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第十一章 立体几何初步
11.4 空间中的垂直关系
11.4.1　直线与平面垂直 第2课时
1.理解并掌握线面垂直的性质定理
2.掌握直线与平面所成角的定义，培养直观想象的数学核心素养
3.理解三垂线定理及应用
4.灵活运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理处理空间垂直问题，提升逻辑推理、数学抽象的数学核心素养
直线与平面垂直的性质
如果直线????垂直于一个平面????，直????与直线????平行，那么直线????与平面????是否垂直？利用合适的实物演示，猜测结果并说明理由.
?
尝试与发现
垂直
猜想：
图形语言
符号语言
文字语言
如果两条平行线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面
????
?
直线与平面垂直的性质定理1：
如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线具有怎样的位置关系？利用合适的实物演示,猜测结果并说明理由.
尝试与发现
平行
猜想：如果l⊥α，m⊥α，则m∥l.
上述证明过程也说明，过空间中一点，有且只有一条直线与已知平面垂直.
由于无法把两条直线归入到一个平面内，所以无法应用平行直线的判定知识以及平行于同一条直线的两条直线平行，
在这种情况下我们采用一种特殊的证明方法，叫做“反证法”．
文字语言
图形语言
符号语言
如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行
????
?
直线与平面垂直的性质定理2：
知识点拨
（1）直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法.
（2）定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据.
证明直线与直线平行，常用的几种方法：
（1）平行公理；
（2）线面平行性质定理；
（3）线面垂直性质定理；
（4）面面平行性质定理．
跟踪训练：
直线与平面所成的角
问题：直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，当直线与平面相交但不垂直时，不同的直线与平面相交，情况也是不同的，那么，如何刻画这种不同情况呢？
分析：我们知道，角度，常用来刻画几何对象的相对位置，前面我们学习了异面直线成角，刻画了异面直线的相对位置，类似地，直线与平面所成的角该如何定义呢？让我们来研究一下．
垂线段、斜线段：如果A是平面α外一点，B是平面α内一点，则AB⊥α时，AB是平面α的垂线段．如果C是平面α内一点，且AC与α不垂直，则称AC是平面α的斜线段(相应地，直线AC称为平面α的斜线)，称C为斜足.如图所示．
如图，AB是平面α的垂线段，AC是平面α的斜线段，直线BC称为直线AC在平面α内的射影，∠ACB称为直线AC与平面α所成的角．
直角
直线与平面所成的角
规律方法
直线与平面垂直的应用
例1.如图所示，三棱锥S-ABC中，AB⊥BC，且AB=BC=2，SA=SB=SC= ，求这个三棱锥的体积.
说明：利用线面垂直，可以找出点到平面的距离，从而求出一般几何体的高，进而得到几何体的体积
利用线面垂直，可以找出点到平面的距离，从而求出一般几何体的高，进而得到几何体的体积等.另外，因为直线与平面平行时直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离，都是通过点到平面的距离来定义，所以我们也可以利用点到平面的距离来求出直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离.
点到平面的距离
思考：前面我们学习过棱柱、棱台，在它们的体积公式中，哪个量代表着上、下底面间的距离呢？
棱柱、棱台的高是它们上、下底面间的距离
小试牛刀
规律方法
三垂线定理
例2的结果可以简述为“平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线”
例2.如图所示，已知AB是平面α的一条垂线，AC是平面α的一条斜线，l?α，l⊥BC，求证：l⊥AC.
三垂线定理
已知AB⊥α，AC是平面α的一条斜线，l?α，
①若l⊥BC，则l⊥AC；②若l⊥AC，则l⊥BC．
文字语言
平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线；平面内垂直于斜线的直线也垂直于射影．
图形语言
符号语言
1.如图,BC是Rt△ABC的斜边,PA⊥平面ABC,PD⊥BC,则图中直角三角形的个数是 (　　)
A.8 B.7 C.6 D.5

【解析】选A.易知PA⊥AC,PA⊥AD,PA⊥AB,BC⊥AD,BC⊥PD,AC⊥AB.图中的直角三角形分别为△PAC,△PAD,△PAB,△ADC,△ADB,△PCD,△PDB,△ABC,共8个.
2.四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,PA=2,则四棱锥的侧面积是　　　　.?
答案:4+4
【解析】如图,
由已知PA⊥平面ABCD,又CD?平面ABCD,
则CD⊥PA,又CD⊥AD,且PA∩AD=A,
所以CD⊥平面PAD,又PD?平面PAD,
所以CD⊥PD,即△PCD是直角三角形,
同理△PBC也是直角三角形,且△PBC和△PCD的面积相同,四棱锥的侧面积
S=2S△PAD+2S△PCD=2× ×2×2+2× ×2× =4+4 .
3.如图,在三棱锥S-ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,且SA=SB=SC.
(1)求证:SD⊥平面ABC.
(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.

【证明】(1)因为SA=SC,D是AC的中点,
所以SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=BD,
由已知SA=SB,所以△ADS≌△BDS,
所以SD⊥BD.
又AC∩BD=D,AC,BD?平面ABC,
所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB=BC,D为AC的中点,
所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.
又因为SD∩AC=D,SD,AC?平面SAC,
所以BD⊥平面SAC.
1.直线与平面垂直的性质定理
2.直线与平面所成的角
3.点到平面的距离
4.三垂线定理

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