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2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）的值等于（　　）
A． B．﹣ C．± D．
2．（2分）过点（2，﹣1）且平行于y轴的直线上的点的坐标的特征是（　　）
A．横坐标是2 B．纵坐标是2
C．横坐标是﹣1 D．纵坐标是﹣1
3．（2分）根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（　　）
A．AB＝6，BC＝3，AC＝9 B．AB＝5，BC＝4，∠A＝30°
C．∠C＝90°，AB＝6，BC＝8 D．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
4．（2分）在△ABC中，D是BC边上的一点．若AB2﹣BD2＝AD2，则AD是（　　）
A．∠A的角平分线 B．BC边上的高线
C．BC边上的中线 D．BC边上的垂直平分线
5．（2分）如图，点C在线段AB上，在AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，BD．若∠EAB＝α，∠DBE＝β，则α、β满足的数量关系是（　　）
A．a＝β B．α+β＝90° C．α+β＝60° D．α+β＝60°
6．（2分）如图，在△ABC中，，BC＝14，∠B＝45°，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，4）在第　 　 象限．
8．（2分）下列实数、π、、中，无理数有　 　 个．
9．（2分）一个等腰三角形的两边长分别是2和4，它的周长是　 　 ．
10．（2分）南京师范大学附属中学新城初级中学占地约26012平方米，用科学记数法表示（精确到百位）约是　 　 平方米．
11．（2分）若点A（a+2，a﹣4）在第四象限，且到x轴和y轴距离相等，则a＝　 　 ．
12．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），线段A1A2＝1，A2A1⊥OA1垂足为A1；线段A2A3＝1，A3A2⊥A1A2垂足为A2；线段A3A4＝1，A4A3⊥A2A3，垂足为A3，…，按此规律，点A2025的坐标为　 　 ．
13．（2分）如图，在△ABC中，AB＝6，CB＝CA＝5，将△ABC沿BC平移到△A'B'C'，使点B′与点C重合，则AC′的长为　 　 ．
14．（2分）如图，在△ABC中，AC＝4，以A为圆心，AB为半径画弧，交BC于点D．若M、N分别是BD、AC的中点，则MN的长为　 　 ．
15．（2分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝12，BC﹣AD＝5．沿EF，FG，GH剪三刀，将其分割为4块，可以再拼成两个正方形，则△BGF的面积为　 　 ．
16．（2分）如图，∠ABC＝30°，点D在BC上，，点P是射线BA上一个动点，以BP为边作等边△BPE，M是EP的中点．若，则BP的长为 　 　 ．
三、解答题（本大题共10小题，共68分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）求下列各式中的x．
（1）4x2﹣25＝0；
（2）．
18．（4分）计算：．
19．（6分）如图，C、D是线段AB的垂直平分线l上的两点．求证：∠CAD＝∠CBD．
20．（6分）已知：如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC，求证：AB＝AC．
21．（6分）如图，BD是△ABC的角平分线，DH⊥BC，垂足为H．若△ABC的面积为15，BC＝5，DH＝2，求AB的长．
22．（6分）小丽在物理实验课上利用如图所示“光的反射演示器”直观呈现了光的反射原理．她用激光笔从量角器左边边缘点A处发出光线，经量角器圆心O处（此处放置平面镜）反射后，反射光线落在右边光屏CE上的点D处（C也在量角器的边缘上，O为量角器的中心，C、O、B三点共线，AB⊥BC，CE⊥BC）．小丽在实验中还记录下了AB＝6cm，BC＝12cm．依据记录的数据，求量角器的半径OC长．
23．（8分）清朝康熙皇帝在《积求勾股法》一文中，对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，第一步：；第二步：；第三步：分别用3、4、5乘k，得三边长”．
（1）若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍．当面积等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；
（2）若直角三角形的三边长分别为a、b、c（a＜b＜c）的k倍．若面积为S，则k＝　 　 ．
24．（8分）已知：A（0，2），B（2，0），C（4，3）
（1）在平面直角坐标系中描出各点，画出△ABC；
（2）求△ABC的面积；
（3）若PA＝PB＝PC，则P的坐标为　 　 ．
25．（6分）如图，已知直线a，b和点A．
作线段BC，使点B、C分别在直线a，b上，且A为BC的中点．
（要求：用直尺和圆规作图；保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．
26．（10分）如图，，AM＝1，BM＝2，．
（1）求证：△ABM是直角三角形；
（2）求证：∠B+∠C＝45°．
参考答案
一．选择题（共6小题）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A A D B A C
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.）
7．二．
8．2．
9．10．
10．2.60×104．
11．1．
12．（1013，1012）．
13．8．
14．2．
15．7.5．
16．2或6．
三、解答题（本大题共10小题，共68分.）
17．解：（1）移项得4x2＝25，
两边都除以4得x2＝，
由平方根的定义得x＝；
（2）两边都乘以2得（x+3）3＝﹣8，
由立方根的定义得x+3＝﹣2，
解得x＝﹣5．
18．解：原式＝3﹣2+3
＝4．
19．证明：∵MN是线段AB的垂直平分线，且C、D在MN上，
∴CA＝CB，DA＝DB，
在△ACD和△BCD中，
，
∴△ACD≌△BCD（SSS），
∴∠CAD＝∠CBD．
20．证明：∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C．
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD＝∠DAC．
∴∠B＝∠C．
∴AB＝AC．
21．解：作DF⊥AB于点F，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴BD平分∠ABC，
∵点D在∠ABC的平分线上，且DF⊥AB于点F，DH⊥BC于点H，
∴DF＝DH＝2，
∵S△ABD+S△CBD＝S△ABC＝15，且BC＝5，
∴×2AB+×5×2＝15，
解得AB＝10，
∴AB的长为10．
22．解：∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
设OA＝OC＝xcm，
∵BC＝12cm，
∴BO＝BC﹣OC＝（12﹣x）cm，
在Rt△ABO中，AB＝6cm，
∴AB2+OB2＝OA2，
∴36+（12﹣x）2＝x2，
解得：x＝7.5，
∴OA＝OC＝7.5cm，
∴量角器的半径OC长为7.5cm．
23．解：（1）当面积S等于150时，
第一步：m＝＝25，
第二步：k＝＝5，
第三步：直角三角形的三边长分别为3k＝3×5＝15，4k＝4×5＝20，5k＝5×5＝25；
（2）由题意可知，直角三角形的三边长分别为ka、kb、kc，
则S＝ka kb，
∴abk2＝2S，
∴k2＝，
∴k＝，
故答案为：．
24．解：（1）如图，△ABC即为所求；
（2）△ABC的面积＝3×4﹣×2×2﹣×1×4﹣×2×3＝5．
（3）由题意点P在线段AB都是垂直平分线上，可以假设P（m，m），
∵PA＝PC，
∴m2+（2﹣m）2＝（4﹣m）2+（3﹣m）2，
解得m＝2.1，
∴P（2.1，2.1）．
故答案为：（2.1，2.1）．
25．解：如图，线段BC即为所求．
方法：过点A作直线c交直线a于点E，作直线m∥直线a，以A为圆心，AE为半径作弧交直线c于点F，过点F作直线n∥直线m，直线n交直线b于点C，连接CA，延长CA交直线a于点B，线段BC即为所求．
26．证明：（1）∵，AM＝1，BM＝2，
∴AM2+BM2＝1+4＝5＝（）2＝AB2，
∴∠AMB＝90°，△ABM是直角三角形；
（2）设BM的中点为N，连接AN，
∴MN＝BN＝BM＝1，
∵∠AMB＝90°，△ABM是直角三角形，AM＝1，
∴△AMN为等腰直角三角形，
∴∠ANM＝45°，
∴∠ANM＝∠B+∠BAN＝45°，
在△ABN和△CAM中，
，
∴△ABN≌△CAM（SSS），
∴∠C＝∠BAN，
∴∠B+∠C＝45°．

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