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第3章 复数
3.4 复数的三角表示
1.理解复数的三角表示形式，掌握复数的模、辐角及其计算方法.
2.掌握复数三角形式的乘法、除法运算及其几何意义.
3.能进行复数的代数形式与三角形式的互化.
问题1：你能说说复数的几何意义吗？
复数z=a+bi
直角坐标系中的
点Z(a,b)
一一对应
平面向量
一一对应
一一对应
问题2：复数可以用平面向量表示，是否还可以用其他形式呢？比如用三角函数来表示复数？
x
y
O
a
b
r
Z:a+bi
如图,我们将以x轴的正半轴为始边，以OP为终边的角θ，称为复数z=a+bi的
辐角，记作arg z.
复数的三角表示
当0≤θ＜2π时，我们称为复数z的辐角主值，即
0≤arg z ＜2π.
复数的辐角并不唯一，z的全部辐角arg z
＝θ＋2kπ(k∈Z).
我们将r(cosθ+isinθ)的形式，称为复数的三角形式，
其中 ，cosθ= ，sin θ= .
试一试：已知复数的模为r，辐角为θ，如何表示这个复数？
从图中可以看出，
所以a+bi=+i
=(+i)
其中r=，cos=，sin=
我们将r(cosθ+isinθ)的形式，称为复数的三角形式，
其中 ，cosθ= ，sin θ= .
思考1：z=0时，辐角θ为多少
零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的
如果z=0，则|z|=0，辐角θ可以取任意值，对每个值仍有
z=r(cos θ+isin θ).
思考2：两个复数z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)相等的充要
条件是什么？
| r1 |=| r2 |=0，或|r1 |=| r2 |>0且θ 2 =θ 1 +2kπ，k∈Z .
复数的代数形式 z ＝ a ＋ b i（ a ， b ∈R）与复数的三角形式
z ＝ r （ cos θ＋i sin θ）的互化：
或
2.代数形式与三角形式的互化
1.复数三角形式 z ＝ r （ cos θ＋i sin θ）的特点
（1） r ≥0；
（2）实部为余弦，虚部为正弦；
（3） cos θ与i sin θ之间用“＋”相连；
（4）角要统一.
要点归纳
辨一辨
例1 把下列复数的代数形式化成三角形式：
　　(1) ；　　　 (2) i .
解:(1)因为 r= =2，
　　所以　cos θ=　 .
　　又 对应的点在第一象限内，
　　因而θ= . 所以
(2)因为r=1，而θ= ，所以
显然需要在0≤θ＜2π时，确定复数z的辐角主值，如何确定呢？
1. 复数 z ＝1＋i（i为虚数单位）的三角形式为（　B　）
A. z＝（ sin 45°＋i cos 45°）
B. z＝（ cos 45°＋i sin 45°）
C. z＝[ cos （－45°）－i sin （－45°）]
D. z＝[ cos （－45°）＋i sin （－45°）]
解析：依题意得 r ＝ ＝ ，复数 z ＝1＋i对应的点在第一象限，
且 cos θ＝ ，因此arg z ＝45°，结合选项知B正确.故选B.
B
练一练
1.代数形式化为三角形式的步骤：
(1)先求复数的模r＝|z|，(2)确定Z(a，b)所在的象限，(3)根据象限求出辐角，(4)写出复数三角形式.
2.三角形式中的辐角，不一定是辐角主值，但为使表达式简单，常取辐角主值.
3.三角形式化为代数形式，直接计算三角函数值即可.
复数三角形式与代数形式的互化的一般思路
方法归纳
对于两个复数z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)，试计算z1·z2.
提示：运用正余弦的和角公式.
复数三角形式的乘法运算
想一想：两个复数z1 ， z2相乘，有什么几何意义
两个复数z1=r1(cosθ1+isinθ1)与z2=r2(cosθ2+isinθ2)的乘法公式：
上式表明，两个复数乘积的模等于它们的模的乘积，乘积的辐角等于它们的辐角之和.
你能将公式推广到n个复数相乘吗？
旋转、伸缩
思考：如图，z1·z2对应向量OQ是如何由z1、z2对应的向量Z1、Z2变化得到的？
→
→
→
z 1· z 2＝ r 1 r 2[ cos （θ1＋θ2）＋i sin （θ1＋θ2）]
模数相乘，辐角相加
　推广到n个复数相乘的情形，就是
　 z1 ·z2·…· zn = r1r2 …rn[cos(θ1+ θ2+…+θn)+isin(θ1+ θ2+…+θn)]，其中n∈N+.
　　如果r1=r2=…=rn=r，θ1= θ2 =…= θn =θ，则有
[r(cos θ+isinθ)]n=rn (cos nθ+isin nθ)，其中n∈N+①
棣莫弗公式
例3 已知复数 z 1＝2（ cos ＋i sin ）， z 2＝ （ cos ＋i sin ），
求 z 1 z 2.
解： z 1 z 2＝2（ cos ＋i sin ）× （ cos ＋i sin ）
＝2× ［ cos （ ＋ ）＋i sin （ ＋ ）］
＝ （ cos ＋i sin ）
＝－ ＋ i.
模数相乘，辐角相加
z 1· z 2＝ r 1 r 2[ cos （θ1＋θ2）＋i sin （θ1＋θ2）]
2. 已知i为虚数单位， z 1＝ （ cos 60°＋i sin 60°）， z 2＝2 （ sin 30°－i cos30°），则 z 1· z 2＝（　D　）
A. 4（ cos 90°＋i sin 90°）
B. 4（ cos 30°＋i sin 30°）
C. 4（ cos 30°－i sin 30°）
D. 4（ cos 0°＋i sin 0°）
解析：∵ z 2＝2 （ sin 30°－i cos 30°）＝2 （ cos 300°＋i sin 300°），
∴ z 1· z 2＝ （ cos 60°＋i sin 60°）·2 （ cos 300°＋i sin 300°）
＝4（ cos 360°＋i sin 360°）＝4（ cos 0°＋i sin 0°）.
故选D.
D
练一练
1.将复数z对应向量旋转任意角度α，可以看做乘以哪个复数？
结论：用cosα+isinα乘任意复数z，其几何意义是：将复数z对应的平面向量旋转角α.
2.当α=90°时，你能得到什么结论？
结论：虚数单位i乘任意复数z的几何意义是：将复数z对应的平面向量旋转90°.
3.讨论i =-1及（-i） =-1的几何意义.
议一议：
复数乘法的几何意义
由(－1)z=－z可知，－1乘复数z的几何意义是将复数z对应的向量绕起点旋转180 °变成.
将z连乘两个－1得到(－1)2z，就是将连续旋转两个180 ° ，也就是旋转360°，仍得到自己.
这就是说(－1)2=，(－1)2z=z，(－1)2=1.
按照上面的几何解释，对于(－1)2=1，乘－1就是向后转，乘(－1)2就是后转两次，转回原来的方向.
i =-1及（-i） =-1的几何意义：
当-i自乘时，相当于将向量绕原点O逆时针旋转90°，此时向量变为（1,0），即实轴正方向单位向量，对应数值1.
当i自乘时，相当于将向量绕原点O逆时针旋转90°，此时向量变为（-1,0），即实轴负方向单位向量，对应数值-1.
表示 i 自乘
表示- i 自乘
i =-1及（-i） =-1的几何意义.
复数三角形式的除法运算
提示：乘分母的共轭复数分母有理化.
两个复数z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)，当z2≠0时，
试计算 .
z1
z2
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐
角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
简记为“ ”.
模数相除，辐角相减
　　　例4 计算：
解：原式
3.计算： .
[解]　
＝
＝2（ cos ＋i sin ）
＝1＋ i.
练一练
本节课你学到了哪些知识与方法？

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