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北师大版2025—2026学年八年级下册数学第一次学情自测·培优卷
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列根式中的最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
3．二次根式有意义，则x满足的条件是（　　）
A．x＜2 B．x＞2 C．x≥2 D．x≤2
4．三条边分别是a，b，c，则满足下列条件的是直角三角形的是（ ）
A． B．、、
C． D．
5．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．下列计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
7．是一个正整数，则n的最小正整数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（　　）
A．28 B．25 C．30 D．24
9．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则将化简的结果是（ ）
A． B． C． D．4
10．在周长为的直角三角形中，斜边长为，则该三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．比较大小： _____．
12．若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为_____．
13．已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a﹣1|﹣的结果是____________
14．如图，有一个水池，水面是一个边长为丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是______尺．
15．在中，若，，高，则的面积是___________
16．长方体的长宽高分别是3、4、2，一只蚂蚁沿着长方体的外表面从点爬到点，最短路径长为________．
北师大版2025—2026学年八年级下册数学第一次学情自测·培优卷
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：
(1) (2) (3)
18．如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为0.3米，将秋千往前推送米，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为0.8米，秋千的绳索始终保持拉直的状态
(1)求秋千的长度；
(2)如果想要踏板离地的垂直高度为1.8米时，需要将秋千AD往前推送 米
19．如图，折叠等腰三角形纸片，使点C落在边上的F处，折痕为.已知.
(1)求证：.
(2)求.
20．已知．
(1)直接写出___， ___；
(2)试求的值；
(3)试求的值．
21．一个三角形的边长分别为、、．
(1)求它的周长（要求结果化简）；
(2)请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形的周长的值．
22．【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：等．
【猜想】（1） ；
【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明．
【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值．
23．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．

(1)海港C会受台风影响吗？为什么？
(2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？
24．已知，在中，，是上的一点，连接，在直线右侧作等腰．

(1)如图1，，连接，求证：；
(2)如图2，，取边中点，连接．当点从点运动到点过程中，求线段长度的最小值；
(3)如图3，四边形中，，连接，已知，求的长．
25．已知：如图1．在平面直角坐标系中，直线交两坐标轴于点、两点，满足．

(1) ， ；
(2)为第二象限的一点，轴于．若，在坐标轴上是否存在点，使，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由；
(3)如图2，为第四象限上一点，过点作轴、轴的垂线交直线于、两点，且，
①证明：；②求．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B B D D C A D B
二、填空题
11．
12．10或
13．2a-3/-3+2a
14．
15．66或126
16．
三、解答题
17．【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
18．【详解】（1）解：由题意知，米，米，米，
∴（米），
设米，则米，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
即秋千的长度为米；
（2）解：∵踏板离地的垂直高度为米，
∴（米），
∴（米），
即需要将秋千往前推送米，
故答案为：．
19．【详解】（1）由折叠性质，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵
∴
∴
在中，，
∴，
解得：．
20．【详解】（1）解：∵，
∴；
；
故答案为：4；1．
（2）解：∵，，
∴
．
（3）解：∵，，
，
∴
．
21．【详解】（1）解：一个三角形的三边长分别为为、、，
这个三角形的周长是：
；
这个三角形的周长是：；
（2）解：当时，这个三角形的周长是：．
∴当时，这个三角形的周长是（答案不唯一）．
22．【详解】解：（1），证明如下，
，
故答案为：；
（2），证明如下，
；
（3）∵
∴根据（2）规律可得：，
解得：，
∴．
故答案为：．
23．【详解】（1）解：如图所示，过点C作于D点，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
∴海港C会受到台风影响；
（2）解：由（1）得，
如图所示，当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形，
，
∴，
∵台风的速度为，
∴，
∴台风影响该海港持续的时间有．
24．【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）取中点，连接，

由①可得，
∵点是中点，
∴，
∴当时，最短，即此时最短，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，设，
∴，
解得，
∴，即的最小值为1；
（3）过点作交的延长线于点，过点作交于点，如下图，

∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，设，
∴，
解得，
∴，
∴．
25．【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：如图，作线段的垂直平分线交x轴于，交y轴于C．连接．

∵
∴
设，则，
∵
∵，
∴，
解得，
∴；
设，
∴，
解得，
∴；
综上，点C的坐标为或；
（3）①如图，设分别交轴于点，分别作的垂直平分线交于点，连接，

∴，
∵
∴
∴，
又∵
∴是等腰直角三角形，
∴
由题意得：，
∴，，
∴，，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
又∵都是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴
即；
②∵过点作轴、轴的垂线交直线于、两点，为第四象限上一点，则，
∴，

∵轴，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理可得，，
∴，，
∴
由①可得
∴
∴
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