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第二十章勾股定理单元检测培优卷人教版2025—2026学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列各组数中，不能构成直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，，垂足为，，则的长为（ ）
A． B． C．6 D．
3．如图，在中，，若正方形，的面积分别为25，144，则的长度为（ ）
A．13 B．169 C．119 D．
4．在野外测绘中，工作人员发现一块三角形地标石碑为等边，边长为．为测量其边长，工作人员过点作于点，测得，则该等边三角形地标的边长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，圆柱底面半径为，高为，点分别是圆柱两底面圆周上的点，且在同一高线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，平分交于点，作交于点．若则的面积为（ ）
A． B． C．12 D．
7．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为（　　）
A．64 B．54 C．108 D．48
8．如图，与均为直角三角形， 且，，，， 点是的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．若一等腰直角三角形的直角边长为2，则它的斜边长为______．
10．如图是一个长、宽、高分别为、、（即，，）的无盖长方体木箱，在箱外的点处有一只蚂蚁，箱内的点处有一滴蜂蜜，则蚂蚁从点爬到点所经过的最短路程是_____．（木板的厚度忽略不计，结果保留根号）
11．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若且，则面积为_____．
12．如图，将长方形纸片沿对折后展开，再沿折叠使点落在折痕上的点处，再将点折至点处，折痕为，点恰为的中点，已知，，则_________．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，网格中的每个小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上．
(1)直接写出________，________，________；
(2)判断的形状，并说明理由．
14．在中，，和的平分线、交于点，连接．
(1)若，，
如图，求的长；
如图，若，求的度数和的长；
(2)如图，是的中点，射线交于点．若，面积为，求的长．
15．学校校内有一块如图所示的三角形空地，其中米，米，米．
(1)试求出这块三角形空地的面积；
(2)计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为元，学校修建这个花园需要投资_____元．
16．已知是等边三角形，是边上一点(不与点重合)，是射线上一点(不与点重合)．
(1)如图，若点在上，且，则的度数是________；
(2)如图，若点在上，且，，相交于点，求的度数；
(3)如图，若点在的延长线上，连接，，且满足．若，，求的面积．
17．如图，某公园在笔直公路上有A，B两个出口，相距500米，在距公路不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C地与A出口的距离为300米，与B出口的距离为400米．为了安全起见，在烟花燃放过程中，燃放点C地周围半径250米范围内不得进入．
(1)求烟花燃放点C地到公路的垂直距离．
(2)按照安全要求，烟花燃放过程中，A，B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长．
18．如图，正三角形的边长为，是边上不与点，重合的动点，过点作边的垂线，交于，用表示线段的长度，用表示的面积．
(1)直接写出的取值范围；
(2)求关于的函数表达式．
参考答案
一、选择题
1．D
2．A
3．A
4．A
5．A
6．A
7．B
8．C
二、填空题
9．
10．
11．
12．20
三、解答题
13．【详解】（1）解：，，；
故答案为：5，10，；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
由（1）知，，，，
则，
是直角三角形．
14．【详解】（1）解：如图，过作于点，
∵平分，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长为；
∵，，
∴，
∵和的平分线、交于点，
∴，，
∴，
∴，
如图，过作于点，作于点，则，
，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，在上截取，在上截取，连接，，
∵和的平分线、交于点，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，，，
∴，，
延长至，使得，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
过作于点，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
15．【详解】（1）解：如图，过点作于点，
设米，则米，
在与中，由勾股定理得，，
，
即，
解得，米，
（米），
这块三角形空地的面积为（平方米）；
（2）学校修建这个花园需要投资（元），
故答案为：．
16．【详解】（1）解：，
，
∵在等边中，，
；
（2）解：是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
，
．
（3）解：延长到点，使得，连接，过点作于点．
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
在和中，
，
∴，
，
令，则，
，，，
，
在中，
，，
，则，
由得，，则，
在中，，
由勾股定理得，
则，解得，
，
，
，
的面积是．
17．【详解】（1）解：由题意得米，米，米，
，
是直角三角形，．
如图，过C作于点D，
∴，
即，
∴米，
答：烟花燃放点C地到公路的垂直距离为240米；
（2）解：按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下：
如图，由（1）可知，米，小于安全距离250米．
∴公路上存在两点E、F到的距离为250米，公路上之间到燃放点C的距离均小于250米，
按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁，
连接、，
米，，
，
∵在中，（米），
（米），
即需要封锁的公路长为140米．
18．【详解】（1）解：过作于，
是边长为的等边三角形，
，
不与、重合，
，
；
（2）解：过作于，
是边长为的等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
．
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