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第二十章勾股定理单元检测培优卷（一）人教版2025—2026学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．以下列各组数为三角形的三边，能构成直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在边长均为个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是（ ）
A． B． C．-2．2 D．
4．如图，在纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使得点落在上的点处，再折叠纸片，使得点与点重合，若折痕交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
5．如图所示是古代工匠们使用的名为“矩尺”的测量工具，这种工具的形状类似于一个直角三角形．若“矩尺”的一条较短的直角边长为5尺，斜边比较长的直角边多1尺，则“矩尺”的较长直角边的长为（ ）
A．12尺 B．13尺 C．24尺 D．26尺
6．如图，在中，，且周长为．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点同时出发，那么经过3s，的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在长为、宽为、高为的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点B处．则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，分别以的三边为边向外作正方形，其面积分别为、、，若，，则_____．
10．如图，在中，，，点C在直线上，于D，于E，，则______．
11．如图，一个长方体盒子的内部是的长方体，如果将一根直杆（不计粗细）完全放入盒子中，那么直杆的长度的取值范围是__________．
12．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n．若小正方形面积为1，，则大正方形面积为______．

三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．小强在物理课上学习了发声物体的振动试验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置，当小强用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作于点D，当小球摆到C位置时，过点C作于点E，测得，（图中的点A，B，O，C在同一平面内）．
(1)猜想此时与的位置关系，并说明理由；
(2)连接，求的长．
14．如图，在中，，点D在边上，．
(1)求边上的高；
(2)求的长．
15．如图，在中，，，，是边上两点，平分，．
(1)求证：；
(2)若，求线段的长；
(3)点是射线上一点，若，求的值．
16．如图，点，点分别为轴正半轴、轴负半轴上的点，以点为直角顶点在第二象限作等腰．
(1)如图1，若、满足，求点的坐标
(2)在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点M在上，点N在的延长线上，，请证明：．
17．如图，射线于点A，点C，B分别在上，D为线段的中点，且于点E．
(1)若的面积为9，求的长；
(2)若，点C在射线上运动，其他条件不变，问：在点C的运动过程中，的值是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出的值．
18．冬季第一场瑞雪沿东西方向的省道由向平稳移动，为沿途村庄带来有利于农作物越冬的积雪．已知点为一村庄，村庄与省道上的两点、的距离分别为，，且．经观测，降雪中心周围以内都会被雪覆盖．
(1)的度数为_____；
(2)村庄距省道的最短距离为_____；
(3)如图2，该降雪中心的移动速度为，当降雪中心移动到点处时，村庄开始降雪；当降雪中心移动到点处时，村庄刚好结束降雪（即）．求此次村庄持续降雪多长时间．
参考答案
一、选择题
1．C
2．D
3．A
4．A
5．A
6．B
7．B
8．B
二、填空题
9．
10．
11．
12．5
三、解答题
13．【详解】（1）解：，理由如下：
∵于D，于E，
∴，
又∵根据题意得：，，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
在中，
答：的长为．
14．【详解】（1）解：过点A作于点M，
∵，
∴M是的中点，
∵，
∴，
∴，
即边上的高为4；
（2）过点B作于点N，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴．
15．【详解】（1）证明：在中，，，
，
平分，
，
，
；
（2）解：在中，，
设，则，
，
，，
，
，
在中，，即，
解得（负值舍去），
；
（3）解：设，
由（2）知，，，，
，
当点在线段上时，如图，过作于点，
设，则，
在中，，
即，
解得，
，，
，
，
，，
；
当点在射线上时，如图，
此时同第一种情况：，
，，
；
综上，的值为或．
16．【详解】（1）解：如图：过点作轴于．
∵，
∴，
，，
，，
，，
∵是等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，
，，，
，
，，
，
；
（2）存在；
设点P的坐标为，则，
∵，，
∴，
当时，则，得到，解得或（不合题意，舍去）
∴此时点P的坐标为；
当时，得到，解得或
∴此时点P的坐标为或；
综上可知，点P的坐标为或或；
（3）过点作，使，连接、．
，
，
在和中，
，，，
，
，，
，
，
在和中，
，，，
，
，，
，
，
．
17．【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵的面积为9，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：不发生变化，的值为36．
理由如下：
连接BD，
∵，
∴
在中，①，
在中，②，
①-②得，
∵D为线段的中点，
∴，
∴，
∴在点C的运动过程中，的值不发生变化，其值为36．
18．【详解】（1）解： 在中，，，，
，．
．
是直角三角形，且．
故答案为：．
（2）解：设点到的距离为，
是直角三角形，
，
即，
解得．
故答案为：．
（3）解：过点作于点，则，
在中，，，
由勾股定理得．
同理，，
．
降雪中心移动速度为，
持续时间．
答：此次村庄持续降雪小时．
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