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第十一章 立体几何初步
11.3 空间中的平行关系
11.3.3　平面与平面平行
1.掌握空间两个平面的位置关系，并会判断.（直观想象）
2.掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理解决问题.（逻辑推理）
平面与平面有什么样的位置关系？
平面与平面相交
平面与平面平行（没有公共点）
α//β
探究:平面内的直线有无数多条，我们难以对所有直线逐一检验，
能否将“一个平面内的任意直线平行另一个平面”中的“任意直线”减少，
得到更简便的判定两个平面平行的办法呢？
根据基本事实的推论2，3，
两条平行直线或两条相交直线，都可以确定一个平面．由此可以想到，
“一个平面内两条平行直线与另一个平面平行”
和“一个平面内两条相交直线与另一个平面平行”，
能否判断这两个平面平行？
问题1
尝试与发现
猜想：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
证明：
平面与平面平行的判定定理：
文字语言
图形语言
符号语言
如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，
那么这两个平面平行．
在画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画出平行线
画法
联想平面向量基本定理，你能对面面平行判定定理做出进一步解释吗？
分析：由平面向量基本定理可知，
平面内两条相交直线代表两个不共线向量，
而平面内任意向量可以表示为它们的线性组合，
从而平面内两条相交直线可以“代表”这个平面上的任意直线．
而两条平行直线所表示的向量是共线的，
用它们不能“表示”这个平面上的任意直线．
问题2
辨析：判断以下命题的真假
（1）若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面也平行
（2）若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面也平行
假
假
例1.已知:三棱锥P-ABC中D,E,F分别 是棱PA,PB,PC的中点
求证:平面DEF//平面ABC
证明：在△PAB中，
因为 D,E分别是PA,PB的中点，
所以 DE//AB.
同理 EF//平面ABC
所以 平面DEF//平面ABD
证题思路：要证明两平面平行，
关键是在其中一个平面内
找出两条相交直线分别平行于另一个平面.
判定定理的应用
文字语言
图形语言
符号语言
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行
平面与平面平行的判定定理推论：
异面或平行
尝试与发现
证明：
猜想：
文字语言
图形语言
符号语言
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，
那么它们的交线平行
平面与平面平行的性质定理:
例2.
性质定理的应用
证明：
两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例
1.如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面的位置关系一定是 (　　)
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.不能确定
【解析】选C.如图所示,由图可知C正确.
2.已知a,b表示直线,α,β,γ表示平面,下列推理正确的是 (　　)
A.若α与β相交,a α,b β,则a与b一定相交
B.若a α,b β,a∥b,则α∥β
C.a∥β,b∥β,a α,b α α∥β
D.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b a∥b
【解析】选D.A错误,a与b,可能平行也可能是异面直线;由平面与平面平行的判定定理知B,C错误;由平面与平面平行的性质定理知,D正确.
3.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A1,C1,B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是______.
【解析】由于平面ABCD∥平面A1B1C1D1,
平面A1B1C1D1∩平面A1C1B=A1C1,
平面ABCD∩平面A1C1B=l,
所以l∥A1C1.
答案:平行
4.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:
(1)B,C,H,G四点共面.
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
【证明】(1)因为G,H分别是A1B1,A1C1的中点,
所以GH是△A1B1C1的中位线,所以GH∥B1C1.
又因为B1C1∥BC,所以GH∥BC,
所以B,C,H,G四点共面.
(2)因为E,F分别是AB,AC的中点, 所以EF∥BC.
因为EF 平面BCHG,BC 平面BCHG, 所以EF∥平面BCHG.
因为A1G∥EB,A1G=EB,
所以四边形A1EBG是平行四边形, 所以A1E∥GB.
因为A1E 平面BCHG,GB 平面BCHG, 所以A1E∥平面BCHG.
又因为A1E 平面A1EF,EF 平面A1EF且A1E∩EF=E,所以平面EFA1∥平面BCHG.
1.平面与平面平行的判定和性质；
2.文字语言、图形语言、符号语言的准确表述和转换；
3.转化的数学思想．

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