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第十一章 立体几何初步
11.3 空间中的平行关系
11.3.2　直线与平面平行
1.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题.（逻辑推理）
2.利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题.（直观想象）
直线与平面有什么样的位置关系？
直线在平面内
直线与平面相交
直线与平面平行（没有公共点）
m
思考：怎样才能证明直线与平面平行
问题1：（1）如果将乒乓球台面抽象成平面α，将乒乓球网的上边缘抽象成直线l，则直线l与平面α具有怎样的位置关系？
（2）如果将乒乓球网的下边缘抽象成直线m,并把m看成平面α内的直线，则直线l与直线m具有怎样的位置关系？
m
尝试与发现
假设直线m在平面 α内，即m α，将直线m平移出平面α（记平移后的直线为l ）
（1）判断直线l与m的位置关系
（2）判断直线l与平面α的位置关系，并说明理由.
这个结论是否正确？
证明：
猜想：l与 α没有公共点，即
直线与平面平行的判定定理：
如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，
那么这条直线与这个平面平行．
符号语言
文字语言
图形语言
辨析：判断以下命题的真假
① 如果一条直线不在平面内，则这条直线就与平面平行
假
② 如果直线和平面内的一条直线平行，则这条直线就与平面平行
假
定理三个条件缺一不可
在日常生活中，哪些实例给我们以直线与平面平行的印象呢？
分析：解决此题的关键是：能在平面BCD内找(作)一条与直线EF平行的直线.
探究点一 判定定理的应用
B
C
D
E
F
A
例1.如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB，AD的中点.
求证：EF∥平面BCD.
证明：连接BD.
∵在△ABD中，点E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF∥BD.
∵EF 平面BCD，BD 平面BCD.
∴EF∥平面BCD.
提升总结:
(1)三角形中位线
(2)平行四边形对边平行
(3)平行公理
(4)平行线分线段成比例
(5)相似三角形对应边成比例
线//线
线//面
尝试与发现
异面或平行
m
l


证明：
猜想：若l∥α，l β，α β=m，则l∥m.
直线与平面平行的性质定理:
文字语言
图形语言
符号语言
m
l


如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的交线平行
辨析：判断以下命题的真假.
（3）如果两条平行线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与这个平面平行.
假
假
真
（1）直线l与平面α平行，则l与平面α内的任一条直线都平行.
（2）直线l与平面α平行，则l与平面α内的任一条直线都没有公共点.
探究点二 性质定理的应用
证明：
解题关键：寻找平面与平面的交线
例2.如图，已知三棱锥A-BCD中，E、F分别是边AB，AD的中点.过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG，求证：EF∥GH.
∵在△ABD中，点E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF∥BD.
∵EF 平面BCD，BD 平面BCD.
∴EF∥平面BCD.
∵EF 面EFHG，面EFHG 面BCD=GH，
∴EF∥GH.
1.若M,N分别是△ABC边AB,AC的中点,MN与过直线BC的平面β的位置关系是(　　)
A.MN∥β
B.MN与β相交或MN β
C.MN∥β或MN β
D.MN∥β或MN与β相交或MN β
【解析】选C.MN是△ABC的中位线,
所以MN∥BC.因为平面β过直线BC,
若平面β过直线MN,则MN β.
若平面β不过直线MN,由线面平行的判定定理可知MN∥β.
2.如图,已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD对角线的交点,
求证:C1O∥平面AB1D1.
【证明】连接A1C1交B1D1于点O1,连接AO1,
因为O,O1分别为正方体面对角线AC,A1C1的中点,
所以AO平行且等于C1O1,
所以四边形AOC1O1是平行四边形,所以C1O∥AO1.
又因为C1O 平面AB1D1,AO1 平面AB1D1,
所以C1O∥平面AB1D1.
3.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,N是PB的中点,过A,N,D三点的平面交PC于点M,求证:AD∥MN.
【证明】因为四边形ABCD为平行四边形,所以AD∥BC,
又BC 平面PBC,AD 平面PBC,
所以AD∥平面PBC,
又AD 平面ADMN,平面PBC∩平面ADMN=MN,
所以AD∥MN.
线线平行
线面平行
直线与平面平行的判定定理
直线与平面平行的性质定理

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