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第十一章 立体几何初步
11.1　空间几何体
11.1.3 多面体与棱柱
1.了解多面体的概念及特征.
2.理解棱柱概念及结构特征.
1.观察下列空间几何体:
以上几何体有什么共同特征
提示:这些物体都是由若干个平面多边形围成的,这些物体统称为多面体.
2.观察下面的多面体:
它们有什么共同特点
提示:它们的共同特点是:(1)上、下两个底面是平行的且全等;(2)侧棱长都相等,侧面是平行四边形.
【概念生成】
1.多面体的有关概念:
(1)定义:
一般地,由若干个___________所围成的封闭几何体称为多面体.
(2)各部分名称:
①面:围成多面体的各个多边形;
②棱:相邻两个面的_______;
③顶点:棱与棱的公共点.
平面多边形
公共边
④面对角线:一个多面体中连接_________________的线段,如果不是多面体的
棱,就称其为多面体的面对角线.
⑤体对角线:连接_______________________的线段称为多面体的体对角线.
⑥截面:一个几何体和一平面相交所得的_________(包含它的内部),称为这个
几何体的一个截面.
同一面上两个顶点
不在同一面上的两个顶点
平面图形
2.棱柱
(1)定义:有两个面互相平行,且该多面体的顶点都在这两个面上,其余各面都是平行四边形,这样的多面体称为棱柱.
(2)有关概念:
①底面:_________________;
②侧面:_________;
③侧棱:_________________;
④顶点:_____________________.
⑤高:过棱柱一个底面上的任意一个顶点,作另一个底面的垂线所得到的线段
(或它的长度)称为棱柱的高.
两个互相平行的面
其他各面
两个侧面的公共边
侧面与底面的公共顶点
(3)棱柱的表示法.
用底面上的顶点来表示.如:如图所示的棱柱可以表示为棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1,也可表示为棱柱AD1等.
(4)棱柱的分类.
按底面的_____分为:三棱柱、四棱柱、五棱柱……
棱柱又分为斜棱柱和直棱柱.
①斜棱柱:侧棱_______于底面的棱柱.
②直棱柱:侧棱_____于底面的棱柱.
③正棱柱:底面是正多边形的_______.
形状
不垂直
垂直
直棱柱
④平行六面体:底面是___________的棱柱,即平行六面体的六个面都是平行四
边形.
⑤长方体:底面是矩形的_____________.
⑥正方体:棱长都相等的_______.
平行四边形
直平行六面体
长方体
探究点一　对多面体的识别和判断
【典例1】如图,长方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗 如果是,是几棱柱 为什么
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分,各部分形成的
几何体还是棱柱吗 如果是,是几棱柱,并用符号表示.
【思维导引】观察图形→紧扣概念→得出结论→回答问题
【解析】(1)长方体ABCD-A1B1C1D1是棱柱,且是四棱柱.
因为平面ABCD与平面A1B1C1D1平行,且其余各面都是平行四边形,且顶点都在这两个面上.
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分,其中一部分有两个平行的平面BB1M与平面CC1N,其余各面都是四边形,并且顶点都在这两个面上,符合棱柱的定义,所以是三棱柱,可用符号表示为三棱柱BB1M-CC1N;另一部分有两个平行的平面ABMA1与平面DCND1,其余各面都是四边形,并且顶点都在这两个面上,符合棱柱的定义,所以是四棱柱,可用符号表示为四棱柱ABMA1-DCND1.
正确判断几何体类型的方法
要正确判断几何体的类型,就要熟练掌握各类简单几何体的结构特征.对于有些四棱柱,互相平行的平面不只是两个,所以对于底面来说并不固定.棱柱的概念中两个面互相平行,指的是两个底面互相平行.但由于棱柱的放置方式不同,两个底面的位置就不一样,但无论如何放置,都应该满足棱柱的定义.
提醒:判断棱柱的关键是看该几何体是否满足棱柱的概念,特别是看其是否存在两个互相平行的面.
探究点二　几种常见四棱柱的关系
【典例2】下列说法正确的是 (　　)
A.棱柱的面中,至少有两个互相平行
B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C.棱柱中各条棱长都相等
D.棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形
【思维导引】依据棱柱的相关概念判断.
【解析】选A.由棱柱的定义知,棱柱的底面平行,故A正确;正方体相对的两个面平行,但其也可以是侧面,故B错误;棱柱的侧棱相等,但是各条棱不一定都相等,故C错误;棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面可以是平行四边形,也可以是其他多边形,故D错误.
几种常见四棱柱的关系
探究点三　棱柱中的有关计算
【典例3】在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4.M为AA1的中点,P是BC上一点,
且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为 ,设这条最短路线与CC1的
交点为N.求点P的位置.
【思维导引】把三棱柱的侧面展开后放在平面上,通过列方程来求出点P到点C
的距离,即确定了点P的位置.
【解析】把该三棱柱的侧面展开后如图所示.
设CP=x,则AP=3+x.
根据已知可得方程22+(3+x)2=29.解得x=2(负值舍去).
则点P为BC的三等分点,且靠近点B.
立体图形的展开问题
解决空间几何体表面上两点间的最短路线问题,一般都是将空间几何体表面展开,转化为求平面内两点间的线段长,这体现了数学中的转化思想.
1.在棱柱中,下列说法正确的是 (　　)
A.只有两个面平行
B.所有的棱都相等
C.所有的面都是平行四边形
D.两底面平行,且各侧棱也平行
【解析】选D.长方体也是棱柱,以长方体为例,可知A,B不正确,棱柱的两底面可以是三角形,五边形等,故C不正确.
2.下列三种说法中,正确的个数为 (　　)
①侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱;
②底面是正多边形的棱柱是正棱柱;
③棱柱的侧面都是平行四边形.
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.由直棱柱的定义,知①正确;由正棱柱的定义,知底面是正多边形的直棱柱是正棱柱,故②错误;由棱柱的定义知其侧面都是平行四边形,故③正确.
3.六面体的体对角线的条数为________.
【解析】以正方体ABCD-A1B1C1D1为例,如图,其中体对角线为A1C,D1B,AC1,B1D,共4条.
答案: 4
4.一个棱柱至少有________个面;面数最少的棱柱有________个顶点,有________条棱.
【解析】面数最少的棱柱是三棱柱,有5个面,6个顶点,9条棱.
答案: 5　6　9

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