资源简介

(共26张PPT)
第十一章 立体几何初步
11.4 空间中的垂直关系
11.4.1　直线与平面垂直 第1课时
1.理解异面直线所成的角
2.了解直线与平面垂直的定义
3.掌握直线与平面垂直的判定定理
1.直线与直线所成角
习惯上，两条相交直线所成的角的大小，指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小.
用以刻画一条直线相对于另一条直线倾斜的程度
例如，直线l与直线m所成角的大小，指的是∠1或∠3的大小.
在正方体中， 与 异面， 与 也异面.
(1)直观上，你认为这两种异面有什么区别？
(2)如果要利用“角”的大小来区分这两种异面，你认为该怎样做？
尝试与发现
a
b
b ′
a′
O
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题
异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ]
o
o
如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b
a ″
一般地，如果 是空间中的两条异面直线，过空间任一点分别作与 平行或重合直线 ， 我们把 与 所成角的大小叫做异面直线 所成的角的大小
异面直线所成的角
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变
∵ a′∥a , a″ ∥a∴ a′∥ a″ (基本事实4),
解答： 如图
设a ′与 b ′相交所成的角为∠1, a ″与 b 所成的角为∠2 ,
又 b∥b″, ∴ ∠1 = ∠2 (等角定理)
b ′
a′
O
∠1
a
a″
b
∠2
答 :这个角的大小与O点的位置无关.
在求作异面直线所成的角时,
O点常选在其中的一条直线上
(如线段的端点,线段的中点等)
当两条直线平行时，我们规定它们所成的角为
空间两直线所成的角的范围为[0° , 90° ]
练一练
如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF分别为棱AB，BB1的中点，求异面直线A1F与AC所成角的余弦值.
方法总结
求异面直线所成的角的步骤是:
一作(找)：作（或找）平行线
二证：证明所作的角（或其补角）为所求的异面直线所成的角
三求：在一恰当的三角形中求出角
作出异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:
①直接平移法(可利用图中已有的平行线);
②中位线平移法;
③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).
2.直线与平面垂直
定义：
图形语言
m
符号语言
回顾：直线与平面平行的研究方法与思路
尝试与发现
利用合适的实物演示，并猜测直线与平面垂直的判定方法
1.如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直，此直线是否和平面垂直？
2.如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直，此直线是否和平面垂直？
问题 根据定义，判定直线与平面垂直，需要验证直线与平面内的所有直线都垂直．类比直线与平面平行的判定定理，有没有判定直线与平面垂直的简单易行的方法呢？
直线与平面垂直的判定定理：
文字语言
图形语言
符号语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，
则这条直线与这个平面垂直．
三、应用新知
三、应用新知
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
画法
例1.地面上插有一根直杆，将地面看成平面，直借助于绳子与米尺，你能检测出直杆与地面是否垂直吗？写出你的方案并说明理由
判定定理的应用
解：
方法总结
利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤：
（1）在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直
（2）确定这个平面内的两条直线是相交的直线
（3）根据判定定理得出结论
证明线线垂直的常用方法：
（1）由线面垂直的定义
（2）平面几何中的结论，如等腰三角形的底面的中垂线垂直于底边、菱形的对角线互相垂直、勾股定理等
证明：
SO实际上是四棱锥的高，因此利用线面垂直的判定定理，可以找出几何体的体高.
例2.四棱锥S-ABCD中，已知底面ABCD是一个平行四边形，AC∩BD=O，SA=SC，SB=SD.求证：SO⊥面ABCD.
由已知可得O为AC的中点.
∵在△SAC中，SA=SC，
∴SO⊥AC，
同理，SO⊥BD，
∵AC∩BD=O.
∴SO⊥面ABCD.
巩固练习
如图,已知PA垂直于☉O所在的平面,AB是☉O的直径,C是☉O上任意一点,求证:BC⊥PC.
分析：首先利用PA⊥平面ABC得到PA⊥BC,然后根据圆的性质得到AC⊥BC,进而利用线面垂直判定定理证得BC⊥平面PAC,从而得到BC⊥PC.
证明:∵PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,∴PA⊥BC.
∵AB是☉O的直径,∴BC⊥AC.
又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.
∵PC 平面PAC,∴BC⊥PC.
1.下面叙述中：
①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；
②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；
③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于梯形所在平面；
④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于梯形所在平面.其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
2.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角等于　　　　.
【解析】因为PA⊥平面ABC,
所以∠PBA为PB与平面ABC所成的角,又PA=AB,
所以∠PBA=45°.
答案:45°
3.如图,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F.
(1)求证:PC⊥平面AEF;
(2)设平面AEF交PD于G,求证:AG⊥PD.
【解析】(1)因为PA⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,
所以PA⊥BC.又AB⊥BC,PA∩AB=A,
所以BC⊥平面PAB,又AE 平面PAB,
所以AE⊥BC.又AE⊥PB,PB∩BC=B,
所以AE⊥平面PBC,又PC 平面PBC,
所以AE⊥PC.又因为PC⊥AF,AE∩AF=A,
所以PC⊥平面AEF.
(2)由(1)知PC⊥平面AEF,所以PC⊥AG,
同理CD⊥平面PAD,AG 平面PAD,
所以CD⊥AG,PC∩CD=C,
所以AG⊥平面PCD,又PD 平面PCD,
所以AG⊥PD.
1.线面垂直的概念
2.如何判定线面垂直
3.体会转化思想：线面垂直 线线垂直

展开更多......

收起↑