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2025-2026学年上海市黄浦区敬业中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，，则下列各式中，正确的是( )
A. B. C. D.
2.在中，点D、E分别在边AB、AC上，如果，，那么由下列条件能够判断的是( )
A. B. C. D.
3.下列判断中，不正确的有( )
A. 三边对应成比例的两个三角形相似
B. 两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C. 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
D. 有一个角是的两个等腰三角形相似
4.如图，在中，，，，则AC的长为( )
A. B. C. D. 2
A. 零向量与任何一个向量都是平行向量
B. 如果为非零向量，那么
C. 如果，那么或
D. 如果非零向量，那么一定存在唯一的实数m，使
6.如图，已知在纸板中，，，，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.已知，则______.
8.已知线段，，那么线段a和b的比例中项为______
9.地图上的比例尺是1：100000，A、B两地是实际距离是30千米，则图上的距离是______.
10.如果点P把线段AB分割成AP和PB两段，其中AP是AB与PB的比例中项，若线段AP长为4cm，那么线段AB的长为______.
11.如图，直线，，，，那么______.
第11题图 第12题图 第14题图 第15题图 第16题图
12.如图，在中，，，点D在边AB上，，那么______.
13.等腰直角三角形的腰长为，该三角形的重心到斜边的距离为______.
14.如图，中，，DE分别交边AB、AC于D、E两点，若与四边形BDEC的面积比是9：16，则与的周长比是______.
15.如图，在中，点G是两条中线AD、BE的交点，设，，如果用，表示，那么______.
16.如图，在中，有矩形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，交DE于点M、交BC于点H，DG：：2，，，则______
17.如图所示，，AC、BD相交于点E，若面积为3，的面积为5，则梯形的面积为______.
18.如图，梯形ABCD中，，，，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是______.
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题10分
计算：
20.本小题10分
如图，梯形ABCD中，，且，点E是CD的中点，AC与BE交于点F，若，
请用，来表示；
请在图中画出在，方向上的分向量．不要求写出作法，但要指出所作图中表示结论的向量
21.本小题10分
如图，和均为等腰直角三角形，E在内，，连接
求证：∽
若，，求CE的长．
22.本小题10分
如图，在中，CD是AB边上的中线，已知，，，求：
的面积；
的值．
23.本小题12分
梯形ABCD中，，对角线，点E是BC边上一个点，，EF交DC于点F，AF交BC延长线于点G，且
求证：；
求证：
24.本小题12分
直线分别交x轴、y轴于A、B两点．
求出点A、B的坐标；
已知点G的坐标为，过点G和B作直线BG，连接AG，求的正切值；
在的条件下，在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25.本小题14分
如图1，在中，，，点D为BC边上的动点点D不与点B，C重合以D为顶点作，射线DE交AC边于点E，过点A作交射线DE于点F，连接
求证：∽
当时如图，求AE的长;
点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得若存在，求出此时BD的长;若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题
1.C 2.C 3.B 4.B 5.C 6.B
二、填空题
7. 8.4 9.30cm 10. 11.8 12.
13. 14.3：5 15. 16. 17. 18.
三、解答题
19.解：原式

20.解：，，
，
，，
，
，，，
，
，
；
在，方向上的分向量如图所示：，即为所求；

21.解：证明：和均为等腰直角三角形，
，，
，
即，
∽；
∽，
，，
又，
，，
又，
，
，
，
，
，

22.解：如图，
过点A作交BC于点H，
在中，
，，
设，，
根据勾股定理得，即，
，，
在中，，
，，
；
过点D作交BC于点F、作交AC于点E，
是AB边上的中线，
即，
，
，，CD是AB边上的中线，，
，
，
在中，，
在中，
23.证明：，，
，
，
，
由三角形内角和，则，
，
，
，
；
由得，
，
∽，
，
又，
∽，
又，
∽，
∽，
，

24.解：对于，令，则；令，即，解得，
故点A、B的坐标分别、；
由A、B、G的坐标，，
同理，，
故，
故为直角三角形，
则；
设直线BG的表达式为，则，解得，
故直线BG的表达式为，
设点，
当∽时，
则，即，
解得，
当∽时，
同理可得：，
故点P的坐标为或或或
25.解：证明：，
，
，，
，
∽；
如图2，过点A作交BC于点M，
在中，设，则，
由勾股定理，得到，
，
或舍去，
，，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
；
点D在BC边上运动的过程中，存在时，使得
理由：过点F作交BC于点H，过点A作交BC于点M、作交FH于点N，
则，
四边形AMHN为矩形，
，，
由知，，，，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
当时，由点D不与点C重合，可知为等腰三角形，
，
，
点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得，此时

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