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第3章 复数
3.3 复数的几何意义
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数、理解它们之间的一一对应关系.
2.理解复平面、实轴、虚轴、模、共轭复数的概念.
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.
4.掌握复数的代数形式的加、减运算法则，理解复数加减法的几何意义.
若以数轴原点为起点，将方向为数轴的正方向、长度等于单位长度的向量记为e，则每个实数a都可用平行于数轴的向量????????=ae来表示.
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问题2：复数作为数系的扩充，能不能进行几何表示呢？
问题1：实数与数轴上的点有何关系？
每个实数a均与数轴上的点一一对应，实数可以用数轴上的点来表示.
实数的几何意义
复数的几何意义
根据复数相等的定义，任何一个复数 z ＝ a ＋ b i（ a ， b ∈R），都可以由一个有序实数对（ a ， b ）唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数 z ＝ a ＋ b i与有序实数对（ a ， b ）是一一对应的.
有序实数对（ a ， b ）与平面直角坐标系中的点是一一对应的
如图，点 Z 的横坐标是 a ，纵坐标是 b ，复数 z ＝ a ＋ b i（ a ， b ∈R）可用点 Z （ a ， b ）表示.
复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
按上述方式与全体复数建立一一对应关系的平面叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴。实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
复数集C中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系.
复数 z ＝ a ＋ b i 一一对应 复平面内的点 Z （ a ， b ）
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如图，数1用沿x轴正方向的单位向量????????=(????,????)表示，数i用沿y轴正方向的单位向量????????=(????,????)表示.
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想一想：类比实数，你认为复数是否可以借助平面向量来表示呢？
每个实数a都可用平行于数轴的向量????????=ae来表示.
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设复平面上的向量????????的坐标为(a，b)，则????????=????????????+????????????，将这个表达式中的????????,????????分别换成1，i，就得到????????所对应的复数为????+????????.
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要点归纳
复数的几何意义
Z(a,b)
例1 在复平面内，若复数 z ＝（ m 2－ m －2）＋（ m 2－3 m ＋2）i对应的点，请
分别求出满足以下条件的实数 m 的取值范围.
（1）在第二象限；
（2）在直线 y ＝ x 上.
解：（1）由题意得&??????????????????????，
∴&?????????或????∴－1＜ m ＜1.
∴ m 的取值范围是{ m ｜－1＜ m ＜1}.
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（2）由已知得 m 2－ m －2＝ m 2－3 m ＋2，解得 m ＝2.
实部
虚部
满足这些点的坐标需满足什么条件呢？
x
y
O
例2 已知在复平面内， A ， B ， C 三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i.
（1）先描出 A ， B ， C 三点，再求出
向量 ???????? ， ???????? ， ???????? 对应的复数；
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A
B
C
[解]　（1）由复数的几何意义，知
???????? ＝（1，0）， ???????? ＝（2，1），
???????? ＝（－1，2），
∴ ???????? ＝ ???????? － ???????? ＝（1，1），
???????? ＝ ???????? － ???????? ＝（－2，2），
???????? ＝ ???????? － ???????? ＝（－3，1），
∴ ???????? ， ???????? ， ???????? 对应的复数分别为
1＋i，－2＋2i，－3＋i.
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（2）∵｜ ???????? ｜＝ ???? ，
｜ ???????? ｜＝2 ???? ，
｜ ???????? ｜＝ ???????? ，
∴｜ ???????? ｜2＋｜ ???????? ｜2＝｜ ???????? ｜2，
∴△ ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形.
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例2 已知在复平面内， A ， B ， C 三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i.
（2）判断△ ABC 的形状.
???????? ， ???????? ， ???????? 对应的复数分别为
1＋i，－2＋2i，－3＋i.
?
x
y
O
A
B
C
发现：复数模的
计算转化为向量
模的计算.
复数的模
对任意复数 z ＝ a ＋ b i（ a ， b ∈R），将它在复平面上所对应的向量的模 ????????＋???????? 称为复数 z 的模，也称为 z 的绝对值，记作｜ z ｜.
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????????＋???????? 　
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复数模的几何意义
｜ z ｜＝｜ ???????? ｜，即点 Z （ a ， b ）到原点 O 的距离.
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一般地，｜ z 1－ z 2｜为复平面上点 Z 1到 Z 2的距离.
　　想一想：当复数z是实数时，用这个公式算出的|z|是否与以前熟悉的绝对值一致？
如果 b ＝0，那么 z ＝ a ＋ b i是一个实数 a ，它的模等于｜ a ｜（ a 的绝对值）.由模的定义，可知｜ z ｜＝｜ ???????? ｜＝｜ a ＋ b i｜＝ ?.
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例3 已知复数 z 1＝ ???? ＋i， z 2＝－ ???????? ＋ ???????? i.
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（1）求｜ z 1｜及｜ z 2｜并比较大小；
[解]　（1）｜ z 1｜＝｜ ???? ＋i｜＝ （????）????＋???????? ＝2，
｜ z 2｜＝ ?????????????＋???????????? ＝1.
∴｜ z 1｜＞｜ z 2｜.
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（2）设 z ∈C，满足条件｜ z 2｜≤｜ z ｜≤｜ z 1｜的点 Z 的轨迹是什么图形？
[解]　（2）由｜ z 2｜≤｜ z ｜≤｜ z 1｜及（1）知1≤｜ z ｜≤2.
因此，所求的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，
并包括圆环的边界（如图）.
1.若复数 z 满足｜ z ｜2－｜ z ｜－2＝0，则复数 z 对应的点 Z 的轨迹是
（　　）
A. 2个点
B. 1个圆
C. 2个圆
D. 4个点
易错提醒：本题易由｜ z ｜＝2得出 z ＝±2，因此点 Z 的轨迹是2个点（－2，0）和（2，0）, 其实质是混淆了实数的绝对值与复数的模之间的区别，导致错误.
解: 由｜ z ｜2－｜ z ｜－2＝0，可得（｜ z ｜＋1）（｜ z ｜－2）＝0，
而｜ z ｜＋1＞0，所以｜ z ｜＝2，
由复数模的几何意义可知，复数 z 对应的点到原点的距离等于2，
即点 Z 的轨迹是1个圆.故选B.
练一练
B
说说你的求解思路，比较你与同学的答案是否相同.
共轭复数
对任意复数 z ＝ a ＋ b i（ a ， b ∈R），如果保持它的实部 a 不变，将虚部 b 变成它的相反数－ b ，得到的复数 a － b i称为原复数 z 的共轭复数.
　 共轭复数的模一定相等吗？说说理由.
复平面上的两点
P、Q关于x轴对称
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?
它们所对应的复数相互共轭
例如，点P3(4，3)，P4(4，－3)关于实轴对称，它们所对应的复数4+3i与4－3i的实部相同，虚部互为相反数，它们就是相互共轭的关系.
虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数.复数 z 的共轭复数用 ????表示，
即如果 z ＝ a ＋ b i，那么 ???? ＝ a － b i.
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例4　已知 z ＝2－i，则 z （ ???? ＋i）＝（　C　）
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A. 6－2i
B. 4－2i
C. 6＋2i
D. 4＋2i
解析：利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
因为 z ＝2－i，故 ???? ＝2＋i，
故 z （ ???? ＋i）
＝（2－i）（2＋2i）
＝4＋4i－2i－2i2
＝6＋2i.
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C
计算共轭复数z与????的积，你发现了什么？
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它们积是一个实数，并且等于这个复数的模的平方，即 z· ?????= |z|2 =| ?????|2.
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复数加减法几何意义
设 ???????????? ， ???????????? 分别与复数 a ＋ b i， c ＋ d i（ a ， b ， c ， d ∈R）对应，
则 ???????????? ＝（ a ， b ）， ???????????? ＝（ c ， d ）.
由平面向量的坐标运算法则，得
???????????? ＋ ???????????? ＝（ a ＋ c ， b ＋ d ）.
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这说明两个向量 ???????????? 与 ???????????? 的和就是与复数（ a ＋ c ）＋（ b ＋ d ）i对应的向量.
因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行（如图），这就是复数加法的几何意义.
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(1)复数加法的几何意义
(2)复数的减法由对应向量的减法来表示：
　　　　　z1－z2 =(a－c)+(b－d)i
　　　　　? ?????????=(a－c，b－d)
= ???????????????????= ?????????，
其中， ????????与????????同向平行且长度相等.
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(3)复数z=a+bi与任一实数k相乘，其积所对应的向量????????可由复数z对应的向量????????与k的积表示: kz=ka+kbi ? ?????????=(ka，kb)=k ????????.
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这就是说，实数k与复数z相乘就可由实数k与该复数z对应的向量????????的数乘来表示.
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例5 如图，已知复平面上的 　　，O是原点，A，B分别对应复数3+i，2+4i，M是OC，AB的交点.求点C，M对应的复数.
　解: 由于?????????，????????分别对应复数3+i，2+4i，
则?????????= ?????????+?????????对应的复数为(3+i)+(2+4i)=5+5i，
即点C所对应的复数.
　　 ?????????=　 ???????? 对应的复数为　(5+5i)= ，
即点M所对应的复数.
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2. 在复平面内， ???????? ， ???????? 对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则 ???????? 对应的复数为（　A　）
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A. －1－5i
B. －1＋5i
C. 3－4i
D. 3＋4i
解析： ???????? ＝ ???????? － ???????? ＝（－2－3i）－（－1＋2i）＝－1－5i.
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A
练一练
3. 在复平面内， O 为原点，向量 ???????? 对应的复数为－1＋2i，若点 A 关于直线 y ＝－ x 的对称点为点 B ，则向量 ???????? 对应的复数为（　B　）
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A. －2－I
B. －2＋i
C. 1＋2i
D. －1＋2i
解析：因为复数－1＋2i对应的点为 A （－1，2），点 A 关于直线 y ＝－ x 的对称点为 B （－2，1），所以 ???????? 对应的复数为－2＋i.
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B
练一练
本节课你学到了哪些知识？谈谈你的收获.
1.复数z=-1-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
C
2. 在复平面内，复数 z ＝（ a 2－2 a ）＋（ a 2－ a －2）i对应的点在虚轴上，则 a 的值为（　A　）
A. a＝0或a＝2
B. a＝0
C. a≠1且a≠2
D. a≠1或a≠2
解析：∵复数 z ＝（ a 2－2 a ）＋（ a 2－ a －2）i对应的点在虚轴上，∴ a 2－2 a ＝0，∴ a ＝0或 a ＝2.
A
3. 已知 z 1＝5＋3i， z 2＝5＋4i，下列选项中正确的是（　D　）
A. z1＞z2
B. z1＜z2
C. ｜z1｜＞｜z2｜
D. ｜z1｜＜｜z2｜
解析：∵复数不能比较大小，∴A，B不正确；
又｜ z 1｜＝ ????????＋???????? ＝ ???????? ，
｜ z 2｜＝ ????????＋???????? ＝ ???????? ，
∴｜ z 1｜＜｜ z 2｜，故C不正确，D正确.
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D
4. 已知复数 z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部为－ ???? ，则 ???? 为（　B　）
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A. －????＋2i
B. －????－2i
C. －????＋3i
D. －????－3i
解析：设 z ＝ a ＋ b i（ a ， b ∈R），则&????＝?????，&????????＋????????=????，&????????，
∴ b ＝2，∴ z ＝－ ???? ＋2i，∴ ???? ＝－ ???? －2i，故选B.
?
B

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