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第十一章 立体几何初步
11.4 空间中的垂直关系
11.4.2 平面与平面垂直 第1课时
1.通过二面角概念、平面与平面垂直的定义学习，培养直观想象的核心素养.
2.借助线面垂直的判定定理，培养逻辑推理、数学抽象的核心素养.
二面角
情景与问题
笔记本电脑在打开的过程中,会给人以面面“夹角”变大的感觉.
你认为应该怎样刻画面面“夹角”呢？
我们不妨来回顾一下直线与平面垂直、直线与直线垂直的定义过程．
1.在定义直线与平面垂直时，我们利用了直线与直线垂直．所以，直线与直线垂直是研究直线、平面垂直问题的基础；
2.在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线垂直这种特殊情况．
问题探究
类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直．
二面角的定义
在定义二面角之前，我们先给出半平面的概念：
平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．
定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，
这条直线叫做二面角的棱， 这两个半平面叫做二面角的面。
二面角的表示及画法
“见者实、遮者虚”
思考：如何刻画二面角的大小呢？
如图，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”，
是指哪个角大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画
二面角的大小呢？
平面角
二面角
转化
（降维）
如图，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，
在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线
和构成的叫做二面角的平面角.
二面角的平面角
想一想：∠AOB的大小与点O在l上的位置有关吗？为什么？
无关.
在上任取点，过点分别作；
在上任取点，过点分别作.易得, .
∠AOB的大小与点在上的位置有关吗？为什么？
由空间等角定理（如果空间中两个角的两条边分别
对应平行，那么这两个角相等或互补）知∠AOB=∠A′O′B′.
二面角的大小与垂足O在l上的位置无关．一个二面角的平面角有无数个，
它们的大小是相等的．
1. 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，
就说这个二面角是多少度.
平面几何
立体几何
转化
（降维）
2. 平面角是直角的二面角叫做直二面角.
3.二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°
构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”．
即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．
这三个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直
归纳：
二面角大小的求法
例1.如图所示，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，求二面角D′-AB-D的大小.
二面角的平面角的作法总结：
1.定义法：依据定义
2.作垂面：作与棱垂直的平面,利用与两半平面的交线
3.作垂线：做出半平面的垂线,利用线面垂直的知识
一作，即先作出二面角的平面角；
二证，即说明所作角是二面角的平面角；
三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值．
求二面角的大小的方法：
面面垂直的定义
如图，建筑工人在砌墙时，为了保证所砌墙面与水平面垂直，通常会用铅垂
等先构造出一条与水平面垂直的线，然后紧贴线来砌墙.
情景与问题
（1）你知道为什么此时墙面就一定会与水平面垂直吗？
（2）从数学的角度，这一现象能概括出什么结论？试分别用自然语言与符号语言描述
注：由面面垂直的判定定理，容易证明直棱柱的每个侧面都与底面互相垂直，理由是直棱柱的侧棱垂直于底面.
猜想：如果l α，l⊥β，则α⊥β.
证明：当l α，l⊥β，则α与β一定相交，
如图所示，设α β=m，l β=O.
过点O在平面β内作与m垂直的直线OA，则l⊥OA，
从而可知α与β所成角的大小为90°，
因此α⊥β.
平面与平面垂直的判定定理：
文字语言
图形语言
符号语言
如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
平面与平面垂直的判定定理的应用
例2.如图所示，已知Rt△ABC中，AB=AC=a，AD是斜边BC上的高，如图所示，以AD为折痕将△ABC折起，使∠BDC为直角，在图（2）中，
求证：（1）面ABD⊥面BDC，面ACD⊥面BDC；（2）∠BAC=60°.
证明：（1）∵AD⊥BC，AD⊥DC，BD∩DC=D，
∴AD⊥平面BDC．
又AD 平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC，
AD 平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDC；
（2）∵AB=AC=a，∴BC= ，∴BD=DC= ，
又折叠后∠BDC=90°，∴△BDC为等腰直角三角形，∴BC= ，∴AB=BC=AC，∴∠BAC=60°．
利用判定定理证明平面与平面垂直，只需在一个平面内找到一条直线与另一个平面垂直即可，进而只需证明这条直线与另一个平面内的两条相交直线垂直即可．
体现了立体几何研究中“降维”的思想
面面垂直
线面垂直
线线垂直
转化
转化
方法总结
需要指出的是，将面面垂直问题转化为线面垂直问题时，到底选的是哪条直线垂直于哪个平面，这需要结合题目所给的条件进行综合判断．
1.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是 (　　)
A.m⊥n,m∥α,n∥β
B.m⊥n,α∩β=m,n α
C.m∥n,n⊥β,m α
D.m∥n,m⊥α,n⊥β
【解析】选C.因为m∥n,n⊥β,则m⊥β,
又m α,故α⊥β,所以C正确.
2.如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,△ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,∠APC=90°.证明:平面PAB⊥平面PAC.
【证明】由题设可知,PA=PB=PC.
由于△ABC是正三角形,故可得△PAC≌△PAB.
△PAC≌△PBC.
又∠APC =90°,故∠APB=90°,∠BPC=90°.
从而PB⊥PA,PB⊥PC,故PB⊥平面PAC,因为PB在平面PAB内,所以平面PAB⊥平面PAC.
3.如图所示，已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2，求二面角A-CD-B的余弦值.
解：取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD.
由二面角的定义可知∠AMB即为二面角A-CD-B的平面角为△ACD是边长为2的等边三角形，所以AM= ,
同理，BM= ,
在△ABM中，由余弦定理可得
∴二面角A-CD-B的余弦值为 .
二面角的概念
二面角的平面角
平面与平面垂直的概念
平面与平面垂直的判定
直线与直线垂直
判定定理
直线与平面垂直

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