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第十一章 立体几何初步
11.1　空间几何体
11.1.4　棱锥与棱台
1.了解棱锥、棱台的定义和结构特征.
2.掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的性质.
观察下列几何体，有什么共同特征
一、棱锥
1.棱锥的概念
如果一个多面体有一个面是多边形，且其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥.
2.有关概念
棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的侧面.
多边形叫做棱锥的底面.
相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.
各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.
顶点到底面的距离叫做棱锥的高.
棱锥的底面
棱锥的侧面
棱锥的顶点
棱锥的侧棱
S
A
B
C
D
E
O
棱锥的高
3.表示方法
(1)用表示顶点和底面各顶点的字母表示，如棱锥S-ABCD.
(2)用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母来表示，如棱锥S-AC.
S
A
B
C
D
4.分类
棱锥按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……
三棱锥
四棱锥
五棱锥
（四面体）
5.正棱锥
如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面，这样的棱锥为正棱锥.
O
S
A
B
C
D
E
M
正棱锥的性质
(1)侧棱：
(2)侧面：
(3)斜高：
每条侧棱的长都相等.
都是全等的等腰三角形.
都相等.
斜高
观察右图，如何将棱锥变换成下方的几何体
二、棱台
1.棱台的概念
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分称为棱台.
2.有关概念
原棱锥的底面与截面分别称为棱台的
下底面与上底面.
其余各面称为棱台的侧面.
相邻两侧面的公共边称为棱台的侧棱.
过棱台一个底面上的任意一个顶点，
作另一个底面的垂线所得到的线段
称为棱台的高.
上底面
侧面
侧棱
高
顶点
下底面
例1. 如图是底面边长为1且侧棱长为 的正六棱锥.
（1）写出直线PA与直线CD，直线PA与面ABCDEF之间的关系；
（2）求棱锥的高和斜高；
（3）求棱锥的侧面积.
解：（1）直线PA与直线CD异面，
直线PA∩面ABCDEF=A；
A
B
C
D
E
F
P
设BC的中点为M，由△PBC为等腰三角形可知，PM⊥MC，
因此PM为斜高，从而
（3）因为△PBC的面积为：
在Rt△POC中，可知：
所以棱锥的侧面积为：
（2）作出棱锥的高PO，因为是正六棱锥，所以O是底面的中心，
连接OC，可知OC=1，
A
B
C
D
E
F
P
O
M
例2. 如图所示是一个正三棱台，而且下底面边长和侧棱长都为1，O与O'分别是下底面和上底面的中心
（1）求棱台的斜高；
（2）求棱台的高.
解：（1）因为是正三棱台，所以侧面都是全等的等腰梯形.
如图所示，在梯形ACC'A'中，分别过A'，C'作AC的垂线A'E与C'F，
则由AC=2，AA'=A'C'=C'C=1可知
从而 即斜高为
O'
O
假设正三棱台A'B'C'-ABC是由正棱锥V-ABC截去正棱锥V-A'B'C'得到的，则由已知可得VO是棱锥V-ABC的高，VO'是棱锥V-A'B'C的高，O'O是所求棱锥的高.
因此△VBO是一个直角三角形，画出这个三角形，
如图所示，则B'O是△VBO的中位线.
∵棱台的棱长为1，∴BB'=1，VB=2，
（2）根据O与O'分别为下底面和上底面的中心，以及下底面边长和上底面的边长分别为2，1，可以算出：
即棱台的高为
O
O'
B'
B
V
1.若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是( )
A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥
D
2.下面说法中，正确的是(　　)
A.上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台
B.棱台的所有侧面都是梯形
C.棱台的侧棱长必相等
D.棱台的上下底面可能不是相似图形
B
3.过正方体三个顶点的截面截得一个正三棱锥，若正方体棱长为a，
则截得的正三棱锥的高为 .
4.已知正四棱锥V－ABCD，底面面积为16，一条侧棱长为 ，计算它的高和斜高.
解：设VO为正四棱锥V－ABCD的高，作OM⊥BC于点M，
则M为BC中点，连接OM、OB，则VO⊥OM，VO⊥OB.
因为底面正方形ABCD的面积是16，所以BC=4，MB=OM=2，
在Rt△VOB中， 在Rt△VOM中，
即正四棱锥的高为6，斜高为
1.棱锥与棱台的定义
2.棱柱、棱锥与棱台关系图

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