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第十一章 立体几何初步
11.2 平面的基本事实与推论
1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法.（数学抽象）
2.掌握平面的基本事实及推论，能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系.（逻辑推理）
3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，并能解决空间线面的位置关系问题.（直观想象）
1.直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内 有两个公共点呢
2.观察图中的三脚架,你能得出什么结论
继续探究:
(1)三点确定一个平面吗
提示:当三点在一条直线上时,不能确定一个平面,当三点不在同一条直线上时,确定一个平面.
(2)直线和平面都是由点组成的,联系集合的观点,点和直线、平面的位置关系,如何用符号来表示 直线和平面呢
提示:点和直线、平面的位置关系可用数学符号“∈”或“ ”表示,直线和平面的位置关系,可用数学符号 “ ”或“ ”表示.
【概念生成】
平面的基本事实及推论
基本 事实 内容 图形 符号
基本 事实1 经过_______________ 的3个点,有且只有 一个平面 A,B,C三点不共线
存在唯一的平
面α使A,B,C∈α
不在一条直线上
基本 事实2 如果一条直线上的 _______在一个平面 内,那么这条直线 在这个平面内 A∈l,B∈l,且
____________
l α
基本 事实3 如果两个不重合的 平面有一个公共点, 那么它们有且只有一 条_________________ ____________
α∩β=l,且
P∈l
两个点
过该点的公共直线
A∈α,B∈α
P∈α,P∈β
推论1　经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面(图①).
推论2　经过两条相交直线,有且只有一个平面(图②).
推论3　经过两条平行直线,有且只有一个平面(图③).
探究点一　文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
【典例1】根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:
(1)A∈α,B α;
(2)l α,m α,m∩α=A,A l;
(3)P∈l,P α,Q∈l,Q∈α.
【思维导引】解答本题要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“∈”“ ”“ ”“ ”“∩”的意义,在此基础上,由符号表示已知语句,写出相应的点、线、面的位置关系,画出图形.
【解析】(1)点A在平面α内,点B不在平面α内;
(2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上;
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.
图形分别如图(1),(2),(3)所示.
文字语言、图形语言、符号语言的应用
1.用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
2.要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“ ”表示,直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”表示.
3.由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.
探究点二　点、线共面问题
【典例2】已知四条直线两两相交,且不共点,求证:这四条直线在同一平面内.
【思维导引】四条直线两两相交且不共点,可能有两种情况:一是有三条直线共点;二是任意三条直线都不共点.
【解析】已知:a,b,c,d四条直线两两相交,且不共点,求证:a,b,c,d四线共面.
证明:(1)若a,b,c三线共点于O,如图所示,因为O d,
所以经过d与点O有且只有一个平面α.
因为A,B,C分别是d与a,b,c的交点,
所以A,B,C三点在平面α内.由基本事实2知a,b,c都在平面α内,故a,b,c,d共面;
(2)若a,b,c,d无三线共点,如图所示,
因为a∩b=A,所以经过a,b有且仅有一个平面α,所以B,C∈α.由基本事实2知c α.
同理,d α,从而有a,b,c,d共面.
综上所述,四条直线两两相交,且不共点,这四条直线在同一平面内.
证明多线共面的两种方法
1.方法一:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线也在这个平面内.
2.方法二:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另一个平面内,再证明两个平面重合.
探究点三　交线问题
【典例3】如图,G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延长线上一点,E,F是棱AB,BC的中点.试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线:
(1)过点G及AC;
(2)过三点E,F,D1.
【思维导引】找两个平面的两个公共点,则过这两个公共点的直线为两平面的交线.
【解析】(1)画法:连接GA交A1D1于点M;连接GC交C1D1于点N;连接MN,AC,则MA,CN,MN,AC为所求平面与正方体表面的交线.如图①.
(2)画法:连接EF交DC的延长线于点P,交DA的延长线于点Q;连接D1P交CC1于点M,连接D1Q交AA1于点N;连接MF,NE,则D1M,MF,FE,EN,ND1为所求平面与正方体表面的交线.如图②.
画截面图形的方法
画截面截得正方体的截面图形,关键是利用好三个基本事实,找到两个平面上的公共点是解决此类问题的突破口.
1.若点A在平面α内,直线a在平面α内,点A不在直线a上,
用符号语言可表示为 (　　)
A.A∈α,a α,A a
B.A∈α,a∈α,A a
C.A α,a α,A a
D.A∈α,a α,A a
【解析】选A.点与线、面的关系用∈、 ;线与面的关系用 、 .B选项中,“a∈α”错误;C选项中“A α”错误;D选项中“A a”错误.
2.若两个不重合的平面有公共点,则公共点有 (　　)
A.1个
B.2个
C.1个或无数个
D.无数个且在同一条直线上
【解析】选D.利用基本事实3可知如果两个平面有一个公共点,则它们就一定有一条交线,而线是由无数个点构成的,所以这两个平面有无数个在同一直线上的交点.
3.如果直线a 平面α,直线b 平面α,M∈a,N∈b,且M∈l,N∈l,
那么 (　　)
A.l α B.l α
C.l∩α=M D.l∩α=N
【解析】选A.因为M∈a,N∈b,a,b α,所以M,N∈α,根据基本事实2可知l α.
4.由4条平行直线最多可以确定 (　　)
A.2个平面 B.4个平面
C.5个平面 D.6个平面
【解析】选D.本题从确定平面的条件来考虑即可,要使四条平行直线确定的平面最多,只有当这四条直线中任两条所确定的平面互不相同时即为最多,从而得到结果.由确定平面的条件知,由4条平行直线最多可以确定6个平面.

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