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2025-2026学年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列三角函数的值是1的是( )
A. B. C. D.
2.如图，几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
3.反比例函数的图象经过点，则m的值是( )
A. B. C. D. 2
4.一个不透明的盒子里有“元旦”主题和“新年”主题的贺卡共20张，这些贺卡外观完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“元旦”主题贺卡的频率稳定在，那么估计盒子中“元旦”主题贺卡有( )
A. 3张 B. 15张 C. 5张 D. 10张
5.如图，与位似，点O是它们的位似中心，与的面积之比是1：9，其中，则OB的长为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.按照党中央、国务院决策部署，为了活跃市场主体、助推各地区经济发展，各省市地区抓紧推动稳经济一揽子政策落实落地。江夏区制定了“黄金十条”，坚定企业疫后发展信心，促进企业稳步高效增长。2025年我区某企业4月份的利润是100万元，第二季度的总利润达到500万元，设利润平均月增长率为x,则依题意列方程( )
A,100（1+x)2=500 B.100（1+x2)=500
C.100(1+x)+100(1+x)2=500 D.100+100(1+x)+100(1+x)2=500
7.如图，的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则下列三角函数值错误的是( )
A. B.
C. D.
8.二次函数图象如图所示，它的对称轴为直线，则下列结论中正确的有( )
①；②；③；④为任意实数；⑤若和是这条抛物线上的两点，当时，则
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.已知，则______.
10.河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡AB的坡度为1：坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比，则AC的长是 .
第10题图 第11题图 第12题图 第13题图 第14题图
11.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割已知，则AC的长为 结果保留根号
12.如图，在中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF：：1，，则CE的长为 .
13.如图，反比例函数在第一象限内的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足，当点A运动时，点C始终在函数的图象上运动，，则 .
14.如图，在锐角中，以AC为边作等边，以AB为边作，其中，，D为BC的中点，分别连接PD和ED，则 .
三、解答题：本题共12小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题5分
计算：
16.本小题5分
解一元二次方程：
17.本小题5分
解分式方程：
18.本小题5分
如图，在四边形ABCD中，，，在AD上作一点P，使得要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
19.本小题6分
如图，在中，已知，，
求AB的长；
求的面积.
20.本小题6分
如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆成如图所示的样子，A为公共顶点，请在图中找出相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.
21.本小题6分
某学校要举办数学节，向全校学生征集数学节设计.如图，王博同学设计的矩形长20cm，宽16cm，为了使这个更美观，他要给添加一个边框，边框上、下、左、右的宽度相等，且添加边框后的整个图形的面积为，求边框的宽.
22.本小题7分
中国人在餐桌上的礼仪文化源远流长，曾因孔子的称赞推崇而成为历朝历代表现大国之貌、礼仪之邦、文明之所的重要方面.某天，张教授宴请自己的5位学生分别用A、B、C、D、E表示，如图，根据中国的餐桌礼仪文化，入座时张教授应坐在餐桌上座的位置，五位学生在其余五个座位分别用①、②、③、④、⑤表示随机入座.已知学生A第一个到，他从五个座位中随机选择一个座位入座，学生B第二个到，他在剩下的四个座位中随机选择一个座位入座.
学生A坐在②号座位的概率为______；
请用列表法或画树状图的方法，求学生A和学生B入座后相邻的概率.
23.本小题7分
某工厂生产一种零件，在生产过程中，发现零件的质量问题数量x与生产工艺参数m存在这样的关系：关于x的一元二次方程
若该方程有两个实数根，求m的取值范围；
在中，设、为该方程的两个根，且，求m的值.
24.本小题8分
学习小组为测量学校三号楼的高度，设计了以下测量方案：小志站在五号楼一层的C处小志身高，看到三号楼楼顶的A处，此时测得仰角为，随后上到三楼，在E处看到三号楼楼顶的A处仰角为，两视线之间的距离，、D、E在同一直线上且垂直于地面，请根据测量数据求三号楼的高度结果精确到参考数据：，，，，，
25.本小题8分
如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点直线经过点B、
求抛物线的解析式；
是直线BC上方的抛物线上一动点不与点B、C重合，过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线BC于点D，作于点设点P的横坐标为m，连接PB，线段PD把分成两个三角形，若这两个三角形的面积比为4：5，求出m的值.
26.本小题10分
【问题发现】如图1，在矩形ABCD中，，，点F，F分别是边AD，BC上的点，点G是边AB上一点，连接EF，DG，若，则______；
【类比探究】如图2，在四边形ABCD中，，点E，F分别在线段AB，AD上，且，连接AC，若，，，求的值.
【拓展应用】如图3，在矩形ABCD中，，，点E，F分别在边AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，点B的对应点G恰好落在CD边上，点A的对应是H，求的最小值.
参考答案
一、选择题
1.D
2.B
3.C
4.C
5.B
6. D
7.D
8.C
二、填空题
9.
0.米
11.
12.
13.
14.
三、解答题
15.解：原式
16.解：方程整理得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，
17.解：
，
检验：把代入，
是原方程的增根，原方程无解．
18.解：如图，作的平分线交AD于P，点P即为所求．

19.解：如图，延长AC过点B作，E为垂足，
在中，已知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
在中根据勾股定理得，，
，
的面积是
20.解：图中相似三角形有∽，∽，∽
证明∽的过程为：
和都为等腰直角三角形，
，
，，
∽
21.解：设边框的宽为x cm，则添加边框后的整个图形的长为，宽为，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去
答：边框的宽为
22.解：根据题意可得：学生A坐在②号座位的概率，
故答案为：；
列表如图：
学生B 学生A ① ② ③ ④ ⑤
① 相邻 不相邻 不相邻 不相邻
② 相邻 相邻 不相邻 不相邻
③ 不相邻 相邻 相邻 不相邻
④ 不相邻 不相邻 相邻 相邻
⑤ 不相邻 不相邻 不相邻 相邻
根据表格可得，共有20种情况，其中学生A和学生B入座后相邻的情况有8种情况，
故学生A和学生B入座后相邻的概率
23.解：关于x的一元二次方程有两个实数根，
，
解得：，
的取值范围为；
，是关于x的一元二次方程的两个根，
，，
，
，
整理得：，
解得：，，
又，
24.解：过A作于H，
则，，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
答：三号楼的高度AB约为
25.解：直线经过点B、C，
，，
将点，代入得，
，
解得，
抛物线的解析式为；
过点E作于点M，
点P的横坐标为m，
点，点，点，
，，
，
，则，
为等腰直角三角形，
，
，，
，
①当时，；
②当时，；
综上所述，或
26.解：如图，作，交AD于X，
四边形ABCD是矩形，
，，，
四边形EFCX是平行四边形，
，
，
，
，
∽，
，
；
故答案为：；
如图3，在中，，，
，
如图，作，交AD的延长线于点V，作直线CV于点W，
，
，
四边形ABWV是矩形，
，
，
，
，
，
又，
由知；
如图，连接BG，AG，作点B关于CD的对称点R，连接RG，AR，
由对称性可得，，，，
由得，，
，
，
当A、G、R共线时，有最小值，最小值为AR的长，
的最小值为AR的长，
的最小值为AR的长，
，，，
，
的最小值为，
的最小值

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