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第十一章 立体几何初步
11.4 空间中的垂直关系
11.4.2　平面与平面垂直 第2课时
1.理解平面与平面垂直的性质定理,并能用文字、符号和图形语言描述定理.
2.能应用面面垂直的性质定理证明相关问题.
3.理解“垂直”之间的相互转化.
前面我们研究了平面与平面垂直的判定，下面我们来研究平面与平面垂直的性质．也就是在两个平面互相垂直的条件下，能推出哪些结论．
问题探究
想一想：
如果两个平面互相垂直，根据以往的研究经验，我们应该从何处入手开始研究呢？
我们可以先研究一个平面内的直线与另一个平面具有怎样的位置关系．
将平面与平面的位置关系问题转化为直线与平面的位置关系问题．
如图，设平面α⊥平面β ，α∩β=a．
那么 β 内任意一条直线 b 与直线 a 是什么关系？
相应地， b 与 α 有什么关系？为什么？
问题探究
显然，b与a平行或相交．
（1）当b∥a时，b∥α；
（2）当b与a相交时， b与α也相交．
思考：当b⊥a 时，b与α是什么位置关系？
设b与a的交点为A，过A在α内作直线c⊥a，
则直线b，c所成的角就是二面角α-a-β的平面角．
由α⊥β，可得 b⊥c．
又因为b⊥a， a，c α，a∩c=A，所以b⊥α．
平面与平面垂直的性质定理：
文字语言
图形语言
符号语言
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
练习：判断正误
已知平面α⊥平面β,α∩ β＝l 下列命题
(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β （ ）
(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β （ ）
(3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面β （ ） (4)如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线 （ ）
√
×
×
√
规律总结
平面与平面垂直的性质定理的应用
利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：
方法总结
(1)两个平面垂直；
(2)直线必须在其中一个平面内；
(3)直线必须垂直于它们的交线．
1.在空间四面体S-ABC中,SC⊥AB,AC⊥SC,且△ABC是锐角三角形,
那么必有 (　　)
A.平面SAC⊥平面SCB
B.平面SAB⊥平面ABC
C.平面SAC⊥平面SAB
D.平面SCB⊥平面ABC
【解析】选D.如图,因为SC⊥AB,SC⊥AC,AB∩AC=A,
所以SC⊥平面ABC.所以平面SCB⊥平面ABC.
2.如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.
求证：AB⊥PD.
【证明】因为ABCD为矩形，所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB 平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD，
因为PD 平面PAD,所以AB⊥PD.
3.如图所示,△ABC是边长为2的正三角形.若AE=1,AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC,BD=CD,且BD⊥CD.
(1)求证:AE∥平面BCD.(2)求证:平面BDE⊥平面CDE.
【证明】(1)取BC的中点M,连接DM,
因为BD=CD,且BD⊥CD,BC=2.
所以DM=1,DM⊥BC.
又因为平面BCD⊥平面ABC,平面ABC∩平面BCD=BC,
所以DM⊥平面ABC,又AE⊥平面ABC,所以AE∥DM.
又因为AE 平面BCD,DM 平面BCD,
所以AE∥平面BCD.
M
(2)连接AM,由(1)知AE∥DM,
又AE=1,DM=1,所以AE=DM,
所以四边形DMAE是平行四边形,
所以DE∥AM.
又△ABC是正三角形,M为BC的中点,
所以AM⊥BC,因为平面BCD⊥平面ABC,
所以AM⊥平面BCD,所以DE⊥平面BCD.
又CD 平面BCD,所以DE⊥CD.
M
因为BD⊥CD,BD∩DE=D,
所以CD⊥平面BDE.
因为CD 平面CDE,所以平面BDE⊥平面CDE.
1.由直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直；
由直线与平面的垂直的定义可以得到直线与直线垂直；
2.由直线与平面垂直可以判定平面与平面垂直；
而由平面与平面垂直的性质可以得到直线与平面垂直．

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