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2025-2026学年浙江省杭州市西湖区西溪、吉鸿中学联考九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
2.下列事件中属于必然事件的是( )
A. 随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数
B. 在装有2个黄球和3个白球的盒子中摸出一个球是红球
C. 抛一枚质地均匀的硬币，反面朝上
D. 七年级370名学生中至少有2名学生生日是同一天
3.如图，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，已知直线，分别交直线m，n于点A，B，C和点D，E，F，若，，则( )
A. 6
B. 9
C. 12
D. 15
5.如图，AB是的直径，CD是的弦，，垂足为若，，则BE的长为( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
6.如图，已知线段，点P是它的黄金分割点，，则BP的长度为( )
A. B. C. D.
7.二次函数的部分图象如图所示，则方程的根是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
8.如图，在等腰直角三角形ABC中，，，分别以点B，点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB，BC，AC于点D，E，F，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
9.已知二次函数的图象过，两点，下列选项正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.如图，已知，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC、OC交于点N、M，设，，则( )
A. 若，则所对应的圆心角为
B. 若，则所对应的圆心角为
C. 若，则所对应的圆心角为
D. 若，则所对应的圆心角为
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知，则______.
12.某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由此可估计这种树成活率为 精确到
13.已知二次函数的图象经过点、，那么该二次函数图象的对称轴为直线 .
14.如图，点O是正五边形ABCDE的中心，连接OC、OE、CE，则的度数为
15.如图，将绕B点顺时针方向旋转一个角到，点A的对应点D恰好落在AC上，且若，则的度数 .
16.已知抛物线是常数，经过点和，当时，与其对应的函数值有下列结论：①；②关于x的方程有两个不等的实数根；③；④若方程的两根为，，则其中正确的有 .
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题6分
已知线段，，
求线段a与线段b的比.
如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长.
是a和c的比例中项吗？为什么？
18.本小题6分
如图，已知
用直尺和圆规作出的外接圆O；
若，，求的长度.
19.本小题6分
二次函数图象如图所示，抛物线顶点为，与y轴、x轴分别交于点B和点
求抛物线的函数表达式.
根据图象直接写出当时，x的取值范围.
20.本小题8分
如图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成4份，分别标有0，，，四个数字，乙转盘被等分成3份，分别标有1，2，3三个数字.自由转动两个转盘，转盘停止后，计算两个转盘指针所指区域内的数字之和.如果指针恰好指在分界线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止.
请你用画树状图或列表的方法，求出这两数之和为0的概率.
小明和小亮想用以上两个转盘做游戏，若两数之和为，则小明赢；若两数之和为，则小亮赢.你认为游戏公平吗？请说明理由.
21.本小题10分
如图，在中，弦AB与CD相交于点E，，连结AD，
求证：
22.本小题12分
在一次高尔夫球的练习中，小成在O处击球，其飞行路线满足抛物线，其中是球的飞行高度，是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有
请写出抛物线的顶点坐标.
请求出球洞离击球点的距离.
若小成再一次从O处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式.
23.本小题12分
已知二次函数的解析式为
求证：该二次函数图象与x轴一定有2个交点；
若，点，都在该二次函数的图象上，且，求n的取值范围；
当时，函数最大值与最小值的差为8，求m的值.
24.本小题12分
如图1，点A，B，C都在上，且AD平分，交于点
求证：是等腰三角形.
如图2，BC是的直径，AD与BC相交于点
①若，，求的半径.
②若于点H，求证：
参考答案
一、选择题
1.A
2.D
3.D
4.B
5.A
6.C
7.B
8.D
9.C
10.D
二、填空题
11.
12.
13.
14.18
15.
16.②③④
三、解答题
17.解：由题知，
因为，，
则3：：2，
所以线段a与线段b的比为1：2；
因为线段a、b、c、d成比例，
所以a：：d，
则，
所以，
则线段d的长为24；
是的，理由如下：
因为，
即，
所以b是a和c的比例中项．
18.解：如图，分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，OA的长为半径画圆，
则圆O即为所求．
连接OB，OC，OA，设OA交BC于点D，
，
，，
垂直平分BC，
，
为等边三角形，
，
的长度为
19.解：设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
抛物线解析式为；
解方程，
解得，，
抛物线与x轴的交点坐标为，，
当时，x的取值范围为
20.解：所有可能出现结果如下：
列表得：
0
1 1 0
2 2 1 0
3 3 2 1 0
总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，而两数之和为0的结果有3种：
，
两数之和为
由中树状图或表格可知：
两数之和为，即小明赢，
两数之和为，即小亮赢，
小明赢小亮赢
游戏不公平．10分
21.证明：，
，
，
，
；
证明：在和中，
，
≌，
22.解：
抛物线的顶点为；
令，得：
解得：，，
球飞行的最大水平距离是8m，
球洞离击球点的距离为；
要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m
抛物线的对称轴为直线，顶点为
设此时对应的抛物线解析式为
又点在此抛物线上，
，
，
即其解析式为
23.证明：抛物线中，令，则抛物线转化成二次方程，
，，，
，
该二次函数图象与x轴一定有2个交点；
，
，
令，则，即，，
抛物线图象与x轴的交点为和，
点，都在该二次函数的图象上，且，
①，即，②，即，
综上所述，或，
，
抛物线的对称轴为直线，
①若，即，
则当时，，当时，，
，
舍去，舍去，
②若，则当时，，当时，，
，不符合题意，舍去；
③若时，则当时，，当时，，
，
，舍去，
综上所述，
24.证明：平分，
，
，，
，
，
是等腰三角形．
①解：连接OD，如图，
设的半径为r，则，
，
平分，
，
，
，
是的直径，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
不合题意，舍去或
的半径为8；
②证明：过点B作于点E，如图，
，
，
，
是的直径，
，
，，
，
四边形AHEB为矩形，
是的直径，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，

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