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(共7张PPT)
第五章　四边形
综合与实践　n阶容正矩形
如果一个矩形可不重叠且不留空隙地被分割为n个正方形，那么称该矩形为“n阶容正矩形”.
(1)图1是一个3阶容正矩形.请再画出一个形状不同的3阶容正矩形，若该矩形的周长为10，求它的边长.
解：如图，矩形ABHE即为所求.
设DE＝x.
∵四边形DEFG与四边形GFHC均为正方形，
∴EF＝GF＝GD＝DE＝x，FH＝CH＝GC＝GF＝x.
∴DC＝GD＋GC＝2x＝EH.
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝BA＝AD＝DC＝2x.
∴AE＝AD＋DE＝3x.
∴2(AE＋EH)＝10，即2(3x＋2x)＝10.
解得x＝1.
∴该3阶容正矩形的边长为2和3.
(2)若要求4阶容正矩形的四个顶点分别为所分割的4个正方形的一个顶点，判断4阶容正矩形按此方式是否可被分割为4个大小不等的正方形，并说明理由.(说明：“大小不等”指两两不全等)
解：4阶容正矩形按此方式不可被分割为4个大小不等的正方形.理由：
设4个正方形边长分别为a，b，c，d.
∵矩形的四个顶点分别为所分割的4个正方形的一个顶点，
∴矩形的一组对边的长为a＋b与c＋d，另一组对边的长为a＋c与b＋d.
∵矩形的对边相等，
∴a＋b＝c＋d①且a＋c＝b＋d②.
①－②，得b－c＝c－b.
可得b＝c.
∴4阶容正矩形按此方式不可被分割为4个大小不等的正方形.
(3)若一个矩形可按图2所示的方式被分割为9个大小不等的正方形，请探究该9阶容正矩形的一个性质定理.
解：(答案不唯一)如图2，按标号顺序将9个正方形的边长依次表示为a1，a2，…，a9.
设a1＝x，a2＝y.
∵ED＝AD＋EA＝x＋y，
∴a3＝x＋y.
同理可得a4＝2x＋y，a5＝x＋2y，a6＝3x＋y，a7＝4x，a8＝7x＋y，a9＝11x＋y.(共25张PPT)
第五章　四边形
第30课时　矩形与菱形
人教：八下P52～P58；华师：八下P98～P119；
北师：九上P2～P19.
考点1
矩形的概念、性质与判定重点
概念 有一个角是① 的平行四边形是矩形
性质 (1)边：对边② ；
(2)角：四个角都是③ ；
(3)对角线：对角线④ ；
(4)对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形
直角
平行且相等
直角
相等且互相平分
判定 (1)有一个角是⑤ 的平行四边形是矩形；

(2)对角线⑥ 的平行四边形是矩形；

(3)有三个角是⑦ 的四边形是矩形

直角
相等
直角
例1 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠BOC＝120°，DC＝3 cm，则AC的长为(　　)
A.6 cm
B.3 cm
C.6 cm
D.3 cm
A
变式1 (2025厦门一中模拟)如图，点P为矩形ABCD内一点，PB＝PC，
求证：PA＝PD.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°.
∵PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB.
∵∠ABP＝90°－∠PBC，∠DCP＝90°－∠PCB，
∴∠ABP＝∠DCP.
∵AB＝DC，PB＝PC，
∴△ABP≌△DCP(SAS).
∴PA＝PD.
例2 如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的为(　　)
A.AB⊥BC　　　
B.AC＝BD
C.∠BAD＋∠BCD＝180°　　　
D.CD＝AD
D
变式2 如图，在 AEFD中，C是EF边上一点，点B在FE的延长线上，且CF＝BE，∠B＝90°.求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝EF.
∵CF＝BE，
∴BE＋EC＝EC＋CF，即BC＝EF＝AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠B＝90°，
∴四边形ABCD是矩形.
考点2
菱形的概念、性质与判定重点
概念 有一组邻边⑧ 的平行四边形是菱形
性质 (1)边：对边平行，四条边都⑨ ；
(2)角：对角⑩ ；
(3)对角线：两条对角线互相 ，且每条对角线
一组对角(仅人教有)；
(4)对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形
相等
相等
相等
垂直平分
平分
判定 (1)有一组邻边 的平行四边形是菱形；

(2)对角线 的平行四边形是菱形；

(3)四条边都 的四边形是菱形

面积 S＝底×高＝×两条对角线的乘积
相等
互相垂直
相等
例3 (2025漳州二检)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，若AC＝6，BD＝8，则下列结论错误的是(　　)
A.AB＝5
B.OE＝
C.菱形的面积为48
D.点A到BC的距离为
C
变式3-1 菱形ABCD的边长为4，有一个内角为60°，则较长的对角线的长为(　　)
A.4 B.4　　
C.2 D.2
A
变式3-2 (2025泸州)如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝CF.求证：AF＝CE.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC.
∵AE＝CF，
∴AB－AE＝BC－CF，即BE＝BF.
在△ABF和△CBE中，
∴△ABF≌△CBE(SAS).
∴AF＝CE.
例4 (2025三明二检)若添加一个条件，使得 ABCD是菱形，则这个条件可以是(　　)
A.AB＝CD B.AC＝BD
C.AC⊥BD D.AB⊥BC
C
变式4-1 如图，在 ABCD中，E是边AD上一点，将△CDE沿着CE翻折至△CFE.当点F落在边BC上时，求证：四边形CDEF为菱形.
证明：由翻折，得FE＝DE，FC＝DC，∠FCE＝∠DCE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD.∴∠FCE＝∠DEC.
∴∠DCE＝∠DEC.
∴DC＝DE.
∴FE＝DE＝FC＝DC.
∴四边形CDEF为菱形.
变式4-2 如图，在 ABCD中，AD⊥BD，E，F分别为AB，CD的中点，求证：四边形BEDF是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴AE＝BE＝AB，DF＝CF＝CD.
∴BE＝DF，BE∥DF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
∵AD⊥BD，
∴DE＝BE.
∴ BEDF是菱形.
矩形与菱形的综合应用
例5 (2025上海)已知矩形ABCD中，点E在边CD上，F是点E关于直线AD的对称点，连接EF，AF，BE，若四边形ABEF是菱形，则的值为______.
变式5 如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①连接BD；②分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；
③作直线MN交BD于点O，交AD于点E，交BC于点F；④连接BE，DF.若AB＝3，AD＝9，则下列结论错误的是(　　)
A.OE＝OF
B.△BED为等腰三角形
C.四边形BEDF为菱形
D.tan∠EBF＝
D
1.(2023福建，T13)如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为________.
命题点
矩形、菱形的性质与判定
7年6考
10
2.(2025福建，T14)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F.若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为_______.
1
3.(2024 福建，T18)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且∠AEB＝∠AFD.求证：BE＝DF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D.
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(AAS).
∴BE＝DF.
在△ADF和△CBE中，
4.(2019福建，T18)如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，且DF＝BE.求证：AF＝CE.
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝∠D，AD＝BC.
∴△ADF≌△CBE(SAS).
∴AF＝CE.(共18张PPT)
第五章　四边形
第31课时　正方形
人教：八下P58～P69；华师：八下P119～P128；
北师：九上P20～P29.
考点1
正方形的概念、性质与判定
概念 有一组邻边① ，并且有一个角是② 的平行四边形
性质 (1)边：四条边③ ；
(2)角：四个角都是④ ；
(3)对角线：对角线互相⑤ 且相等，每条对角线⑥ 一组对角；
(4)对称性：既是⑦ 图形，又是⑧ 图形，有4条对称轴
相等
直角
相等
直角
垂直平分
平分
中心对称
轴对称
判定
相等
直角
垂直
相等
例1 (2025浙江)【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点E在对角线BD上.
【数学理解】
(1)该机翼状纸板由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD.
又BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS).
(2)若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数.
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，∠ADB＝45°.
∵DE＝DA，
∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°.
∴∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝22.5°.
变式1-1 (2025厦门二检)如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在边BC
上，EC＝3.若F，G分别是AE，AD的中点，则FG的长为___.
变式1-2 (2025厦门集美区模拟)如图，四边形ABCD是正方形，点E在边CD上，点F在CB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，AF.
求证：AE⊥AF.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°.
∵点F在CB的延长线上，∴∠ABF＝90°.
∴∠ABF＝∠D.
∵BF＝DE，∴△ABF≌△ADE(SAS).
∴∠BAF＝∠DAE.
∵∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠DAE＝90°.
∴∠BAE＋∠BAF＝90°，即∠FAE＝90°.
∴AE⊥AF.
例2 已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是(　　)
A.∠D＝90° B.AB＝CD
C.AC＝BD D.BC＝CD
D
变式2 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是___________________
_____.(只填一个条件即可)
AC＝BD(答案不唯
一)
顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫作中点四边形.(图示如下)
考点2
中点四边形
例3 (2024福建，T14)如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为___.
2
变式3-1 如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝8，BD＝6，顺次连接菱形ABCD各边中点所围成的四边形的面积是(　　)
A.10
B.12
C.20
D.24
B
变式3-2 如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E，F，G，H，顺次连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形).
(1)如图1，四边形EFGH的形状是_____________，证明你的结论；
平行四边形
证明：如图1，连接BD.
∵点E，H分别是AB，AD的中点，
∴EH∥BD，EH＝BD.
同理，FG∥BD，FG＝BD.
∴EH∥FG，EH＝FG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
(2)如图2，请连接四边形ABCD的对角线AC与BD，当AC与BD满足____________________________________条件时，四边形EFGH是正方形，证明你的结论.
互相垂直且相等(或AC⊥BD且AC＝BD)
证明：如图2，连接AC，BD.
由(1)，可知四边形EFGH是平行四边形.
∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG.
∴ EFGH是矩形.
∵AC＝BD，∴EH＝HG.
∴矩形EFGH是正方形.(共22张PPT)
第五章　四边形
第29课时　平行四边形
人教：八下P40～P51；华师：八下P71～P96；
北师：八下P134～P149.
考点1
平行四边形的概念与性质
概念 两组对边分别① 的四边形叫作平行四边形
性质 (1)边：两组对边分别平行且② ；
(2)角：两组对角分别③ ，邻角互补；
(3)对角线：两条对角线④ ；
(4)对称性：平行四边形是⑤ 对称图形，但不是⑥ 对称图形
平行
相等
相等
互相平分
中心
轴
例1 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别交于点E，F.
(1)若∠ABC∶∠BAD＝1∶2，则∠BCD的度数为
______；
(2)若AC＋BD＝16，△BCO的周长为14，则AD的长为___；
(3)若 ABCD的周长是20，△ABO的周长比△BCO的周长大2，则AB的长为___；
120°
6
6
(4)若AD＝6，点E是AB的中点，则OE＝___；
(5)若以点B为原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点C的坐标为(5，0)，点D的坐标为(8，4)，则点A的坐标为______；
3
（3，4）
(6)求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
OA＝OC.
∴∠EAO＝∠FCO.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA).
∴OE＝OF.
变式1-1(2025漳州二检)如图，在 ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BF＝DE.求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
AB＝CD.
∴∠ABE＝∠CDF.
∵BF＝DE，
∴BF－EF＝DE－EF.
∴BE＝DF.
∴△ABE≌△CDF(SAS).
∴AE＝CF.
变式1-2 (2025宜宾)如图，点E是平行四边形ABCD边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，AD＝5.求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝5，BC∥AD.
∴∠EFC＝∠EAD，∠ECF＝∠EDA.
∵点E是平行四边形ABCD边CD的中点，
∴CE＝DE.
∴△FCE≌△ADE(AAS).
∴CF＝AD＝5.
∴BF＝BC＋CF＝5＋5＝10.
利用平行四边形的性质判定三角形全等，从而得到两条线段相等.
例2 如图，在 ABCD中，BC＝8，CD＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，则DE的长为_______.
3
变式2 如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E，若AB＝5，DE＝8，则AE的长为_______.
6
平行四边形＋角平分线→等腰三角形
考点2
平行四边形的判定
边 (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
(2)两组对边分别⑦ 的四边形是平行四边形；
(3)一组对边⑧ 的四边形是平行四边形
角 两组对角分别⑨ 的四边形是平行四边形
对角线 两条对角线⑩ 的四边形是平行四边形
相等
平行且相等
相等
互相平分
例3 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，添加下列条件后仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　)
A.AD＝BC
B.AB∥DC
C.∠A＝∠C
D.AB＝DC
D
变式3-1 如图，在四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点.
(1)若AD＝BC，请添加一个条件：　　　 　，使得四边形ABCD为平行四边形；
AD∥BC（答案不唯一）
(2)在(1)的条件下，若AE＝CF，求证：四边形EBFD是平行四边形.
证明：如图，连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO.
又AE＝CF，
∴AO－AE＝CO－CF，即EO＝FO.
∴四边形EBFD是平行四边形.
变式3-2 如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，BE＝DF，AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
在△AEB和△CFD中，
∴△AEB≌△CFD(SAS).
∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF.
∴AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
变式3-3 (2025福州联考节选)如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，AB＝CD，若AB＝AC，求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵AB＝AC，AB＝CD，
∴AB＝AC＝CD.∠B＝∠ACB，∠D＝∠CAD.
∵∠B＝∠D，
∴∠B＝∠D＝∠ACB＝∠CAD.
∴180°－∠B－∠ACB＝180°－∠D－∠CAD，即∠BAC＝∠ACD.
∴AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定思路：
(1)已知一组对边相等这组对边平行或另一组对边相等；
(2)已知一组对边平行这组对边相等或另一组对边平行；
(3)已知一组对角相等另一组对角相等；
(4)已知一条对角线的中点对角线互相平分.
1.(2023福建，T12)如图，在 ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F.若AE＝10，则CF的长为_____.
命题点
平行四边形的证明与计算
7年4考
10
2.(2019福建，T14)在平面直角坐标系xOy中， OABC的三个顶点分别为O(0，0)，A(3，0)，B(4，2)，则其第四个顶点C的坐标是________.
(1，2)

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