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第十一章 立体几何初步
11.1　空间几何体
11.1.2　构成空间几何体的基本元素
1.通过对长方体的认识,了解构成几何体的基本元素和它们之间的关系.
2.掌握点、线、面之间的位置关系.
3.理解异面直线的定义,会画两条异面直线.
1.在我们周围存在着各种各样的物体,它们都占据着空间的一部分,如果我们只考虑一个物体占空间部分的形状和大小,而不考虑其他因素,则这个空间部分叫做一个几何体,那么构成几何体的基本元素有哪些 这些元素之间有怎样的关系
2.空间几何体在生活中很常见,你知道这些几何体是如何画出来的吗
继续探究:(1)直线平行移动一定形成平面吗
提示:不一定,还可能形成曲面.
(2)观察如图所示的长方体ABCD-A′B′C′D′,回答下面问题.
①直线D′C与平面DCC′D′有多少个公共点
提示:直线D′C与平面DCC′D′有无数个公共点.
②直线D′C与平面BCC′B′有多少个公共点
提示:直线D′C与平面BCC′B′有一个公共点.
③直线D′C与平面ABB′A′有多少个公共点
提示:直线D′C与平面ABB′A′没有公共点.
【概念生成】
1.构成空间几何体的基本元素
___、___、___是构成空间几何体的基本元素.
2.点、直线、平面位置关系的符号表示
一般用集合符号“∈”“∩”“ ”等描述点、直线、平面之间的位置关系.
若A是点,l,m是直线,α,β是平面,则有:
点
线
面
图形语言 文字语言 符号语言
点A在直线l上 ____
点A在直线l外 ___
点A在平面α内 ______
点A在平面α外 _____
A∈l
A l
A∈α
A α
图形语言 文字语言 符号语言
直线l在平面α内 _____
直线l在平面α外 ____
直线l,m相交于点 ______
l α
l α
l∩m=A
图形语言 文字语言 符号语言
直线l与平面α相交于点A _______
平面α,β相交于直线l ________
l∩α=A
α∩β=l
3.空间中直线与直线的位置关系
(1)异面直线:空间中的两条直线可以既不平行,也不_____,此时称这两条直线
异面.
(2)空间中直线与直线有_____、_____与_____三种位置关系.
相交
相交
平行
异面
4.空间中直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在平面α内 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点个数 _______ ____ ____
符号语言描述 ______ ________ ______
图形语言描述
无数个
1个
0个
a α
a∩α=A
a∥α
直线与平面相交或平行的情况统称为_____________.
5.空间中平面与平面的位置关系
位置关系 图形语言描述 符号语言描述 公共直线
两平面平行 _______ 无
两平面相交 _________ _______________
直线在平面外
α∥β
α∩β=a
有一条公共直线
6.直线与平面垂直的定义
一般地,如果直线l与平面α相交于一点A,且对平面α内_________过点A的直
线m,都有l⊥m,则称直线l与平面α垂直(或l是平面α的一条垂线,α是直线l的
一个垂面),记作l⊥α,其中点A称为垂足.
7.空间中的距离
(1)点到平面的距离
由长方体可以看出,给定空间中一个平面α及一个点A,过A可以作而且只可以
作平面α的一条_____.如果记垂足为B,则称B为A在平面α内的射影(也称为投
影),线段___为平面α的垂线段,AB的长为点A到这个平面的距离.
任意一条
垂线
AB
(2)直线到平面的距离
当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离.
(3)两平行平面间的距离
当平面与平面_____时,一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两个
平行平面之间的距离.
平行
探究点一　几何体的基本元素
【典例1】试指出下图中各几何体的基本元素.
【思维导引】联想实物从点、线、面三个角度进行观察.
【解析】(1)中几何体有6个顶点,12条棱和8个面.
(2)中几何体有12个顶点,18条棱和8个面.
(3)中几何体有6个顶点,10条棱和6个面.
(4)中几何体有2条曲线,3个面(2个平面和1个曲面).
【类题通法】
构成空间几何体的基本元素的特性
点是最基本的元素,只有位置,没有大小;直线没有粗细,向两方无限延伸;平面没有厚度,向周围无限延展.要熟记这三种基本元素的特点.在现实生活中要多观察几何体,以便加深对构成空间几何体的基本元素的认识.
探究点二　三种语言的转化
【典例2】(1)用符号语言表示下面的语句.
平面ABD与平面BDC交于BD,平面ABC与平面ADC交于AC;
(2)将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述α∩β=l,A∈l,AB α,AC β.
【思维导引】根据点、线、面位置关系的符号表示判断.
【解析】(1)用符号语言表示:平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC.
(2)用文字语言叙述为:点A在平面α与平面β的交线l上,直线AB,AC分别在平面α、β内.
【类题通法】
三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.
(3)转化时要注意符号的使用,“∈”或“ ”反映的是点与线,点与面的关系,而“ ”或“ ”反映的是直线与平面的关系.
探究点三　直线与平面、平面与平面的位置关系
【典例3】如图所示,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,如果把它的12条棱延伸为直线,6个面延展为平面,那么在这12条直线与6个平面中:
(1)与直线B′C′平行的平面有哪几个
(2)与平面BC′平行的平面有哪几个
(3)与平面BC′垂直的平面有哪几个
(4)与棱AB异面的棱有哪些
(5)与平面A′B′BA平行的平面有哪些
【思维导引】细心观察图形,找出与直线B′C′和平面BC′平行、垂直的平面,与棱AB异面的棱,与平面A′B′BA平行的平面.
【解析】(1)与直线B′C′平行的平面有:平面AD′,平面AC.
(2)与平面BC′平行的平面有:平面AD′.
(3)与平面BC′垂直的平面有:平面AB′,平面A′C′,平面CD′,平面AC.
(4)如题图,长方体ABCD-A′B′C′D′中,与AB异面的棱有A′D′,B′C′,CC′,DD′四条.
(5)与平面A′B′BA平行的平面有CDD′C′一个.
【类题通法】
判断线面位置关系的方法
1.解决此类问题的关键在于识图,根据图形识别直线与平面平行、垂直,平面与平面平行、垂直.
2.长方体和正方体是立体几何中的重要几何体,对其认识有助于进一步认识立体几何中的点、线、面的基本关系.
1.下列关于长方体的叙述不正确的是 (　　)
A.将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体
B.长方体中相对的面都相互平行
C.长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离
D.两底面之间的棱互相平行且等长
【解析】选A.将一个矩形沿不与面垂直的方向平移时不能形成长方体.
2.如图所示,下列符号表示错误的是 (　　)
A.l∈α B.P l C.l α D.P∈α
【解析】选A.观察图知:P l,P∈α,l α.A错.
3.看图填空:
(1)平面AB1∩平面A1C1=________;
(2)平面A1C1CA∩平面AC=________.
答案: (1)A1B1　(2)AC

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