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中山市华侨中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷
一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（　　）
A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线
3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣4） B．（3，﹣4） C．（3，4） D．（﹣3，4）
4．（3分）二次函数y＝（a﹣1）x2的图象是一条抛物线，若抛物线开口向上，则a的取值范围是（　　）
A．a≥1 B．a＞1 C．a≤1 D．a＜1
5．（3分）已知x1，x2是一元二次方程2x2+6x﹣5＝0的两个实数根，则x1+x2等于（　　）
A．3 B．﹣ C．﹣3 D．﹣6
6．（3分）嘉嘉绘制抛物线y＝2x2+1时，将“2”看成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（　　）
A．开口方向 B．对称轴
C．开口大小 D．与y轴的交点
7．（3分）毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，根据题意可列方程为（　　）
A．x2＝1560 B．x（x﹣1）＝1560
C．x（x+1）＝1560 D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将点P（4，3）绕原点O逆时针旋转90°得到点P′，则P′的坐标为（　　）
A．（﹣3，4） B．（3，﹣4） C．（4，﹣3） D．（﹣3，﹣4）
9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分y与x的值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 1 2 4 …
y … 21 12 0 ﹣3 ﹣3 …
根据表格可知，一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是（　　）
A．x1＝1，x2＝5 B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝2，x2＝7 D．x1＝0，x2＝3
10．（3分）已知一次函数y＝（m﹣n）x+n的图象如图所示，则二次函数y＝mx2+nx的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（共5个小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）方程x2＝3x的解为：　 　 ．
12．（3分）二次函数y＝x2﹣2x﹣6的最小值为 　 　 ．
13．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转80°，得到△ADE，若点B的对应点D在线段EC上，则∠E的大小为 　 　 ．
14．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD＝8，BE＝2，则⊙O的半径为　 　 ．
15．（3分）如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在坐标原点，顶点A、C分别在y轴、x轴的负半轴上，其中A（0，﹣4），C（﹣2，0），将矩形ABCD绕点D逆时针旋转得到矩形A′B′C′D，点B′恰好落在x轴上，线段B′A′与CD的交点E的坐标为　 　 ．
三、解答题（共3个小题，每小题7分，满分21分）
16．（7分）解方程：x2+2x﹣15＝0．
17．（7分）已知抛物线经过点（0，3），且顶点坐标为（1，﹣4），求抛物线的解析式．
18．（7分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．
（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转180°后得到的△A1B1C1；
（2）若连接CC1，则线段CC1的长为　 　 ．
四、解答题（共3个小题，每小题9分，满分27分）
19．（9分）已知关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0．
（1）当该方程有一根为1时，求出m的值；
（2）当该方程有两个不相等的实数根时，求出m的取值范围．
20．（9分）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，BC＝3．
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径．
21．（9分）某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨1元，月销售量就减少10千克．
（1）写出月销售利润y（单位：元）与销售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式．
（2）当销售价定为多少元时会获得最大利润？
五、解答题（共2个小题，第22题13分，第23题14分，满分27分）
22．（13分）阅读与探究：
（1）【提出问题】如图1，在等边三角形ABC内有一点P且PA＝2，，PC＝1．求∠BPC的度数．
小明发现，即以PA、PB、PC的长为边构成的三角形是直角三角形，于是有了以下的思路：如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BP′A，连接PP′，请在此基础上帮小明求出∠BPC的度数．
（2）【类比问题】如图3，在正方形ABCD内有一点P且，，PC＝1．求∠BPC的度数；
（3）【探索问题】在（2）的条件下，求正方形ABCD的边长．
23．（14分）如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线经过点A和点C，且交x轴于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；
（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A，若线段O′A与抛物线只有一个公共点，求m的取值范围．
九年级期中数学试卷参考答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B B C C B A A C
二、填空题（共5个小题，每小题3分，满分15分）
11．x＝0或x＝3．
12．﹣7．
13．50°．
14．5．
15．（﹣2，﹣）．
三、解答题（共3个小题，每小题7分，满分21分）
16．解法一：a＝1，b＝2，c＝﹣15，Δ＝22﹣4×1×（﹣15）＝64＞0．
，
∴x1＝3，x2＝﹣5．
解法二：（ x﹣3 ）（ x+5 ）＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣5．
解法三：x2+2x＝15，
x2+2x+1＝15+1．
（x+1）2＝42．
x+1＝±4．
∴x1＝3，x2＝﹣5．
17．解：∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
故设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
将点（0，3）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，得a＝7，
则抛物线的解析式为：y＝7（x﹣1）2﹣4．
18．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）由勾股定理得，CC1＝＝．
故答案为：．
四、解答题（共3个小题，每小题9分，满分27分）
19．解：（1）将x＝1代入原方程得：m×12+1+1＝0，
解得：m＝﹣2，
∴m的值为﹣2；
（2）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：m＜且m≠0，
∴m的取值范围为m＜且m≠0．
20．解：（1）连接AC，如图，
∵CD⊥AB，
∴AF＝BF，即CD垂直平分AB，
∴CA＝CB＝3，
∵AO⊥BC，
∴CE＝BE，即AE垂直平分BC，
∴AB＝AC＝3；
（2）∵AB＝AC＝BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴AE⊥BC，
∴AE平分∠BAC，即∠OAF＝30°，
在Rt△OAF中，∵OF＝AF＝×＝，
∴OA＝2OF＝，
即⊙O的半径为．
21．解：（1）由题意得：
月销售量为500﹣10（x﹣50）＝1000﹣10x，
∴y＝（x﹣40）（1000﹣10x）
＝﹣10x2+1400x﹣40000；
（2）由题意，结合（1）y＝﹣10x2+1400x﹣40000
＝﹣10（x﹣70）2+9000，
又∵﹣10＜0，
∴当x＝70时，y最大，最大值为9000．
答：当销售价定为70元时会获最大利润．
五、解答题（共2个小题，第22题13分，第23题14分，满分27分）
22．解：（1）根据旋转可知：
△BP′A≌△BPC，
∴BP′＝BP＝，AP′＝PC＝1，
又∵∠P′BP＝60°，
∴△P′PB＝60°，
∴△P′PB是等边三角形，
∴∠BP′P＝∠BPP′＝60°，PP'＝，
在△APP′中，AP′＝1，PP′＝，AP＝2，
12+（）2＝22，
即AP′2+P′P2＝AP2，
∴∠AP′P＝90°，
∴∠AP′B＝60°+90°＝150°，
∴∠BPC＝∠AP′B＝150°；
（2）如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，连接PP′，
则△BPC≌△BP′A．
∴AP′＝PC＝1，BP＝BP′＝；
在Rt△BP′P中，
∵BP＝BP′＝，∠PBP′＝90°，
∴PP′＝2，∠BP′P＝45°，
在△AP′P中，AP′＝1，PP′＝2，AP＝，
∵12+22＝（）2，即AP′2+PP′2＝AP2；
∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P＝90°，
∴∠AP′B＝90°+45°＝135°，
∴∠BPC＝∠AP′B＝135°；
（3）过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E；则△BEP′是等腰直角三角形，
∴∠EP′B＝45°，
∴EP′＝BE＝1，
∴AE＝2；
∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB＝，
∴正方形ABCD的边长为．
23．解：（1）令x＝0，则y＝3，
∴A（0，3），
令y＝0，则x＝6，
∴C（6，0），
将A（0，3），C（6，0）代入，
∴，
∴，
∴；
（2）连接OM，如图，
∵A（0，3），C（6，0），
∴OA＝3，OC＝6，
设，
令y＝0，得，
解得：x＝﹣2或x＝6，
∴B（﹣2，0）；
∴S四边形ABCM＝S△ABO+S△AOM+S△OCM
＝
＝
＝，
∴当x＝3时，四边形ABCM面积最大，其最大值为；
此时M的坐标为；
（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O'A'，如图：
∴PO'＝PO＝m，O'A'＝OA＝3，
∴O'（m，m），A'（m+3，m），
当点A'（m+3，m）在抛物线上时，得：，
解得：m＝﹣3；
当点O'（m，m）在抛物线上时，得：+m+3＝m，
解得：m＝，
∴当或时，线段O'A'与抛物线只有一个公共点．

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