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(共16张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
基础巩固　解方程(组)或不等式(组)
类型1　解一次方程(组)
1.解方程：2(x＋5)＝－4x＋16.
解：去括号，得2x＋10＝－4x＋16.
移项，得2x＋4x＝16－10.
合并同类项，得6x＝6.
系数化为1，得x＝1.　　
2.解方程：－＝1.
解：去分母，得5x－2(x－1)＝10.
去括号，得5x－2x＋2＝10.
移项，得5x－2x＝10－2.
合并同类项，得3x＝8.
系数化为1，得x＝.
3.解方程组：
解：将①代入②，得5y－2＝y＋5－3.
解得y＝1.
将y＝1代入①，得x＝2.
∴原方程组的解为　　
4.解方程组：
解：①×2－②，得5x＝5.
解得x＝1.
把x＝1代入①，得3×1＋2y＝2.
解得y＝－.
∴原方程组的解为
类型2　解一元一次不等式(组)
5.解不等式组：
解：解不等式①，得x≥－.
解不等式②，得x＜3.
∴原不等式组的解集为－≤x＜3.　　
6.解不等式组：
解：解不等式①，得x≤3.
解不等式②，得x＜－1.
∴原不等式组的解集为x＜－1.
7.解不等式≥－1，把解集在数轴上表示出来，并求出它的正整数解.
解：去分母，得2(7－x)≥3(x－2)－6.
去括号，得14－2x≥3x－6－6.
移项，得－2x－3x≥－6－6－14.
合并同类项，得－5x≥－26.
系数化为1，得x≤.
将解集在数轴上表示如图所示.
∴原不等式的正整数解为1，2，3，4，5.
类型3　解分式方程
8.解方程：＝.
解：方程两边同乘x(x＋1)，得
20(x＋1)＝24x.
去括号，得20x＋20＝24x.
移项、合并同类项，得－4x＝－20.
系数化为1，得x＝5.
检验：当x＝5时，x(x＋1)≠0，
∴原方程的解是x＝5.　　
9.解方程：2－＝.
解：原方程可化为2－＝.
方程两边同乘5(2x－1)，得
2×5(2x－1)－15＝－1.
去括号，得20x－10－15＝－1.
移项、合并同类项，得20x＝24.
系数化为1，得x＝.
检验：当x＝时，5(1－2x)≠0，
∴原方程的解是x＝.
10.解方程：＋3＝.
解：方程两边同乘(x－2)，得1＋3(x－2)
＝－(1－x).
去括号，得1＋3x－6＝－1＋x.
移项、合并同类项，得2x＝4.
系数化为1，得x＝2.
检验：当x＝2时，x－2＝0，
∴x＝2是原方程的增根.
∴原方程无解.　　
11.解方程：＋＝.
解：方程两边同乘x(x－1)，得
3(x－1)＋3x＝x＋5.
去括号，得3x－3＋3x＝x＋5.
移项、合并同类项，得5x＝8.
系数化为1，得x＝.
检验：当x＝时，x(x－1)≠0，
∴原方程的解是x＝.
类型4　解一元二次方程
12.解方程：x2＋2x－8＝0.
解：因式分解，得(x＋4)(x－2)＝0.
∴x＋4＝0或x－2＝0.
解得x1＝－4，x2＝2.
13.解方程：2(x－3)2＝15－5x.
解：原方程可化为2(x－3)2＝5(3－x)，
即2(x－3)2＋5(x－3)＝0.
因式分解，得(x－3)(2x－6＋5)＝0.
∴x－3＝0或2x－1＝0.
解得x1＝3，x2＝0.5.
14.解方程：(x＋1)(x－5)＝2.
解：原方程可化为x2－4x－5＝2.
配方，得x2－4x＋4＝11.
∴(x－2)2＝11.
∴x－2＝±.
解得x1＝2＋，x2＝2－.　　
15.解方程：2x2－5x＋1＝0.
解：∵a＝2，b＝－5，c＝1，
∴Δ＝(－5)2－4×2×1＝17.
∴x＝＝.
∴x1＝，x2＝.(共8张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
综合与实践　面积与代数恒等式验证
某学习小组在综合实践课上，学习了“面积与代数恒等式”，知道很多代数恒等式可以用硬纸片拼成的图形面积来解释.例如，图1可以解释(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn.
于是小明拼出一个边长为(a＋b＋c)的正方形ABCD，如图2所示，用不同方法表示正方形ABCD的面积，即可得到一个代数恒等式.
(1)这个代数恒等式是：(a＋b＋c)2＝______________________________.
　a2＋2ab＋b2＋2bc＋2ac＋c2　
(2)小组成员发现可利用(1)的结论解答下列问题：
①已知a＞b＞c＞0，M＝a＋b＋c，N＝ab＋bc＋ac，且M2＞4N.求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长；
证明：∵M2＞4N2，
∴(a＋b＋c)2＞4(ab＋bc＋ac).
∴(a＋b＋c)2－4(ab＋bc＋ac)＞0.
整理，得a2＋b2＋c2－2ab－2bc－2ac＞0，
即a2－ab－ac＋b2－ab－bc＋c2－bc－ac＞0.
∴a(a－b－c)＋b(b－a－c)＋c(c－b－a)＞0.
∴a(a－b－c)＞b(a－b＋c)＋c(a－c＋b).
∵a＞b＞c＞0，
∴b(a－b＋c)＋c(a－c＋b)＞0.
故a(a－b－c)＞0，即a＞b＋c.
∴a，b，c不能成为一个三角形的三条边长.
②在①的条件下，若M＝15，N＝56，且a，b，c为整数，求a，b，c的值.
解：由①，得a＞b＋c.
又a＋b＋c＝15，
∴a＞7.5.
又a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2ab－2bc－2ac＝113＜121，
∴7.52＜a2＜112.
又a为整数，
即a＝8或a＝9或a＝10.
当a＝8时，b＋c＝7，
则ab＋bc＋ac＝a(b＋c)＋bc＝56，
故bc＝0.
∴a≠8.
当a＝9时，b＋c＝6，
故bc＝2.
又b＞c＞0，且b，c为整数，
∴b＝2，c＝1，此时b＋c≠6.
∴a≠9.
当a＝10时，b＋c＝5，
故bc＝6.
又b＞c＞0，且b，c为整数，
∴b＝3，c＝2，符合b＋c＝5.
综上，a，b，c的值分别为10，3，2.(共16张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
第6课时　一元一次方程及其应用
1.若a＝b，则下列等式变形正确的是(　　)
A.a＋1＝b－1 B.3a＝2b　　
C.－2a＝－2b D.＝
C　
2.(2025贵州)已知x＝2是关于x的方程x＋m＝7的解，则m的值为(　　)
A.3 B.4　　
C.5 D.6
C
3.在解方程－＝1的过程中，变形正确的是(　　)
A.2(3x－1)－3(2x＋1)＝6 B.3(3x－1)－4x－2＝1
C.9x－3－4x＋2＝6 D.3(3x－1)－2(2x＋1)＝6
D
4.(2025连云港)《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢.”(凫：野鸭.所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”)如果设经过x天能够相遇，根据题意，得(　　)
A.x＋x＝1 B.x－x＝1　　
C.7x＋9x＝1 D.9x－7x＝1
A
5.(2025成都)任意给一个数x，按下列程序进行计算.若输出结果是15，则x的值为_______.
3
6.三阶幻方，是中国古代劳动人民智慧的结晶.它由9个数组成一个3×3的方格，且每一横行，每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等.如图，是一个残缺的幻方，根据图中已知的3个数，可得x＝_______.
　8　
7.解方程：
(1)(2025宁德模拟)3(x－2)＋1＝x－1；
解：去括号，得3x－6＋1＝x－1.
移项，得3x－x＝－1＋6－1.
合并同类项，得2x＝4.
系数化为1，得x＝2.　　　
(2)－＝.
解：去分母，得x－1－2(x＋2)＝4.
去括号，得x－1－2x－4＝4.
移项、合并同类项，得－x＝9.
系数化为1，得x＝－9.
8.某公司推出了A，B两款机器人.已知该公司生产5件A款机器人和生产6件B款机器人的成本相同；每件A款机器人的成本比每件B款机器人的成本多2万元.该公司生产的A款机器人和B款机器人每件的成本各是多少万元？
解：设A款机器人每件的成本为x万元，则B款机器人每件的成本为(x－2)万元.
根据题意，得5x＝6(x－2).
解得x＝12.
x－2＝12－2＝10.
答：A款机器人每件的成本为12万元，B款机器人每件的成本为10万元.
9.(2025德阳)在2 000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数，物价各几何.”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱.问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少.设买鸡的人数为x，则x为(　　)
A.5 B.7　　
C.8 D.9
D
10.若x＝2是关于x的一元一次方程ax－b－4＝0的解，则5－4a＋2b的值是_________.
－3
11.学校图书馆新进了一批图书，九年级(8)班承担志愿者服务协助整理，已知由一名同学单独整理需要30 h才能完成.假设每名同学的整理工作效率相同，张老师先安排一部分同学整理1 h，后来又增加6名同学和他们一起整理2 h，恰好完成整理任务.张老师先安排整理图书的同学有多少名？
解：设张老师先安排整理图书的同学有x名.
根据题意，得×1＋(x＋6)××2＝1.
解得x＝6.
答：张老师先安排整理图书的同学有6名.
12. 阅读下面的内容，并完成相应任务.
如果两个一元一次方程的解的和为1，那么我们就称这两个方程互为“美好方程”.
例如：方程5x＝10的解为x＝2，方程x＋1＝0的解为x＝－1.
∵2＋(－1)＝1，
∴方程5x＝10与x＋1＝0互为“美好方程”.
任务：
(1)请判断方程4x－(x＋5)＝1与－2x－1＝3是否互为“美好方程”，并说明理由.
解：方程4x－(x＋5)＝1与－2x－1＝3不互为“美好方程”.理由如下：
解方程4x－(x＋5)＝1，得x＝2.
解方程－2x－1＝3，得x＝－2.
∵2＋(－2)＝0≠1，
∴方程4x－(x＋5)＝1与－2x－1＝3不互为“美好方程”.
(2)若关于x的方程2x＋m＝0与－＝1互为“美好方程”，求m的值.
解：解方程2x＋m＝0，得x＝－.
解方程－＝1，得x＝4.
∵关于x的方程2x＋m＝0与－＝1互为“美好方程”，
∴－＋4＝1.
解得m＝6.(共9张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
综合与实践　鼓山登山路线与速度计算
福州鼓山位于福建省福州市，主峰海拔998 m，总面积达49.7 km2，是第四批国家级风景名胜区.五一假期，小庄来福州旅游，计划游览鼓山风景区，在登山之前，通过查找资料做了以下旅游攻略：
材料一：鼓山拥有丰富的登山路线，以下是几条经典的路线：
路线1——古道线：该路线从廨(xiè)院出发，途经喝水岩、十八景等点，最终到达涌泉寺(山顶)，全程石板路，路程约4 km.
路线2——松之恋线：起点为廨院(松之恋登山道入口与廨院相近)，终点为涌泉寺，全程约3.5 km.该路线坡度较缓，适合休闲出行.
路线3——骑行线：起点为山脚下院(与廨院起点相近)，沿盘山公路骑行，终点为涌泉寺，全程约8 km.该路线为公路，适合快速上、下山.
材料二：对于陡峭路线(如古道)，下山速度通常是上山速度的2倍到3倍；对于平缓路线(如松之恋线)，下山速度通常是上山速度的1.2倍到1.5倍；对于骑行路线(公路)，下山骑行速度大约是上山骑行速度的2倍.
材料三：在登山前，小庄将自己近一年的登山的具体时长整理成如下表格：
山名 路线名称 长度/km 登山时长
武夷山 天游峰登山步道 1.5 45 min
泉州清源山 主步道 3.5 2 h
龙岩冠豸(zhài)山 石门湖→长寿亭步道 5 3.125 h
宁德太姥(mǔ)山 悬空栈道环线 9 4.5 h－5 h
假设小庄的上山步行速度v km/h恒定，下山速度基于路线类型和方式确定.他在登山时从廨院出发，选择一条路线至涌泉寺，然后再选择一条下山路线返回起点.
(1)若小庄选择骑行线上、下山，整个行程用时1 h，求小庄上山骑行的速度；
解：骑行线全程为8 km(上山8 km，下山8 km)，总行程用时1 h.
根据材料二，骑行路线下山速度大约是上山速度的2倍.
设上山速度为x km/h，则下山速度为2x km/h.
∴上山时间为 h，下山时间为＝ h.
∴＋＝1.
解得x＝12.
经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意.
答：小庄上山骑行的速度为12 km/h.
(2)若小庄从廨院步行至涌泉寺，再步行返回，请你设计小庄的一条步行路线(例如：从某路线上山，从某路线下山)，使他以材料三中任意合理的速度上、下山时，整个行程的总时间都不超过4 h，并说明理由.
解：设计方案：上山走松之恋线(路线 2)，下山走古道线(路线 1).
上山距离：3.5 km(松之恋线)，
下山距离：4 km(古道线).
理由：
根据材料三，小庄的上山步行速度范围为＝1.6(km/h)(龙岩冠豸山)到＝2(km/h)(武夷山或宁德太姥山最小时间).
下山速度根据路线类型确定(材料二)：
古道线(陡峭)，下山速度为上山速度的2倍到3倍，最小倍数为 2；
松之恋线(平缓)，下山速度为上山速度的1.2倍到1.5倍，最小倍数为1.2.
∵整个行程的总时间不超过4 h，
∴需考虑上山速度最小且相应的下山速度倍数最小.
∵对于本方案，上山路线为松之恋线(平缓)，下山路线为古道线(陡峭)，
又最小上山速度v＝1.6 km/h，
下山速度最小倍数的路线为古道线，最小倍数为2，
∴下山速度最小为2×1.6＝3.2(km/h).
∵上山时间为＝2.187 5(h)，
下山时间为＝1.25(h)，
∴2.187 5＋1.25＝3.437 5＜4.
∵当上山速度更大(如2 km/h)或下山速度倍数更大时，总时间更短，均小于4 h，
∴以材料三中任意合理的上山速度(在1.6 km/h和2 km/h之间)和对应的下山速度上、下山，总时间均不超过4 h.(共18张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
第7课时　二元一次方程(组)及其应用
1.若是关于x，y的二元一次方程x－ay＝4的一组解，则a的值为(　　)
A.1 B.2　　
C.3 D.－3
C
2.已知二元一次方程组则m＋n的值是(　　)
A.－2 B.－1　　
C.0 D.1
B　
3.(2025龙岩模拟)我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房.设该店有客房x间，房客y人，下列方程组中正确的是(　　)
A.　　
C.
A
4.已知是二元一次方程ax－by＝－2的一个解，则4b－20a＋1的值为_______.
5
5.若关于x，y的二元一次方程组的解是则关于x，y的二元一次方程组的解是　　 .
　　
6.解方程组：
(1)
解：由①＋②，得3x＝12.
解得x＝4.
将x＝4代入②，得4＋y＝5.
解得y＝1.
∴原方程组的解为　　
(2)
解：①×2＋②，得5x＝5.
解得x＝1.
将x＝1代入①，得1－2y＝3.
解得y＝－1.
∴原方程组的解为
7.(2025长沙节选)为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变.根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6 kg A等级农产品和4 kg B等级农产品共收入112元，销售4 kg A等级农产品和2 kg B等级农产品共收入68元(不考虑加工损耗).求A等级农产品和B等级农产品的销售单价分别为多少元.
解：设A等级农产品的销售单价为x元，B等级农产品的销售单价为y元.
根据题意，得
解得
答：A等级农产品的销售单价为12元，B等级农产品的销售单价为10元.
8.(2025龙东地区)为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1 200元购买足球和篮球用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，则购买方案有(　　)
A.6种 B.7种　　
C.4种 D.5种
C
9.(2025眉山)我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个.”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个.若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为(　　)
A.　　C.
C　
10.如图，该长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为________.
76
11.(2025龙岩模拟)【背景】
住在尤溪的小颖想给亲朋好友寄送尤溪特产.
【素材】
素材1：她了解到某快递公司的收
费标准(单位：元/kg)如下表：
计费单位 收费标准 福建省内 江浙沪地区
首重 a a＋2
续重 b b＋4
素材2：
电子存单1 电子存单2
托寄物：尤溪特产 目的地：福州 计量质量：2 kg 件数：1 总费用：12元 托寄物：尤溪特产
目的地：上海
计量质量：5 kg
件数：1
总费用：36元
素材3：收费说明
①每件快递按送达地分别计算运费；
②运费计算方式：首重价格＋续重×续重运费.首重均为1 kg，超过1 kg即要续重，续重以1 kg为计重单位(不足1 kg按1 kg计算).
【问题解决】
(1)小颖给在厦门的朋友寄出了3.6 kg的尤溪特产，她需要支付快递费多少元？
解：根据题意，得
解得
∵不足1 kg按1 kg计算，
∴3.6 kg按4 kg计算，即10＋2×(4－1) ＝16(元).
∴小颖需要支付快递费16元.
(2)小颖给在杭州的外婆寄特产支付快递费72元，求这份特产质量的取值范围.
解：由(1)，得a＋2＝12，b＋4＝6.
设这份特产按x kg计费.
根据题意，得12＋6(x－1)＝72.
解得x＝11.
∴这份特产的质量大于10 kg，小于等于11 kg.(共20张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
第8课时　一元一次不等式(组)及其应用
1.若a＜b，则下列式子正确的是(　　)
A.a＋1＞b＋1 B.a－1＞b－1　　
C.－a＜－b D.3a＜3b
D　
2.(2025福州二检)若某不等式的解集为x≥2，则该解集在数轴上的表示是(　　)
D
3.(2025宜宾)满足不等式组的解是(　　)
A.－3 B.－1　
C.1 D.3
C
4.(2025莆田二检改编)不等式2x－3＜11的一个正整数解是_____________________________.
1(答案不唯一，x＜7即可)
5.若(1－a)x≤a－1的解集为x≥－1，则a的取值范围是__________.
a＞1　
6.解不等式，并把解集在数轴上表示出来.
(1)＞x－2；
解：去分母，得2x－1＞5x－10.
移项，得2x－5x＞－10＋1.
合并同类项，得－3x＞－9.
系数化为1，得x＜3.
把解集表示在数轴上，如图所示.
(2)1－≤.
解：去分母，得12－3(x－1)≤4(2x＋1).
去括号，得12－3x＋3≤8x＋4.
移项，得－3x－8x≤4－12－3.
合并同类项，得－11x≤－11.
系数化为1，得x≥1.
把解集表示在数轴上，如图所示.
7.解不等式组：
(1)(2025北京)
解：解不等式①，得x＞－3.
解不等式②，得x＜1.
∴原不等式组的解集为－3＜x＜1.　　
(2)
解：解不等式①，得x 1.
解不等式②，得x＜3.
∴原不等式组的解集为x≤1.
8.学校组织的消防知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错扣5分，不答不扣分.小明有2道题未答，若得分要超过90分，他至少要答对多少道题？
解：设小明答对了x道题，则答错了(20－2－x)道题.
根据题意，得10x－5(20－2－x)＞90.
解得x＞12.
答：他至少要答对13道题.
9.若关于x，y的方程组的解满足3x＋2y＞7，则m的最小整数解为(　　)
A.4 B.3　　
C.2 D.1
C
10.(2025南充)不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是__________.
m≤3
11.已知实数a，b满足2a－3b＝4，且a≥－1，b＜2，则a的取值范围是_______________.
－1≤a＜5
12.(2025福州模拟)为设计一类推理型模型，某公司计划投入205万元购进A，B两种型号的芯片共100片.已知购进2片A型芯片和1片B型芯片共需7万元，购进1片A型芯片和2片B型芯片共需5万元.求A型芯片最多购进多少片.
解：设每片A型芯片的价格为x万元，每片B型芯片的价格为y万元.
根据题意，得
解得
∴每片A型芯片的价格为3万元，每片B型芯片的价格为1万元.
设购进A型芯片a片，则购进B型芯片(100－a)片.
根据题意，得3a＋(100－a)≤205.
解得a≤52.5.
∵芯片数量为整数，
∴A型芯片最多购进52片.
13. (2025泉州模拟)已知a，b，c为有理数，且多项式x3＋ax2＋bx＋c能够写成(x2＋3x－4)的形式.
(1)求4a＋c的值；
解：根据题意，得x3＋ax2＋bx＋c
＝(x2＋3x－4)
＝(x－1)(x＋4)，
∴x＝1，x＝－4是方程x3＋ax2＋bx＋c＝0的解.
∴
①×4＋②，得4a＋c＝12，即4a＋c的值为12.
(2)若a，b，c为整数，且c≥a＞1，试求a，b，c的值.
解：∵4a＋c＝12，
∴a＝3－.
∵c≥a＞1，
∴1＜3－≤c.
解得≤c＜8.
∵c为大于1的正整数，
∴c＝3，4，5，6，7.
∵a＝3－，且a为大于1的正整数.
∴c＝4，a＝2.
将c＝4，a＝2代入①，得2＋b＋4＝－1，
解得b＝－7.(共19张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
第10课时　一元二次方程及其应用
1.将一元二次方程2x2－1＝4x化成一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是(　　)
A.2，－1 B.2，4　　
C.2，－4 D.2，1
C
2.用配方法解方程x2－4x－9＝0时，原方程应变形为(　　)
A.(x－2)2＝13 B.(x－2)2＝11　　
C.(x－4)2＝11 D.(x－4)2＝13
A
3.(2025湖北省卷)一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是(　　)
A.x1＋x2＝－4 B.x1＋x2＝3　　　
C.x1x2＝4　 D.x1x2＝3
D　
4.(2025新疆)若关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0无实数根，则实数a的取值范围是(　　)
A.a＜1 B.a＞1　　
C.a≤1 D.a≥1
B　
5.(2025云南)某书店今年3月份盈利6 000元，5月份盈利6 200元.设该书店每月盈利的平均增长率为x.根据题意，下列方程正确的是(　　)
A.6 000(1＋x)2＝6 200 B.6 000(1－x)2＝6 200
C.6 000(1＋2x)＝6 200 D.6 000x2＝6 200
A
6.一元二次方程x2－2x＝0的根是__________________.
　x1＝0，x2＝2
7.(2025苏州)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝_________.
－3
8.解方程：
(1)(y－2)(y－3)＝12；
解：化为一般形式，得y2－5y－6＝0.
因式分解，得(y＋1)(y－6)＝0.
∴y＋1＝0或y－6＝0.
解得y1＝－1，y2＝6.
(2)x2－6x＋1＝0.
解：∵a＝1，b＝－6，c＝1，
∴Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×1＝32.
∴x＝＝3±2.
∴x1＝3＋2，x2＝3－2.
9.某超市准备购进一批每个成本价为40元的小家电，经市场调查预测，售价定为50元时，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个.若超市在全部售空的情况下获利6 000元，且进货量较少，则每个应定价为多少元？
解：设每个小家电的定价增加x元，则销售量为(400－10x)个.
根据题意，得(50－40＋x)(400－10x)＝6 000.
整理，得x2－30x＋200＝0.
解得x1＝20，x2＝10.
∵超市将小家电全部售空，且进货量较少，
∴每个小家电应定价为50＋20＝70(元).
10.(2025泸州)若一元二次方程2x2－6x－1＝0的两根为α，β，则2α2－3α＋3β的值为________.
10
11.(2025南平模拟)已知关于x的一元二次方程x2－(k－1)x＋k2＋1＝0.若方程的两个根分别为m，n，且满足(m－1)(n－1)＝11，求k的值.
解：根据根与系数的关系，得m＋n＝k－1，mn＝k2＋1.
∵(m－1)(n－1)＝11，
∴mn－(m＋n)＋1＝11，
即k2＋1－(k－1)＋1＝11.
整理，得k2－4k－32＝0.
∴k1＝－4，k2＝8.
又方程x2－(k－1)x＋k2＋1＝0有两个实数根，
Δ＝［－(k－1)］2－4×＝k2－2k＋1－k2－4＝－2k－3，
∴－2k－3≥0.
∴k≤－.
∴k＝－4.
12.(2025莆田模拟)某农场计划建造一个矩形养殖场ABCD，为充分利用现有资源，该矩形养殖场的一边BC靠墙(墙的长度为9 m)，其他边均用栅栏围成，中间用与墙垂直的栅栏EF把它分成两个面积为1∶2的矩形，如图所示.已知栅栏的总长度为15 m，设较小矩形中与墙平行的一边AE长为x m.
(1)填空：
①养殖场中每一条与墙垂直的边长均可用含x的代数式________m表示；
②x的取值范围是_____________.
　(5－x)
0＜x≤3　
(2)矩形养殖场ABCD的面积能否达到12 m2？如果能，请求出x的值；如果不能，请说明理由.
解：矩形养殖场ABCD的面积能达到12 m2.根据题意，得3x(5－x)＝12.
整理，得x2－5x＋4＝0.
解得x1＝1，x2＝4.
由(1)可知，0＜x≤3.
∴x＝1.
∴矩形养殖场ABCD的面积能达到12 m2，此时x的值是1.
13. 已知关于x的一元二次方程ax2－bx＋7c＝0有实数根.
(1)求证：b2－28ac为非负数.
证明：∵关于x的一元二次方程ax2－bx＋7c＝0有实数根，
∴Δ＝(－b)2－4a×7c＝b2－28ac≥0.
∴b2－28ac为非负数.
(2)若a，b，c均为奇数，该一元二次方程是否有整数解？说明你的理由.
解：该一元二次方程没有整数解.理由：
假设关于x的一元二次方程ax2－bx＋7c＝0有整数解，为x＝k.
∴ak2－bk＋7c＝0，则ak2－bk＝－7c.
∵c为奇数，
∴－7c也为奇数，故ak2－bk也为奇数.
①若k为奇数，则k2也为奇数.
∵a为奇数，b为奇数，
∴ak2为奇数，bk为奇数.
∴ak2－bk为偶数.
这与ak2－bk为奇数相矛盾，不符合题意.
②若k为偶数，则k2也为偶数.
∵a为奇数，b为奇数，
∴ak2为偶数，bk为偶数.
∴ak2－bk为偶数.
这与ak2－bk为奇数相矛盾，不符合题意.
综上可知，无论k为奇数或偶数都相矛盾，
故该一元二次方程没有整数解.(共16张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
第9课时　分式方程及其应用
1.(2025湖南省卷)将分式方程＝去分母后得到的整式方程为(　　)
A.x＋1＝2x　 B.x＋2＝1　 　　
C.1＝2x D.x＝2(x＋1)
A　
2.(2025绥化)用A，B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每小时多运输15 t，A货车运输450 t所用时间与B货车运输300 t所用时间相等.若设B货车每小时运输化工原料x t，则可列方程为(　　)
A.＝　 B.＝　 　　
C.＝　　 D.＝
C
3.《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题的大意为：把一份文件用慢马送到900里(1里＝500 m)外的城市需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍.根据题意列方程为＝，其中x表示(　　)
A.快马的速度 B.慢马的速度　　
C.规定的时间 D.以上都不对
C　
4.(2025北京)方程＋＝0的解为__________.
x＝2　
5.一项工程，甲队单独做提前2天完成，乙队单独做要延期5天，现在两队合作3天后，余下的由乙队单独做，正好如期完工，设工程期限为x天，可列方程为________________.
＋＝1　
6.解分式方程：
(1)－4＝；
解：方程两边乘(2x－3)，
得1－4(2x－3)＝－5.
解得x＝.
检验：当x＝时，2x－3≠0，
∴原分式方程的解为x＝.　　
6(2)－＝1.
解：方程两边乘(x＋3)(x－3)，
得(x＋3)(x＋2)－5＝(x＋3)(x－3).
解得x＝－2.
检验：当x＝－2时，(x＋3)(x－3)≠0，
∴原分式方程的解为x＝－2.
7.(2025山西)我国自主研发的HGCZ－2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务.一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的千米数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116 km钢轨比一个工作队人工更换80 km钢轨所用时间少22 h.求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米.
解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x km.
根据题意，得－＝22.
解得x＝2.
经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意.
答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2 km.
8.(2025龙东地区)已知关于x的分式方程－＝3的解为负数，则k的值为(　　)
A.k＜－4 B.k＞－4
C.k＜－4且k≠－ D.k＞－4且k≠－
　A
9.(2025齐齐哈尔)如果关于x的分式方程＋＝2无解，那么实数m的值是(　　)
A.m＝1 B.m＝－1　　
C.m＝1或m＝－1 D.m≠1且m≠－1
C　
10. 科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度，如图，密度计悬浮在密度为ρ(单位：g/cm3)的液体中，浸在液体中的高度h(单位：cm)与液体的密度ρ的关系式为ρ＝.已知橘子汁的密度是水的密度的倍，密度计悬浮在水中的高度比悬浮在橘子汁中多4 cm，求水的密度.
解：设密度计悬浸在水中的高度为x cm，则浸在橘子汁中的高度为(x－4)cm.
根据题意，得×＝.
解得x＝20.
当h＝20时，ρ＝＝1.
∴水的密度为1 g/cm3.
11.(2025重庆)列方程解下列问题：
某厂生产甲、乙两种文创产品.每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个.
(1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个.
解：设该厂每天生产的乙种文创产品数量是x个，则每天生产的甲种文创产品数量为(x＋50)个.
根据题意，得3(x＋50)＝4x＋100.
解得x＝50.
∴x＋50＝100.
答：该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是100个、50个.
(2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进.改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍.若生产甲、乙两种文创产品各1 400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量.
解：设每天生产的乙种文创产品增加的数量是y个，则每天生产的甲种文创产品增加的数量是2y个.
根据题意，得－＝10.
解得y＝20.
经检验，y＝20是原分式方程的解，且符合题意.
答：每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个.

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