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9.1 正弦定理与余弦定理
9.1.1 正弦定理
新授课
1. 通过探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理；
2. 能用正弦定理解三角形.
知识点 1：正弦定理
问题 1：如图所示，已知△ABC中，a = 5，b = 3，C = ，如何求出这个三角形的面积？
如图，在 △ABC 中，过点A作 BC 边上的高 AD，
在 Rt△ADC 中，由正弦的定义可知 AD = bsin C，
因此所求三角形的面积为：
S = BC·AD = absin C = ×5×3×sin = .
思考：若当上述 C 为钝角时，该如何求 △ABC 的面积吗？
D
A
B
C
b
a
当 C 为钝角时：
如图，在 △ABC 中，BC 边上的高为 AD，
则 AD = bsin∠ACD = bsin(π – C) = bsin C，
因此仍有 S = absin C；
D
A
B
C
b
a
当 C 为直角时：由 sin 90°= 1 可知上述面积公式仍成立；
正弦定理
一般地，若记 △ABC 的面积为 S，则
归纳总结
由此可知 = = = ，又因为sin A > 0，sin B > 0，sin C > 0，由此可得
S = absin C = acsin B = bcsin A.
即：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等.
思考：观察 的形式，说说那么这个比值有什么特殊含义？
其中 c 是 △ABC 与 Rt△ABC 的外接圆的直径.
c
O
A
B
C
a
b
B'
(R为△ABC外接圆的半径).
所以对任意△ABC，均有
无论怎么移动 B'，都有
所以在△ABC'中
作出如图所示图像，由图可知：
正弦定理的变形
归纳总结
（1）a = 2Rsin A，b = 2Rsin B，c = 2Rsin C；
（2），， ；
（3）a : b = sin A : sin B，a : c = sin A : sin C，b : c = sin B : sin C.
知识点 2：解三角形
三角形的 3 个角与 3 条边都称为三角形的元素，已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形.
思考：直接应用正弦定理至少需要已知三角形中的几个元素才能解三角形？
（1）已知两角一边；
（2）已知两边与其中一边的对角.
例 1 ：已知 △ABC 中，B = 75°，C = 60°，a = 10，求 c.
典例剖析
解：由已知可得 A = 180°– B – C = 180°– 75°– 60°= 45°.
由正弦定理可知 ，所以 c = = = 5.
例 2 ：已知△ABC中，a = 2，b = 2，A = 30°，求解这个三角形.
解：因为 ，所以 sin B = = = ；
由于 0°< B < 180°，所以 B = 30°或 B = 120°；
当 B = 60°时，有 C = 180°– A – B = 180°– 30°– 60°= 90°，
即△ABC是直角三角形，且c为斜边，则c = = = 4；
当 B = 120°时，有 C = 180°– A – B = 180°– 30°– 120°= 30°，
即△ABC是等腰三角形，从而由等角对等边可知 c = a = 2.
例 3 ：已知△ABC中，b = 3，c = 6，B = 120°，求 A，C 及三角形的面积.
解：由 得：sin C = = = ；
由于 0°< C < 180°，所以 C = 45°或 B = 135°；
当 C = 45°时，A = 180°– B – C = 180°– 120°– 45°= 15°，
而 sin 15°= sin (60°– 45°) = ，
所以三角形的面积为 S = bcsin A = .
当 C = 135°时，A = 180°– B – C = – 75°，不合题意，应舍去.
例 4：判断满足条件 A = 30°，a = 1，c = 4 的 △ABC 是否存在，并说明理由.
解：假设满足条件的三角形存在，则由 可知
sin C = = = 2.
又因为 sin C ≤ 1，所以这是不可能的，因此不存在这样的三角形.
例 5：在△ABC中，已知 sin2A + sin2B = sin2C，求证：△ABC是直角三角形.
解：设 = k，则 k ≠ 0，且 sin A = ，sin B = ，sin C = ；
又因为 sin2A + sin2B = sin2C，所以 + = ，即 a2 + b2 = c2；
因此由勾股定理的逆定理可知 △ABC 是直角三角形.
例 6：如图所示，在 △ABC 中，已知 ∠BAC 的角平分线 AD 与边 BC 相交于点 D，求证： .
证明：如图，设∠ADB = α，∠BAD = β，
则由题意可知∠ADC = π – α，∠CAD = β.
在 △ABD 和 △ADC 中，应用正弦定理，
可得 ， = ，
两式相除得 .
D
A
B
C
β
β
α
π–α
正弦定理
正弦定理的应用
正弦定理的定义
正弦定理的变形
框图结构

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