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杭州市拱墅区启正中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．已知＝，则的值是（　　）
A． B． C．2 D．
2．函数是y＝x2向右平移2个单位后的解析式是（　　）
A．y＝﹣x2+2 B．y＝x2+2 C．y＝（x﹣2）2 D．y＝（x+2）2
3．把y＝x2﹣4x+5化为顶点式，得（　　）
A．y＝（x﹣2）2+5 B．y＝（x﹣2）2+1
C．y＝（x+2）2+1 D．y＝（x+2）2+5
4．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点H．若AB＝10，CD＝8，则BH的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（　　）
A． B．1 C． D．
6．已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（　　）
A．y＝（x+1）2 B．y＝2（x﹣1）2
C．y＝﹣2（x+1）2 D．y＝﹣2（x﹣1）2
7．如图，AB为⊙O的直径，点C是弧BE的中点．过点C作CD⊥AB于点G，交⊙O于点D，若BE＝8，BG＝3，则⊙O的半径长是（　　）
A．4 B．5.5 C． D．
8．如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是（　　）
A．48度 B．64度 C．96度 D．132度
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点D；②分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E；③连接AE交BC于点F．若BF＝2，CF＝6，则下列结论错误的是（　　）
A．AF⊥BC B．AB＝3 C．∠B＝∠CAF D．AF2＝BF CF
10．如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，点D在边AB上，点E在线段CD上，EF∥AB交BC于点F，EG∥BC交AC于点G，若EF＝EG，则BD的长为（　　）
A．2 B． C． D．无法确定
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴是直线　 　 ．
12．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E为CD边上一点，将△ADE绕点A旋转至△ABE′，连接
EE′，若DE＝2，则EE′的长等于 　 　 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果AD＝BC＝1，那么BD的长是　 　 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，OD∥AC，∠COD＝50°，则∠D的度数为 　 　 ．
15．抛物线y＝a（x﹣1）2+k的部分图象如图所示，则a+k＝　 　 ．
16．定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形”，则BP的长为 　 　 ．
三、解答题（本题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）与B（﹣1，6）．
（1）求b，c的值．
（2）求该二次函数图象的顶点坐标．
（3）若0＜x＜3，求函数值y的取值范围．
18．如图，已知DE∥BC，FE∥CD．
（1）若AF＝3，AD＝5，AE＝4．求CE的长；
（2）求证：．
19．如图，⊙O的弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD．求证：
（1）＝；
（2）EB＝ED．
20．如图，已知四边形ABCD对角线AC，AC交于点E，点F是BD上一点，连结AF，且∠BAC＝∠FAD＝∠CDB．
（1）求证：△ABF∽△ACD．
（2）若BC＝12，AD＝27，DF＝18，求AC的长．
21．某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）若队员与篮圈中心的水平距离为7m，篮圈距地面3m，问此球能否准确投中？
22．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，P在AB边上，PD⊥AC于D，点E在P的右侧．
（1）若设PD为x，则△APD的面积是多少．
（2）若P是AB边上的动点，P从点A出发，沿AB方向运动，始终有PE＝1，当E到达点B时，P停止运动，求整个运动过程中，阴影部分面积S1+S2的最小值．
23．已知二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2（a为常数，且a≠0）．
（1）若该函数图象经过点（﹣2，0），求a的值．
（2）若当x＞﹣1时，y随x增大而减小，求a的取值范围．
（3）若a＞0，则关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根大于0小于1，求a取值范围．
24．【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BC＝CD，求证：BC2＝BD AB．
【尝试应用】
（2）如图2，在△AEC中，∠E＝90°，D为AE边上一点，若∠A＝2∠ECD，ED AC＝5，求CD的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在四边形ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，AD＝DC＝2，，点F是边DA延长线上一点，连接CF交边AB于点M，过点C作∠FCE＝∠B交射线BA于点E，设AM＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式．
杭州市拱墅区启正中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷
参考答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B D B B C C B C
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．x＝1．
12．4．
13．．
14．25°．
15．3．
16．或．
三、解答题（本题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解：（1）把点A（3，0）和B（﹣1，6）代入y＝﹣x2+bx+c，
，
解得，
∴b＝，c＝；
（2）由（1）得解析式为：y＝﹣x2+x，
顶点横坐标x＝﹣＝，
代入求纵坐标y＝，
所以顶点：（，）；
（3）已知y＝﹣x2+x，
∴开口向下，
顶点（，）是最大值点，
对称轴为直线x＝，
∴0＜x＜时，函数单调递增，当x＝0时，y有最小值，y＝，
时，函数单调递减，当x＝时，y有最大值，y＝，
当x＝3时，有最小值，y＝0，
又∵，
∴当0＜x＜3时，0．
18．（1）解：由题意可知：DF＝AD﹣AF＝5﹣3＝2，
∵FE∥CD，
∴，
即，
∴；
（2）证明：由题意可知：，
∵FE∥CD，
∴，
∴．
19．证明：（1）∵AB＝CD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
即＝；
（2）∵＝，
∴∠B＝∠D，
∴EB＝ED．
20．（1）证明：已知四边形ABCD对角线AC，AC交于点E，∠BAC＝∠FAD＝∠CDB，
∴∠BAC+∠CAF＝∠FAD+∠CAF，
∴∠BAF＝∠CAD，
∵∠DAF+∠ADB＝∠AFB，∠ADC＝∠ADF+∠CDB，且∠FAD＝∠CDB，
∴∠AFB＝∠ADC，
∴△ABF∽△ACD；
（2）解：∵△ABF∽△ACD，
∴，
∴，
∵∠BAC＝∠FAD，
∴△BAC∽△FAD，
∴，
∵BC＝12，AD＝27，DF＝18，
∴，
∴AC＝18．
21．解：（1）根据题意结合图形可得，球出手时的坐标为（0，），抛物线的顶点坐标为（4，4），
设抛物线解析式为：y＝a（x﹣4）2+4，
将点（0，）代入y＝a（x﹣4）2+4可得：
＝16a+4，
∴a＝﹣，
则抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣4）2+4；
（2）令x＝7，则y＝﹣×9+4＝3，
即点（7，3）在抛物线上，
所以此球能准确投中．
22．解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
设AB边上的高为h，
∴h＝＝，
∵PD⊥AC，
∴PD∥BC，
∴△ADP∽△ACB，
∴＝，
∴AD＝x，PA＝x，
∴△APD的面积＝PD AD＝x x＝x2；
（2）由（1）可知：BE＝AB﹣AP﹣PE＝5﹣x﹣1＝4﹣x，
∴S1+S2＝x2+（4﹣x）×＝x2﹣2x+＝（x﹣）2+，
∴当x＝时，S1+S2的最小值为．
23．解：（1）将点（﹣2，0）代入二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2（a为常数，且a≠0）得：
4a﹣2（a﹣2）﹣2＝0，
解得a＝﹣1；
（2）∵二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2（a为常数，且a≠0）的对称轴为直线x＝﹣，当a＞0时，二次函数图象开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，不合题意，
当a＜0时，二次函数图象开口向下，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∵当x＞﹣1时，y随x增大而减小，
∴﹣≤﹣1，
解得a≥﹣2，
∴a的取值范围是﹣2≤a＜0；
（3）令y＝0，则ax2+（a﹣2）x﹣2＝0，
即（ax﹣2）（x+1）＝0，
解得：x1＝，x2＝﹣1，
∵该方程有一根大于0小于1，
∴0，
∵a＞0，
∴a＞2．
24．（1）证明：如图1中，∵AB＝AC，BC＝CD，
∴∠ACB＝∠B＝∠CDB，
∵∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴＝，
∴BC2＝BD AB；
（2）解：如图2中，在AE的延长线上取一点F，使得CF＝CD，连接CF．
∵CD＝CF，CE⊥DF，
∴DE＝EF，∠DCE＝∠FCE，∠CDF＝∠F
∵∠A＝2∠DCE，
∴∠A＝∠DCF，
∵∠CDF＝∠A+∠ACD，∠ACF＝∠ACD+∠DCF，
∴∠CDF＝∠ACF＝∠F，
∴AC＝AF，
∵∠F＝∠F，
∴△FCD∽△FAC，
∴＝，
∴CF2＝AF DF，
∴CD2＝2DE AC＝10，
∴CD＝（负根已经舍去）；
（3）解：如图3中，过点C作CH⊥BE于点H．
∵AD⊥AB，CD∥AB，
∴∠D＝∠DAH＝∠AHC＝90°，
∴四边形ADCH是矩形，
∵AD＝CD＝2，
∴四边形ADCH是正方形，
∴CH＝AH＝AD＝CD＝2，
∴BH＝＝＝1，
∵∠E＝∠E，∠ECM＝∠B，
∴△ECM∽△EBC，
∴＝，
∴EC2＝EM EB，
∴22+（2+y）2＝（x+y）（3+y），
整理得y＝.（0≤x＜2且x≠1）．

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