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第二十章勾股定理单元检测调研卷人教版2025—2026学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列各组数，能构成直角三角形的一组是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．一艘轮船以海里／小时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以海里／小时的速度向西南方向航行，离开港口小时，两艘轮船的距离是（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
3．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树……依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为（ ）
A．1013 B．2027 C．2026 D．2025
4．如图，已知点，，轴有一点，使得是等腰三角形，且，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，是的角平分线，于点E．若，则的长为（ ）
A． B． C．5 D．6
6．如图，在长方形中，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，则的长是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，．，，，若点D在内部，则的面积是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
8．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．16 C．12 D．6
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的面积为___________．
10．如图，在中，，平分，交于点F．若，，则的长为______．

11．如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到距离下底面且与点相对的点处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短距离为___________．
12．如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为_______．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，应用无人机洒水的方式扑灭火源成为一种高效的灭火方式．如图，有一台救火无人机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，点与直线上两点的距离分别为和，且，无人机的洒水半径为．
(1)无人机的洒水半径能覆盖点吗？为什么？
(2)若无人机的速度为，要想扑灭着火点，估计需要持续洒水20秒，请你通过计算判断着火点能否被无人机扑灭？
14．如图，在四边形中，，为四边形的对角线，已知，，，．
(1)请判断的形状，并说明理由；
(2)过点作于点，求线段的长．
15．如图，在中，的垂直平分线分别交，及的延长线于点，，，连接，已知．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
16．在Rt中，，，点为中点，点为线段上一动点．
(1)求的长；
(2)如图1，，点为射线上一动点，求的最大值；
(3)如图2，点在线段上，且，的长为有理数，求证：为无理数．
17．如图，已知在中，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒3个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．连接．
(1)当秒时，求的长度；
(2)当为等腰三角形时，直接写出t的值：_____．
(3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当_____时，．
18．综合与实践：纸张中藏着丰富的数学奥秘．某班数学学习小组就“折纸中的数学”展开主题学习．他们所用的是一张三角形纸片，，，．请根据以下信息，解答问题．
(1)小组一：如图，若翻折后，点与点重合，折痕为，求的长；
(2)小组二：如图，若翻折后，点落在边上的点处，折痕为．连接，，当是直角三角形时，求的长；
(3)小组三：如图，点为边上一动点，沿直线翻折，点的对应点为点，连接，当的长最小时，求的面积．
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试卷第1页，共3页
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参考答案
一、选择题
1．D
2．A
3．B
4．B
5．A
6．D
7．C
8．C
二、填空题
9．100
10．3
11．
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：能覆盖点，理由如下，如图，过点作，垂足为，
，
，
，
是直角三角形，，
，
，
，
能覆盖点；
（2）解：如图，以点为圆心，为半径作圆，交于点，
则，
，
，
在中，，
，
，
，
着火点能被扑灭．
14．【详解】（1）解：是直角三角形，理由：
∵，，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：∵是直角三角形，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
15．【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的垂直平分线，
∴
∵
∴
∴
∴是直角三角形
∴， ．
（2）解：设
∵
∴
∵
∴
在 中，
∵
∴
∴
∴。
∴
∴
∴的长为．
16．【详解】（1）解：，
为等腰直角三角形，
点为的中点，
；
（2）方法一：如图所示，作点关于射线对称点，连接并延长交延长线于点，连结，
则，
，
，
，
又，
为等边三角形，
，
，
即当三点共线时，取得最大值；
方法二：作点关于射线的对称点，连接交的延长线于点，
由对称性质得：，
，
，
，
，
，
得为等边三角形，，
，
即当三点共线时，取得最大值；
（3）如图，过点作，且，
，
，
即，
又，
（），
，，
，
，
，
，
，
（），
，
设，则，
由（1）得，
，
在Rt中由勾股定理得：，
，
，
解得：，
由（1）知且，
，
，
将代入中，得，
，
，
是无理数，为有理数，
是无理数，
即是无理数．
17．【详解】（1）解：根据题意，得，
在中，根据勾股定理，得；
则的长为；
（2）解：在中，，
根据勾股定理，得
若，则，解得；
若，则，解得；
若，则，解得．
当为等腰三角形时，t的值为、、；
故答案为：、、；
（3）解：①点P在线段上时，过点D作于E，如图1所示：
则，
∴，
∵，
∴平分，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，如图2所示：
同①得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为或时，能使．
故答案为：或．
18．【详解】（1）解：如图，
由折叠得点与点关于直线对称，
∴垂直平分，
∴，
设，则，
由勾股定理得：，
∴，解得：，
∴，
∴的长为；
（2）解：如图，当时，此时与重合，
同上理可得：，
如图，当时，
∵沿翻折后，点落在边上的点处，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得：，
∴，解得：，
∴，
∴的长为；
由，
∵，
∴，
∴不存在，
综上可得：的长为或；
（3）解：由翻折得，，
∵，
∴当点三点共线时，最小，如图，
此时，
∴，
∵与的高相同，
∴，
∵，
∴，
∴的面积为．

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