次和第二次、第一
次和第三次、第一次和第四次、第二次和第三次、第二次和第四次、第三次和第四次抽到红球六种情况，
P = 1 × 1 × 1 × 2 × 1 + 1 1 4所以 5 2 2 2 6 6 2 × 2 × 6 ×
2 × 1 1 1 26 6 + 2 × 2 × 6 ×
5 × 1 1 4 46 6 + 2 × 6 × 6 ×
2 × 16 6
+ 1 × 4 × 2 × 5 × 1 12 6 6 6 6 + 2 ×
2
6 ×
5 5
6 × 6 ×
1 = 976 1296 ，
1 97 1 61
所以 P5- 2 P4= 1296 - 36 = 1296 .
15. (1) sinB 2sinB 2sinA由正弦定理可得 sinA = cosA ，因为 sinB≠ 0，所以 cosA = 2tanA= 1，所以 tanA=
1
2 .
(2)因为 tanA= 1 π2 ，所以 0< A< 2 ，
又 sin2A+ cos2A= 1所以 sinA= 1 ，cosA= 2 .
5 5
1
所以 S△ABC= 2 bcsinA=
b b
，即 = 2，所以 b= 2 5，
5 5
所以 a2= b2+ c2- 2bccosA= 20+ 4- 2× 2 5 × 2× 2 = 8，解得 a= 2 2，
5
2 2 2
cosC= a +b -c = 8+20-4 3 10所以 2ab = .2×2 2×2 5 10
因此 a= 2 2，cosC= 3 1010 .
16. (1)在 A(平均每天使用手机时间 1 40小时以下)条件下，近视的频率为 100 = 0.4，
用频率估计概率，得 P B∣A ≈ 0.4，

在 A( 65平均每天使用手机时间 1小时及以上)条件下，近视的频率为 100 = 0.65，
用频率估计概率，得 P B∣A ≈ 0.65，
使用手机时间少于 1小时的学生近视概率约为 0.4，而使用手机时间 1小时及以上的学生近视概率约为
0.65，两者有较大差异.
因此直观判断，平均每天使用手机时间与近视有关联，使用手机时间越长，近视的概率越高.
参考答案 4 页 共 7 页
(2)由题意 a= 40，b= 60，c= 65，d= 35，n= 200，
2 200× 40×35-60×65
2 200× 1400-3900 2
则 χ = 100×100×105×95 = 10000×9975 ≈ 12.531，
由于 χ2> 6.635，所以有 99%的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关.
a +a 3
17. (1) 1 4=a1 1+q =52由题意， a 2 ，2+a3=a1 q+q =-12
1+q3 2
两式相除可得 =- 13 q -q+1 133 ，即q 1+q q
=- 3 ，解得 q=-3，
52
故 a1= =-2，所以 a = a qn-1=-2 -3 n-1.1+q3 n 1
(2)因 bn= na = |n (-2) (-3)n-1| = 2n 3n-1n ，
则 Sn= 2 1×30+2×31+3×32+ + n-1 3n-2+n 3n-1 ①
所以 3S = 2 1×31+2×32n +3×33+ + n-1 3n-1+n 3n ②
则②-①得：2S = 2 -1-31-32- -3n-1+n 3nn
1-3n=-2× + 2n 3n= 2n-1 3n1-3 + 1
2n-1 3n+1
所以 Sn= 2 .
18. (1) f x =-xlnx+ lna+1 x，
由 f x =-lnx+ lna，
当 x∈ 0,a 时，f x > 0，即 f x 在 0,a 为增函数；
当 x∈ a,+∞ 时，f x < 0，即 f x 在 a,+∞ 为减函数.
所以 f x 的递增区间为 0,a ，递减区间为 a,+∞ .
(2)由 f x =-xlnx+ lna+1 x= 0，解得 x0= ae，
又因 f x =-lnx+ lna，则 f ae =-lnae+ lna=-1，
所以切线方程为 y=-x+ ae，
设 φ x =-xlnx+ lna+2 x- ae，则 φ x =-lnx+ lna+ 1，
令 φ x =-lnx+ lna+ 1= 0，解得 x= ae，
当 0< x< ae时，φ x > 0，当 x> ae时，φ x < 0，
可知 φ x 在 0,ae 为增函数，φ x 在 ae,+∞ 为减函数，
故 φ x ≤ φ ae = 0，所以 f x ≤ kx+m.
(3)由 (1)可知 f x max= f a = a≤ 1，
①若 x2∈ 0,a ，则 f x2 = x2 lna+1- lnx2 > x2> 0，
f x1 - f x2 < f x1 ≤ f a =-alna+ alna+ a≤ 1不符合题意；
所以 x2≥ a，
②若 0< x1< a，则 x1< x2，
③若 x1≥ a，x2≥ a，又因为 f x 在 a,+∞ 为减函数，
所以 f x1 = f x2 + 1> f x2 ，所以 x1< x2，
综上所述 x1< x2，
又因为 f 1 x1 - f x2 = 1，由 ex2- ex1> a ，
1
所以 ex2- ex1> a f x1 - f x2 ，
参考答案 5 页 共 7 页
即 a ex2-ex1 > f x1 - f x2 ，即 f x1 + aex1< f x + aex22 ，
设 g x = f x + aex，
所以 g x = f x + aex= aex- lnx+ lna，
方法一：设 h x = aex- lnx+ lna，所以 h x = aex- 1x ，
因为 h x 在 0,+∞ 为单调递增，
当 x→ 0时，h x →-∞，x→+∞，h x →+∞，
1
所以存在 t∈ 0,+∞ ，使得 h t = 0，即 aet- t = 0，
又因为 x∈ 0, t ，h x < 0，即 h x 在 0, t 为减函数；
又因为 x∈ t,+∞ ，h x > 0，即 h x 在 t,+∞ 为增函数；
所以 h x ≥ h t = aet- lnt+ lna= 1t - lnt+ lna，
又因为 aet= 1t ，则有 lna+ t=-lnt，
1
又因为 e ≤ a≤ 1，
h 1 t = t + t+ 2lna≥ 2+ 2lna≥ 0，
所以 h x ≥ 0，即 g x 在 0,+∞ 为增函数，
又因为 x2> x1，所以 g x2 > g x x21 ，即 e - ex1> 1a .
方法二：h x = aex- lnx+ lna= ex+lna+ x+ lna- lnx+x
设 F x = lnx+ x，因为 F x 在 0,+∞ 单调递增，
又因为 ex+lna≥ ex-1≥ x所以 F ex+lna ≥ F x
所以 h x ≥ 0，即 g x 在 0,+∞ 为增函数，
又因为 x2> x1，所以 g x2 > g x1 ，即 ex2- ex1> 1a .
19. (1)设点 P到平面 AA1B1B和直线 AA1的距离分别为 d1，d2，
因为点 P在平面 AA1C
π
1C内，且平面 AA1B1B与平面 AA1C1C的夹角为 4 ，
2
因此 d1= 2 d2，得 d2= PF ，所以点 P的轨迹是 F为焦点，AA1为准线的抛物线，
当点 P在抛物线的顶点O处时，d 1 22最小，最小值为 4 AC= 1，此时 dmin= 2 ，
所以四棱锥 P- AA1B B 1 21 体积的最小值为 3 × 8× 2 =
4 2
3 .
(2)设 AA1的中点为 E，则 EF∥ AC，如图 1，以 EF的中点O为原点，EF所在直线为 y轴，过点O且垂直于
平面 ABCD的直线为 z轴，过点O且平行于 BD的直线为 x轴，建立空间直角坐标系O- xyz，设点
P 0,y,z ，则 z2= 4y，
(i)平面 AB1F与平面 AA1C1C的交线为 AF，因此 R，G是直线 AF与抛物线M的交点，如图 2，
在平面 AA1C
2
1C中，可以设GR：z= 2 y-1 ，与抛物线M方程联立，得：y
2- 10y+ 1= 0，
因此， GR = GF + RF = y1+ 1+ y2+ 1= 12；
(ii)如图 3，在平面 AA1C1C中，点G在点 F上方，且GF⊥ AC，得到点G坐标为 1,2 ，因为GR，GQ与平
面 ABCD所成角相等，所以GR，GQ与 AC所成角相等，
因此，GR，GQ的斜率互为相反数，
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R y ,z Q y ,z z1-2 + z2-2 = 0 z -2设 11 1 ， 2 2 ，则 y -1 y -1 ，得 2 +
z2-2
2 = 0 z1+ zz z 2
=-4，
1 2 1
4 -1
2
4 -1
z -z z -z 4
因此，kRQ= 1 2 = 1 2y -y 2 2 = z +z =-1，1 2 z1 z2 1 2
4 - 4
因此，在空间直角坐标系中，RQ的方向向量为 0,1,-1 ，

又 AB= 2,2,0 ，设平面 α的法向量 n = x,y,z ，

由 n⊥ RQ y= z ，由 n⊥ AB x+ y= 0，令 y= 1，则 n = -1,1,1 ，
ABCD m = 0,0,1 cosn ,m = 3又平面 的法向量 ， 3 ，
3
所以平面 α与平面 ABCD的夹角为定值，其余弦值为 3 .
参考答案 7 页 共 7 页

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