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2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（　　）
A．（0，5） B．（1，2） C．（﹣2，1） D．（2，1）
3．在平面直角坐标系中，点A（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（3，4） B．（3，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣3，4）
4．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝43°，则∠AOB的度数是（　　）
A．83° B．84° C．86° D．87°
5．已知抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0，a，k为常数），A（﹣3，y1）B（3，y2）C（4，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
6．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转40°得到△DBE．若AB⊥DE，则∠A的度数为（　　）
A．50° B．45° C．40° D．35°
7．用一个圆心角是120°，半径是3的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为（　　）
A．1 B． C． D．2
8．已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有实数根，则系数k的取值范围是（　　）
A． B．
C．且k≠0 D．且k≠0
9．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE AB，已知AB为2米，则线段BE的长为（　　）
A． B． C． D．3
10．如图，二次函数：y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x＝1，点B坐标为（﹣1，0），则下面的五个结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③当y＜0时，x＜﹣1或x＞3；④2c+3b＝0；⑤a+b≥am2+bm（m为任意实数），其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.）
11．方程x2＝﹣x的解是　 　 ．
12．将抛物线y＝﹣2x2先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式为 　 　 ．
13．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是57，则每个支干长出　 　 根小分支．
14．如图，在扇形AOB中，半径OA的长为3，点C在弧AB上，连接AC，BC，OC．若四边形OBCA为菱形，则图中阴影部分的面积为 　 　 ．
15．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为 　 　 ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分.）
16．关于x的一元二次方程x2+mx﹣15＝0有一个根是x＝3，求m的值及方程的另一个根．
17．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C为⊙O上的点，AC平分∠DAE．AE⊥CD于点E．求证：CD与⊙O相切．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3），将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA'B'，点A旋转后的对应点为A′．
（1）画出旋转后的图形△OA'B'，并写出点B'的坐标；
（2）求点B旋转过程中所经过的路径长？（结果保留π）
三、解答题（＝）（本大题共3小题，每小题9分，共27分.）
19．探究：已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…容易发现，10是三角形点阵中前4行的点数和．（提示：）．
（1）三角形点阵中前10行的点数和是　 　 ；
（2）若三角形点阵中前a行的点数之和为210，求a的值；
（3）三角形点阵中前b行的点数之和能是300吗？若能，求出b的值；若不能，试用一元二次方程说明道理．
20．根据以下素材，探索并完成任务．
探究汽车刹车性能
“道路千万条，安全第一条”．刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车性能的相关问题（反应时间忽略不计）．
素材1 刹车时间：驾驶员从开始踩刹车到汽车完全停止，汽车所行驶的时间． 刹车距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的距离．
素材2 汽车研发中心设计一款新型汽车，某兴趣小组成员记录了模拟汽车在公路上以某一速度匀速行驶时的刹车性能测试数据，具体如下：
刹车后汽车行驶时间x（s） 0 1 2
刹车后汽车行驶距离y（m） 0 27 48
素材3 该兴趣小组成员发现：①刹车后汽车行驶距离y（单位：m）与行驶时间x（单位：s）之间具有函数关系y＝ax2+bx（a≠0、a、b为常数）；②刹车后汽车行驶距离y随行驶时间x的增大而增大，当汽车刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．
问题解决：请根据以上信息，完成下列任务．
（1）任务一：求y关于x的函数表达式；
（2）任务二：汽车司机发现正前方70m处有一个障碍物在路面，立刻刹车，判断该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物？请说明理由．
21．已知△BCD是⊙O的内接正三角形．
（1）仅用无刻度直尺找到劣弧BD中点A，并连接AB、AD，求证：AC＝AB+AD；
（2）如图②，点A为劣弧BD上任意一点，探究此时线段AB、AD与AC的数量关系，并证明你的结论．
三、解答题（三）（共2小题，第22题13分、第23题14分，共27分.）
22．（13分）某地有一座抛物线形拱桥（如图①），桥下水面宽度AB为48m，拱顶高出水面18m（即CD＝18m，CD⊥AB）．
（1）现有一艘宽14m，船舱顶部高出水面16.5m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？
（2）若此桥为圆弧形拱桥（如图②，其中点O为圆心，CD⊥AB）
①求出该圆弧形拱桥所在圆的半径的长度；
②那么宽14m，船舱顶部高出水面16.5m的货船能否通过这座桥？
23．（14分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c与y轴交于C，与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，作直线AC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图，点D是直线AC上方抛物线上的一动点，过D作DE∥y轴交AC于点E，DG⊥AC交AC于点G，是否存在一点D，使△DEG的周长取得最大值，若存在，求出点D坐标．若不存在，请说明理由；
（3）在（2）中△DEG的周长取得最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请求出点N的横坐标．
2025-2026学年上学期九年级期中数学
参考答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D C C A A D A C
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.）
11．0或﹣1　 ．
12．y＝﹣2（x﹣2）2+1．
13．7．
14．π．
15．140°．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分.）
16．解：由题意可得：9+3m﹣15＝0，
解得：m＝2，
设方程的另一个根为x2，
则：3x2＝﹣15，
解得：x2＝﹣5，
∴m＝2，方程的另一个根为﹣5．
17．解：连接OC，
∵AC平分∠DAE，
∴∠DAE＝2∠DAC，
∵∠DOC＝2∠DAC，
∴∠DOC＝∠DAE，
∴OC∥AE，
∵AE⊥CD于点E，
∴∠OCD＝∠E＝90°，
∵OC是⊙O的直径，且CD⊥OC，
∴CD与⊙O相切．
18．解：（1）如图，△OA'B'即为所求．
由图可得，点B'的坐标为（﹣3，﹣4）．
（2）由勾股定理得，OB＝＝5，
∴点B旋转过程中所经过的路径长为＝．
三、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分.）
19．解：（1）由题知，
三角形点阵中前1行的点数和是：1＝1；
三角形点阵中前2行的点数和是：3＝1+2；
三角形点阵中前3行的点数和是：6＝1+2+3；
…，
所以三角形点阵中前n行的点数和是：1+2+3+…+n＝．
当n＝10时，
，
即三角形点阵中前10行的点数和是55．
故答案为：55；
（2）由得，
a＝20（舍负），
所以a的值为20；
（3）不能，理由如下：
由得，
＝，
因为此方程的解不是正整数，
所以三角形点阵中前b行的点数之和不能是300．
20．解：（1）由题意知，y＝ax2+bx（a≠0、a、b为常数）
将（1，27），（2，48），代入y＝ax2+bx得：
，
解得，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣3x2+30x；
（2）会．
理由如下：∵y＝﹣3t2+30t＝﹣3（t﹣5）2+75，
∴当t＝5时，汽车停下，行驶了75m，
∵70＜75，
∴该车在不变道的情况下会撞到障碍物．
21．解：（1）连接CO并延长交⊙O于点A，如图，
则点A为劣弧BD的中点；
证明：连接OB，OD，
∵△BCD是⊙O的内接正三角形，
∴∠BCD＝60°，BC＝CD，
∴，
∴CA⊥BD，
∴，
∴AB＝AD，∠BCA＝∠DCA＝BCD＝30°，
∴∠AOB＝∠AOD＝60°，
∵OA＝OB＝OD，
∴△OAB，△OAD为等边三角形，
∴AB＝AD＝OA，
∴AB+AD＝2OA，
∵AC＝2OA，
∴AC＝AB+AD；
（2）线段AB、AD与AC的数量关系为：AC＝AB+AD．
证明：延长DA至点E，使AE＝AB，连接BER，如图，
∵△BCD是⊙O的内接正三角形，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠DBC＝60°，BC＝BD，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠EAB＝∠BCD＝60°，
∵AE＝AB，
∴△AEB为等边三角形，
∴BE＝AB，∠ABE＝∠E＝60°，
∴∠ABE＝∠DBC＝60°，
∴∠ABE+∠ABD＝∠DBC+∠ABD，
∴∠EBD＝∠ABC，
在△EBD和△ABC中，
，
∴△EBD≌△ABC（SAS），
∴DE＝AC，
∵DE＝AD+AE＝AD+AB，
∴AC＝AB+AD．
三、解答题（三）（共2小题，第22题13分、第23题14分，共27分.）
22．解：（1）货船不能顺利通过这座桥，理由：
以D为坐标原点建立坐标系如图，
根据题意得：CD＝18m，AD＝BD＝24m，
∴A（﹣24，0），B（24，0），C（0，18），
设抛物线为y＝ax2+18，
代入A的坐标得，576a+18＝0，
解得a＝﹣，
∴抛物线为y＝﹣x2+18，
设MN＝14m，
∵MN⊥y轴，
∴MH＝MN＝7m，
∴M点横坐标为﹣7，
把x＝﹣7代入y＝﹣x2+18，得y＝，
∴DH＝m＜16.5m，
∴货船不能顺利通过这座桥；
（2）①连接OA，
根据题意得：CD＝18m，AB＝48m，
则AD＝AB＝24m，
设这座拱桥所在圆的半径为xm，
则OA＝OC＝xm，OD＝OC﹣CD＝（x﹣18）m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
则x2＝（x﹣18）2+242，
解得：x＝25，
∴该圆弧形拱桥所在圆的半径为25m；
②货船能顺利通过这座拱桥．理由：
连接OM，
设MN＝14m，
∵OC⊥MN，
∴MH＝MN＝7m，
在Rt△OMH中，OH＝＝24（m），
∵OD＝OC﹣CD＝25﹣18＝7（m），
∵OH﹣OD＝24﹣7＝17（m）＞16.5m，
∴货船能顺利通过这座拱桥．
23．解：（1）∵与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，
∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；
（2）延长DE交x轴于点F，
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∴OC＝OA＝3，
∴∠CAO＝∠AEF＝45°，
∴∠DEG＝45°，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴DG＝EG＝DE，
∴△DEG的周长＝（1+）DE，
∴当DE最大时，△DEG的周长取最大值，
设直线AC的解析式为y＝kx+3，
∴﹣3k+3＝0，
解得k＝1，
∴y＝x+3，
设D（t，﹣t2﹣2t+3），则E（t，t+3），
∴ED＝﹣t2﹣2t+3﹣t﹣3＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+）2+，
当t＝﹣时，DE取最大值，此时D（﹣，）；
（3）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
设M（﹣1，m），N（n，﹣n2﹣2n+3），
当MN为平行四边形的对角线时，﹣1+n＝1﹣，
解得n＝，
∴N点横坐标为；
当MB为平行四边形的对角线时，﹣1+1＝n﹣，
解得n＝，
∴N点横坐标为；
当MD为平行四边形的对角线时，﹣1﹣＝n+1，
解得n＝﹣，
∴N点横坐标为﹣；
综上所述：N点横坐标为或或﹣．

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