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(共7张PPT)
第四章　几何初步与三角形
基础巩固　全等三角形的性质与判定
1.(2025自贡)如图，∠ABE＝∠BAF，CE＝CF.求证：AE＝BF.
证明：∵∠ABE＝∠BAF，
∴AC＝BC.
∵∠ACE＝∠BCF，CE＝CF，
∴△ACE≌△BCF(SAS).
∴AE＝BF.
2.(2025陕西)如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BD＝AB，DE∥AB，DE＝BC.求证：BE＝AC.
证明：∵DE∥AB，
∴∠BDE＝∠ABC.
∵BD＝AB，DE＝BC，
∴△BDE≌△ABC(SAS).
∴BE＝AC.
3.(2025遂宁节选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，且AF⊥AB，CE⊥CD.求证：△ABF≌△CDE.
证明：∵AF⊥AB，CE⊥CD，
∴∠BAF＝∠DCE＝90°.
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CDE.
∵BE＝EF＝FD，
∴BF＝DE.
∴△ABF≌△CDE(AAS).
4.如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC与BD交于点O.求证：OA＝OD.
证明：∵在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，
∴△ABC和△DCB都是直角三角形.
在Rt△ABC和Rt△DCB中，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL).
∴∠ACB＝∠DBC，
AC＝BD.
∴OB＝OC.
∴AC－OC＝BD－OB.
∴OA＝OD.
5.(2025河北)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD.
(1)求证：△ABC≌△AFD；
证明：∵∠BAF＝∠EAD，
∴∠BAF－∠CAF＝∠EAD－∠CAF，即∠BAC＝∠FAD.
又AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，
∴△ABC≌△AFD(ASA).
(2)若BE＝FE，求证：AC⊥BD.
证明：∵△ABC≌△AFD，
∴AB＝AF.
∵BE＝FE，
∴AE⊥BF，即AC⊥BD.(共9张PPT)
第四章　几何初步与三角形
基础巩固　相似三角形的性质与判定
1.(2025湖北节选)如图，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D落在边AB上，连接BE.求证：△BCE∽△ACD.
证明：由旋转性质，得
CD＝AC，CE＝CB，∠BCE＝∠ACD.
∴＝.
∴△BCE∽△ACD.
2.如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，点E在AC上，且ED＝EC.若＝，BC＝14，求CE的长.
解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD.
∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD.
∴∠EDC＝∠BCD.
∴DE∥CB.
∴△ADE∽△ABC.
∴＝.
∵＝，∴＝.
∴＝.
∴DE＝6.
∴CE＝6.
3.如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，∠B＋∠CDE＝180°.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
证明：∵∠ADE＋∠CDE＝180°，∠B＋∠CDE＝180°，
∴∠ADE＝∠B.
又∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC.
(2)若BC＝6，AD＝AB，求DE的长.
解：∵AD＝AB，∴＝.
又△ADE∽△ABC，
∴＝＝.
∴DE＝BC＝×6＝4.
4.如图，在四边形ABCD中，E为边CD上一点，BD与AE交于点F，且DE2＝EF AE，∠ABD＝∠EAD.求证：AB∥CD.
证明：∵DE2＝EF AE，∴＝.
∵∠DEF＝∠AED，
∴△DFE∽△ADE.
∴∠EDF＝∠EAD.
∵∠ABD＝∠EAD，
∴∠ABD＝∠EDF.
∴AB∥CD.
5.如图，等边三角形ABC的边长为5，P为BC上的一点，D为AC上的一点，连接AP，PD，∠APD＝60°.若PC＝3，求CD的长.
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°.
∵∠APD＝60°，
∴∠APB＋∠CPD＝120°.
在△APB中，∠APB＋∠BAP＝120°，
∴∠BAP＝∠CPD.
∴△ABP∽△PCD.
∴＝.
∵等边三角形ABC的边长为5，PC＝3，
∴AB＝BC＝5，BP＝BC－PC＝5－3＝2.
∴＝.
∴CD＝.(共14张PPT)
第四章　几何初步与三角形
第28课时　解直角三角形的应用
1.(2025长春)如图，已知某山峰的海拔高度为m m，一位登山者到达海拔高度为n m的点A处.测得山峰顶端B的仰角为α，则A，B两点之间的距离为(　　)
A.(m－n)sin α m　　 B. m　　 　　
C.(m－n)cos α m　　 D. m
B　
2.如图1是一种方便携带的折叠凳子，图2是它的侧面示意图.已知凳腿AD＝BC＝4 dm，当凳腿AD与水平地面CD的夹角为α时人坐着最舒服，此时凳面AB离地面CD的高度为(　　)
A.4sin α dm
B.4cos α dm　　
C. dm
D. dm
A　
3.(2025辽宁)如图，为了测量树AB的高度，在水平地面上取一点C，在C处测得∠ACB＝51°，BC＝6 m，则树AB的高约为_________m.(结果精确到0.1 m.参考数据：sin 51°≈0.78，cos 51°≈0.63，tan 51°≈1.23)
7.4　
4.(2025内蒙古)如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量.他们将无人机上升并飞行至距湖面90 m的点C处.从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°(A，B，C三点在同一竖直平面内)，则湖泊两端A，B的距离为_______m.(结果保留根号)
　120　
5.(2025绥化)如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i＝1∶(斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比)，堤坝高BC＝15 m，则迎水坡面AB的长度是_____________.
　15 m　
6.如图，某景区建筑物前方有一棵竹子，建筑物底部到竹子的距离BC为2 m.一阵风吹过，竹子的顶端恰好到达该建筑物的顶端，此时测得竹子与水平地面的夹角为75°，求这棵竹子比该建筑物高出多少米.(精确到0.1 m，参考数据：sin 75°≈0.966，cos 75°≈0.259，tan 75°≈3.732)
解：∵在Rt△ABC中，
∠ABC＝75°，BC＝2，
∴AB＝≈7.72，
AC＝BC tan 75°≈7.46.
∴AB－AC＝7.72－7.46≈0.3(m).
∴这棵竹子比该建筑物高出0.3 m.
7.(2025连云港)如图，港口B位于岛A的北偏西37°方向，灯塔C在岛A的正东方向，AC＝6 km，一艘海轮D在岛A的正北方向，且B，D，C三点在一条直线上，DC＝BD.
(1)求岛A与港口B之间的距离；
解：如图，过点B作BM⊥AD，垂足为M.
∵AC⊥AD，BM⊥AD，
∴BM∥AC.
∴△BDM∽△CDA.∴＝.
∵DC＝BD，AC＝6，∴＝.
∴BM＝.
在Rt△ABM中，
AB＝＝≈4 (km).
答：岛A与港口B之间的距离约为4 km.
(2)求tan C.（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34）
解：在Rt△ABM中，
AM＝AB cos 37°≈4×＝.
∵△BDM∽△CDA，
∴＝＝.
∴AD＝AM＝×＝.
在Rt△ADC中，tan C＝＝＝.
8.(2025贵州)某小区在设计时，计划在如图1的住宅楼正前方建一栋文体活动中心.设计示意图如图2所示，已知BD＝28 m，CD＝21 m，该地冬至正午太阳高度角α为35°.如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务.
任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离AB的长；
解：如答图1，过点A作AE⊥CD于点E.
结合题意，得四边形AEDB为矩形，∠AEC＝90°.
∵BD＝28，CD＝21，
∴AE＝BD＝28，AB＝DE.
∵∠CAE＝α＝35°，
∴CE＝AE tan α≈28×0.7＝19.6.
∴AB＝DE＝21－19.6＝1.4(m).
任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿BD方向移动一定的距离(活动中心高度不变)，求该活动中心移动了多少米.(参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70.结果保留小数点后一位)
解：如答图2，过点B作AC的平行线，过点C作BD的平行线，两线交于点Q，BQ，AE交于点T，过点Q作QK⊥BD于点K.
∴∠QBK＝∠ATB＝∠CAE＝35°，四边形CDKQ为矩形.
∴QK＝CD＝21.
∴BK＝≈＝30.
∴DK＝30－28＝2(m).
∴该活动中心移动了2 m.(共11张PPT)
第四章　几何初步与三角形
综合与实践　停车位规划与优化设计
为解决和规范私家车的停车问题，政府在生活区域中便利的地方划定了停车位.小兮通过查询资料发现，停车位的排列方式分为三种：平行式、倾斜式和垂直式.
如图1，平行式停车位长为6 m，宽为2.5 m ；
如图2，倾斜式停车位斜长为6 m ，两斜线的距离(两直线之间的最短距离)保持2.5 m的标准，倾斜角度为30°，45°，60°；
如图3，垂直式停车位长为6 m，宽为2.5 m(出车后的车道宽度不小于5.5 m).
在不考虑停车位边线宽度的情况下，解答下列问题：(≈1.414，≈1.732)
(1)一个倾斜式停车位的面积为________m2.
15
(2)在长度为100 m的停车区域一侧划停车位，最多可以划几个倾斜角为45°的倾斜式停车位？
解：如图，作AB⊥BC于点B.
∵两斜线的距离为2.5 m，
∴AB＝2.5 m.
∵∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，
∴AB＝BC＝2.5 m，
AC＝＝＝.
∵∠EDF＝45°，∠DEF＝90°，DF＝6 m，
∴△DEF为等腰直角三角形.
∴DE＝3 m.
∴(100－3)÷≈27(个).
∴最多可以划27个倾斜角为45°的倾斜式停车位.
(3)现有一新建小区需要规划停车位，已知道路全长100 m，宽10 m，为方便出入，除停车位外，留给车辆行驶的道路宽度至少为4 m.请问如何规划方式，能使停车位尽可能多，且不影响车辆运行.
解：由题意，得可用于规划停车位的宽度为10－4＝6(m).
(ⅰ)规划为平行式停车位：
∵平行式停车位长为6 m，宽为2.5 m，
∴此时规划停车位可以双列，规划停车位可以分布在路两旁.100÷6≈16.7，
∴一列可规划16个停车位.
∴总的可规划停车位为2×16＝32(个).
(ⅱ)规划为倾斜式停车位：
①当倾斜角为45°时，
由(2)可知，EF＝3 m≈4.242 m，
∴此时规划停车位只能单列，总的可规划停车位27个.
②如图，当倾斜角为60°，即∠ACB＝∠EDF＝60°时，∠BAC＝∠EFD＝30°，则AC＝2BC，DE＝DF＝3 m，
∴EF＝＝3 m≈5.19 m.
∴此时规划停车位只能单列.
∵AC＝≈2.89(m)，
∴总的可规划停车位为(100－3)÷2.89≈33(个).
③如图，当倾斜角为30°，即∠ACB＝∠EDF＝30°时，
则AC＝2AB＝5 m，EF＝DF＝3 m，
∵10－2×3＝4(m)，
∴规划停车位可以分布在路两旁.
∵DE＝＝＝3(m)，(100－3)÷5≈18.96，
∴一列可规划18个停车位.
∴总的可规划停车位：2×18＝36(个).
(ⅲ)规划为垂直式停车位：
∵垂直式车位长为6 m，宽2.5 m，
∴道路宽还剩10－6＝4(m).
∵垂直式停车位出车后的道路宽不小于5.5 m，
∴此规划不符合题意.
综上所述，若使停车位尽可能多，且不影响车辆运行，停车位应规划为倾斜角为30°的倾斜式停车位，分布在路两旁.可以规划36个停车位.(共16张PPT)
第四章　几何初步与三角形
第24课时　等腰三角形
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，若BD＝5，则BC＝(　　)
A.5 B.6　　
C.10 D.13
C　
2.在△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC，若BC＝4，则△ABC的周长为(　　)
A.9 B.8　　
C.6 D.12
D
3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，线段AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD.若AC＝6，AD＝4，则点D到点B的距离是(　　)
A.3 B.4　　
C.5 D.6
B
4.如图，AB＝10，BC＝8，∠A＝∠ACD，则△BCD的周长是(　　)
A.18 B.20　　
C.26 D.28
　A
5.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB交AC于点E，若DE＝7，CE＝8，则AC的长为________.
15　
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，CD＝CB.若∠ACD＝36°，则∠A的度数为__________.
36°
7.如图，已知AB＝AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F.求证：△ADF是等腰三角形.
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵DE⊥BC，
∴∠FEB＝∠FEC＝90°.
∴∠B＋∠EDB＝∠C＋∠F＝90°.
∴∠F＝∠EDB.
∵∠ADF＝∠EDB，
∴∠F＝∠ADF.
∴△ADF是等腰三角形.
8.如图，△ABC是等边三角形，BD是边AC上的高，延长BC至点E，使DB＝DE.求∠BDE的度数.
解：∵DB＝DE，
∴∠E＝∠DBE.
∵△ABC是等边三角形，BD是边AC上的高，
∴BD是∠ABC的平分线.
∴∠DBC＝∠ABC
＝×60°＝30°.
∴∠E＝∠DBE＝30°.
∴∠BDE＝180°－30°－30°＝120°.
9.如图，在四边形ABCD中，连接AC，BD，AB＝AD，CB＝CD，则有(　　)
A.AC与BD互相垂直平分 B.AC垂直平分BD
C.BD垂直平分AC D.BD平分∠ABC
B
10.(2025凉山州)如图，AB＝AC，AE＝AD，点E在BD上，∠EAD＝∠BAC，∠BDC＝56°，则∠ABC的度数为(　　)
A.56° B.60°　　
C.62° D.64°
C　
11.如图，D是AC上一点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，DE＝DF，G是BC上一点，DG∥AB.求证：DG＝BG.
证明：如图，连接BD.
∵DE⊥AB，DF⊥BC，DE＝DF，
∴∠EBD＝∠FBD.
∵DG∥AB，
∴∠GDB＝∠EBD.
∴∠GDB＝∠FBD.
∴DG＝BG.
12.通过折叠矩形纸片得到等边三角形的具体操作过程如下：
第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开；
第二步：再折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN；
第三步：连接MN，沿着MN折叠，得到折痕PM，沿着折痕PM，BM剪下△BMP.
△BMP即为所求作的等边三角形，如图.
请解答以下问题：
(1)求∠NBC的度数.
解：如图，连接AN.
由折叠，得EF垂直平分AB，
∴AN＝BN.
又由折叠，得AB＝BN，
∴AN＝AB＝BN .
∴△ABN为等边三角形.
∴∠ABN＝60°.
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°.
∴∠NBC＝90°－∠ABN＝30°.
(2)求证：△BMP是等边三角形.
证明：∵∠ABN
＝60°，
∴∠ABM＝∠NBM＝30°.
∴∠MBP＝60°.
由折叠，得∠BNM＝∠A＝90°，
∴∠BMP＝60°.
∴△BMP为等边三角形.(共14张PPT)
第四章　几何初步与三角形
第25课时　直角三角形(含勾股定理)
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，∠ABC＝90°.若AC＝2，则AB的长为(　　)
A. B.1　　
C.2 D.4
B
2.如图，一棵高为16 m的大树被台风刮断，若树在离地面6 m处折断，则树顶端落在地面的位置，距离树底部(　　)
A.5 m B.7 m　　
C.8 m D.10 m
C
3.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是(　　)
A.a∶b∶c＝1∶1∶ B.∠C＝∠A－∠B
C.b2＝a2－c2 D.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
D
4.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，BC＝DC，O为对角线BD的中点，连接AO，CO.若AO＝，OC＝1，则CD的长为(　　)
A.　　
C.
　B
5.如图，已知△ABC≌△DBE.若AC⊥BE，且∠ABE＝20°，则∠D的度数为__________.
70°　
6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E.
求证：AE＝2CE.
证明：如图，连接BE.
∵AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，
∴AE＝BE.
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABE＝30°，∠ABC＝60°.
∴∠EBC＝30°.
∴BE＝2CE.
∴AE＝2CE.
7.如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2.求证：△CDE是直角三角形.
证明：∵∠1＝∠2，
∴DE＝CE.
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL).
∴∠ADE＝∠BEC.
∵∠ADE＋∠AED＝90°，
∴∠BEC＋∠AED＝90°.
∴∠DEC＝90°.
∴△CDE是直角三角形.
8.(2025广西)如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD＝，则AD＝______.
－1　
9.(2025扬州)清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为________________.
11，60，61
10.如图，在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝90°，在AC右侧作等边三角形ACD.
(1)求∠CBD的度数；
解：∵∠BAC＝90°，AC＝AB，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°.
∵△ACD为等边三角形，
∴AB＝AC＝AD，∠CAD＝∠ACD＝60°.
∴∠BAD＝150°.
∴∠ADB＝∠ABD＝15°.
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝30°.
(2)若BC＝4，求BD的长.
解：如图，作CE⊥BD于点E.
∵∠ACB＝45°，∠ACD＝60°，∠CBD＝30°，
∴∠BDC＝45°.
∵CE⊥BD，
∴∠DCE＝45°.
∴CE＝DE.
∵BC＝4，CE⊥BD，∠CBD＝30°，
∴CE＝DE＝BC＝2.
∴BE＝＝2.
∴BD＝2＋2.
11.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以BC为底作等腰直角三角形BCD，E是CD的中点，连接AE，BE.求证：AE⊥EB.
证明：如图，取BD的中点F，连接EF.
∵E是CD的中点，
∴EF为△DCB的中位线.
∴EF＝BC，EF∥BC.
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴∠CBD＝∠BCD＝45°，∠D＝90°，CD＝BD.
∴∠ACE＝∠ACB＋∠BCE＝135°，∠DFE＝∠DBC＝45°，CE＝BF.
∴∠EFB＝135°，即∠EFB＝∠ACE.
∵AC＝BC，
∴EF＝AC.
∴△EFB≌△ACE(SAS).
∴∠DBE＝∠CEA.
又∠DBE＋∠DEB＝90°，
∴∠CEA＋∠DEB＝90°.
∴∠AEB＝90°.
∴AE⊥EB.(共17张PPT)
第四章　几何初步与三角形
第22课时　三角形(多边形)的基础知识
1.厦门海沧大桥，是世界第二、亚洲第一座特大型三跨全漂浮钢箱梁悬索桥，也是厦门市历史上投资最大的交通工程项目，工程全长约6 000 m.桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，运用的数学原理是(　　)
A.两点之间线段最短 B.三角形的内角和是180°
C.节省材料　　 D.三角形具有稳定性
D
2.一个三角形的两边长分别为7和4，若第三条边的长为x，则x的值可能是(　　)
A.1　　 B.2　　　 　　
C.8　　　　 D.13
C　
3.(2025北京)若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为(　　)
A.60 B.90　　
C.120 D.150
C　
4.若n边形的每个外角都等于45°，则n＝_______.
8　
5.如图，AD是∠BAC的平分线，若∠B＝65°，∠C＝55°，则∠ADC的度数是________°.
95
6.如图，在△ABC中，如果AB＝9，AC＝7，AD为中线，那么△ABD与△ACD的周长之差的值为_______.
　2
7.如图，CD是△ABC的中线，点E，F分别是AC，DC的中点，若EF＝1，则AB＝_______.
4
8.(2025泉州二检)如图，一束平行于主光轴MN的光线AB经凹透镜折射后，其折射光线所在的直线BF与一束经过光心O的光线AO相交于点P，F为凹透镜的焦点.若∠1＝130°，∠2＝30°，则∠3的度数为__________.
　80°
9.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝70°，P为BC上一点，且∠1＝∠2，求∠APD的度数.
解：∵∠BAC＝60°，∠C＝70°，
∴∠B＝180°－∠BAC－∠C＝180°－60°－70°＝50°.
∵∠APC是△ABP的一个外角，
∴∠APC＝∠1＋∠B.
又∠APC＝∠APD＋∠2，∠1＝∠2，
∴∠APD＝∠B＝50°.
10.(2025甘肃)如图，一个多边形纸片的内角和为1 620°，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为(　　)
A.12 B.11　　
C.10 D.9
A
11.(2025湖南省卷)如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，BD，AC与BD交于点M，∠AMB＝________°.
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12. (2025莆田二检改编)定义：在△ABC中，AE是它的中线，点F在BC上，若∠BAE＝∠CAF，则称AF是△ABC的“陪位中线”.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AF⊥BC，垂足为F，求证：AF是△ABC的“陪位中线”.
证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AE为边BC上的中线，
∴AE＝BE＝CE.
∴∠B＝∠BAE.
∵AF⊥BC，
∴∠CAF＋∠C＝90°.
∵∠B＋∠C＝90°，
∴∠B＝∠CAF.
∴∠BAE＝∠CAF.
∴AF是△ABC的“陪位中线”.
13.小强和爸爸、妈妈到蟳埔(xún pǔ)村参观游玩拍照纪念，精美的镂空窗花搭配蚵壳(ké ké)墙，极具泉州古民居特色，给小强一家留下了极其深刻的印象.在感叹泉州人民勤劳与智慧的同时，聪明的小强发现有的窗花由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称美，小强爸爸给他出了如下两个题目，请你帮小强一起解决.
(1)已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是正三角形，在下列正多边形中，另一种不能是________.(填序号)
①正四边形　　　　②正五边形　　　　③正六边形
②
(2)小强发现某个花纹用4个全等的正八边形进行拼接，使全等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1.小强猜想，如果用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为_______，并简要说明理由.
解：理由如下：
由题意，得这n个正六边形围成一圈后，中间形成的图形是一个正多边形，由题图2可知，围成的这个正多边形的每个内角的度数是120°.
由(n－2) 180°＝120° n，
得n＝6.
　6　(共17张PPT)
第四章　几何初步与三角形
第21课时　相交线与平行线
1.(2025浙江)如图，直线a，b被直线c所截.若a∥b，∠1＝91°，则(　　)
A.∠2＝91°　 B.∠3＝91°　　　
C.∠4＝91°　 D.∠5＝91°
B
2.(2025广西)在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，测量线段AB的长度作为他此次跳远成绩(最近着地点到起跳线的最短距离)，依据的数学原理是(　　)
A.垂线段最短
B.两点确定一条直线
C.两点之间，线段最短
D.两直线平行，内错角相等
A
3.(2025河北)榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式.如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC＝70°，则∠BAD＝(　　)
A.70° B.100°　　
C.110° D.130°
C
4.(2025兰州)如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高.春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角β为54°.若光能利用率最高，集热板与水平面夹角α度数是(　　)
A.26° B.30°　　
C.36° D.54°
C
5.(2025湖南省卷)如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时∠CAB＝145°，则∠ABD＝_________°.
145
6.(2025北京)能说明命题“若a2＞4b2，则a＞2b”是假命题的一组实数a，b的值为a＝_________，b＝_______.
(答案不唯一)
－3　
　1　
7.将一个直尺和一个三角尺(∠C＝30°)按如图所示的方式叠放，三角尺的直角顶点B落在直尺下边缘PQ上，直尺上边缘MN经过三角尺的顶点A和BC边上一点D.若∠ABP＝35°，则∠CDN的度数为__________.
　55°
8.(2025江西)如图，已知点C在AE上，AB∥CD，∠1＝∠2.求证：AE∥DF.
证明：∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠1.
∵∠1＝∠2，
∴∠ACD＝∠2.
∴AE∥DF.
9.如图，AB∥EF，∠B＝35°，∠E＝25°，则∠C＋∠D的度数为___________.
240°
10.如图，AC∥EF，∠1＋∠3＝180°.
(1)AF与CD是否平行？请说明理由.
解：AF∥CD.理由如下：∵AC∥EF，
∴∠1＋∠2＝180°.
∵∠1＋∠3＝180°，
∴∠2＝∠3.
∴AF∥CD.
(2)若AC平分∠FAB，AC⊥EB于点C，∠4＝78°，求∠BCD的度数.1
解：∵AC平分∠FAB，
∴∠2＝∠CAD.
由(1)知∠2＝∠3，
∴∠CAD＝∠3.
∵∠4＝∠3＋∠CAD，
∴∠3＝∠4＝×78°＝39°.
∵AC⊥BE，
∴∠ACB＝90°.
∴∠BCD＝90°－∠3＝51°.
11.(2025泉州二检节选)已知实数a，b，c，m，n满足m2＋n2＝，mn＝.若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数.
证明：假设m，n都不为奇数，即m，n都为偶数.
∴m2＋n2，mn都为偶数，即都为偶数.
∴＋＝为偶数，
这与为奇数矛盾.
∴假设不成立.
∴m，n至少有一个为奇数.
12.仰卧起坐是体育中考女生选考项目，是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，如图1是小乐同学做仰卧起坐时的一个状态，已知AB∥CG，AC∥DE.
(1)求证：∠CAB＝∠CDE.
证明：∵AB∥CG，
∴∠CAB＋∠ACD＝180°.
∵AC∥DE，
∴∠CDE＋∠ACD＝180°.
∴∠CAB＝∠CDE.
(2)当小乐同学在做仰卧起坐的某个瞬间，她腿部的某个位置M与脚后跟D的连线恰好平分∠CDE，如图2所示.若∠FAB＝3∠MDE，求∠MDG的度数.
解：∵∠CAB＝∠CDE，∠CAB＋∠BAF＝∠CDE＋∠EDG＝180°，
∴∠BAF＝∠EDG.
∵MD平分∠CDE，
∴∠MDE＝∠CDM.
设∠MDE＝α，则∠CDM＝α，
∠BAF＝3∠MDE＝3α.
∴∠EDG＝3α.∴α＋α＋3α＝180°.
解得α＝36°.
∴∠CDM＝36°.
∴∠MDG＝180°－36°＝144°.(共18张PPT)
第四章　几何初步与三角形
第20课时　线段与角
1.如图，与走盘山路相比，走分水岭隧道可以缩短路程，用数学语言解释为(　　)
A.两点可以确定一条直线 B.经过两点只有一条直线
C.两点之间，线段最短 D.过两点可以画一条线段
C　
2.如图，A地和B地都是海上观测站，A地在灯塔O的北偏东30°方向，B地在灯塔O的西北方向，则∠AOB的度数是(　　)
A.80° B.75°　　
C.65° D.55°
B
3.(2025河南)如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为(　　)
A.100° B.110°　　
C.120° D.130°
C
4.(2025陕西)如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC.若∠1＝52°，则∠2的度数为(　　)
A.76° B.74°　　
C.64° D.52°
A
5.如图，C是线段AB上一点，D是AC中点，E是BC中点.若AB＝12 cm，则DE＝(　　)
A.6 cm　 B.8 cm　　　　
C.4 cm　 D.5 cm
A
6.已知∠A的余角是61°25′，则∠A的度数为______________.
28°35′　
7.将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，两直角顶点重合于点A.若∠CAD＝22°，则∠BAE的度数为___________.
158°
8.如图，已知C为线段AB上一点，AC＝15 cm，CB＝AC，D，E分别为AC，AB的中点，求线段DE的长.
解：∵AC＝15 cm，CB＝AC，
∴CB＝5 cm.
∴AB＝AC＋CB＝20 cm.
又D，E分别为AC，AB的中点，
∴AE＝AB＝×20＝10(cm)，
AD＝AC＝×15＝7.5(cm).
∴DE＝AE－AD＝10－7.5＝2.5(cm).
9.如图，已知线段AB，延长线段AB至点C，使BC＝3AB，取BC的中点D，则(　　)
A.AC＝CD B.AD＝BC　　
C.DC＝2AB D.AB∶BD＝2∶3
D
10.如图，点H，E，F分别在矩形纸片ABCD的边AB，AD，BC上，连接HE，HF，将纸片沿HE，HF折叠，使得点A落在点M处，点B落在点N处.若∠MHN＝α，则∠EHF的度数是(　　)
A.90°＋α B.90°＋α　　
C.180°－α D.180°－α
B
11.如图，∠AOC与∠BOC互为补角，∠BOC与∠BOD互为余角，OE平分∠AOC且∠BOC＝4∠BOD.求∠BOE的度数.
解：∵∠BOC与∠BOD互为余角，
∴∠BOC＋∠BOD＝90°.
又∠BOC＝4∠BOD，
∴∠BOC＝×90°＝72°.
∵∠AOC与∠BOC互为补角，
∴∠AOC＋∠BOC＝180°.
∴∠AOC＝180°－∠BOC＝108°.
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE＝∠AOC＝54°.
∴∠BOE＝∠BOC＋∠COE＝126°.
12.已知点A，B，P为数轴上三点，我们规定：若点P到点A的距离是点P到点B的距离的K倍，则称P是A，B的“K倍点”，记作P［A，B］＝K.例如，若点P表示的数为0，点A表示的数为－2，点B表示的数为1，则P是［A，B］的“2倍点”，记作P［A，B］＝2.
(1)如图，A，B，P为数轴上三点，回答下面问题：
①P［B，A］＝_______；
　4
②若点D是数轴上一点，且D［A，B］＝2，求点D表示的数.
解：∵点D是数轴上一点，且D［A，B］＝2，
∴DA＝2DB.
∵点A表示的数为－1，点B表示的数为5，
∴AB＝5－(－1)＝6.
当点D在线段AB上时，DA＝AB，点D表示的数为－1＋×6＝3；
当点D在线段AB的延长线上时，DA＝2AB，点D表示的数为－1＋2×6＝11.
∴点D表示的数为3或11.
(2)在数轴上，点E表示的数为－5，点F表示的数为25，点M，N为线段EF上的两点，且M［E，N］＝3，N［F，M］＝2，求线段MN的长.
解：∵点E表示的数为－5，点F表示的数为25，
∴EF＝25－(－5)＝30.
∵M［E，N］＝3，N［F，M］＝2，
∴ME＝3MN，NF＝2MN.
设MN＝x，则ME＝3x，NF＝2x.
点M，N在线段EF上的位置分两种情况：
当点M在N的左边时，如图.
∴3x＋x＋2x＝30.
解得x＝5.
∴MN＝5.
当点M在N的右边时，如图.
∴3x－x＋2x＝30.
解得x＝7.5.
∴MN＝7.5.
综上，MN的长为5或7.5.(共19张PPT)
第四章　几何初步与三角形
第27课时　锐角三角函数
1.(2025云南改编)在Rt△ABC中，∠C＝90°.若AB＝13，BC＝5，则sin A＝(　　)
A.　　
C.
D
2.(2025天津)tan 45°－cos 45°的值等于(　　)
A.0 B.1　　
C.1－ D.1－
　A　
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则cos A的值是(　　)
A. B.2　　
C.
　D　
4.已知∠A是锐角三角形ABC的内角，sin A＝，则tan A的值是(　　)
A.　　
C.
C
5.(2025厦门模拟)计算：sin 45°－cos 45°＝ _______.
0　
6.若tan A＝，则锐角∠A＝________°.
　30　
7.如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.已知A，B，C三点都在格点上，则sin∠ABC＝______.
　　
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，若AC＝3，CD＝2.5，则cos A的值是______.
　　
9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE分别交BC，AB于D，E两点.若BD＝5，sin∠DAC＝，求DE的长.
解：∵DE垂直平分AB，
∴BD＝AD，∠DEB＝90°.
∵BD＝5，
∴AD＝5.
∵sin∠DAC＝，∠C＝90°，
∴CD＝AD sin∠DAC＝3.
在Rt△ADC中，AC＝＝＝4.
在Rt△ABC中，AB＝＝
＝4.
∵sin B＝＝，
即＝，
∴DE＝.
10.如图，矩形ABCD的四个顶点A，B，C，D分别在直线l3，l4，l2，l1上.若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等，AB＝4，BC＝2，则tan α的值为____.
　　
11.若△ABC是直角三角形，AB＝2，tan∠ABC＝，则AC的长为_______.
2或
12.如图，在△ABC中，点D在边BC上，AD⊥AC，∠BAD＝∠C，tan C＝，BD＝3，求线段CD的长.
解：∵AD⊥AC，
∴∠DAC＝90°.
∵tan C＝，
∴＝.
∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBA.
∴＝＝＝.
∴BC＝2AB，AB＝2BD.
∴BC＝4BD＝12.
∴CD＝BC－BD＝9.
13.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，BC＝8，AC＝2，sin∠DAC＝.
(1)求BD的长；
解：∵AD∥BC，∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝180°－∠BCD＝90°.
∵在Rt△ADC中，AC＝2，
sin∠DAC＝，
∴CD＝AC sin∠DAC
＝2×＝6.
在Rt△BCD中，BC＝8，CD＝6，
由勾股定理，得BD＝＝＝10.
(2)求∠ABD的正切值.
解：由(1)，得CD＝6，BD＝10.
∴AD＝＝＝2，
cos∠DBC＝＝＝.
如图，过点A作AE⊥BD，垂足为E.
∴∠AEB＝∠AED＝90°.
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DBC.
∴cos∠ADE＝cos∠DBC＝.
∵在Rt△AED中，AD＝2，
cos∠ADE＝，
∴DE＝AD cos∠ADE＝2×＝.
∴AE＝＝＝.
在Rt△AEB中，AE＝，
BE＝BD－DE＝10－＝，
∴tan∠ABD＝＝＝.(共17张PPT)
第四章　几何初步与三角形
第23课时　全等三角形
1.如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠DCE的度数为(　　)
A.40° B.60°　　　　　
C.80° D.100°
C
2.(2025山西)如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO＝CO，BO＝DO.测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离.图中△AOB与△COD全等的依据是(　　)
A.SSS　
B.SAS　 　　
C.ASA　
D.HL
B
3.(2025三明二检)如图，网格中每个小正方形的边长相等，则∠1＋∠2的度数是(　　)
A.100° B.90°　　　　　
C.80° D.60°
B　
4.如图，BD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，若DC＝3，则D到AB的距离是_______.
3
5.如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上.若BC＝8，CE＝5，则CF的长为_______.
3
6.如图，已知∠1＝∠2，若添加一个条件使△ABC≌△ADC，则可添加____________________________.
AB＝AD(答案不唯一)
7.如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，连接DE并延长至点F，使EF＝DE，连接FC.若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，则BD的长为_______.
2
8.(2025南充)如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC.
(1)求证：△ABC≌△AED.
证明：∵∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAD－∠CAD＝∠EAC－∠CAD.
∴∠BAC＝∠EAD.
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED(SAS).
(2)求证：∠BCD＝∠EDC.
证明：∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC.
由(1)知△ABC≌△AED，
∴∠ACB＝∠ADE.
∴∠ACB＋∠ACD＝∠ADE＋∠ADC.
∴∠BCD＝∠EDC.
9.(2025威海)我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是(　　)
A.BO＝DO，AC⊥BD　　
B.∠DAC＝∠BAC，AD＝AB
C.∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA　　
D.∠ADC＝∠ABC，BO＝DO
D
10.如图，点E在∠BAC的平分线上，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥CD于点G，且EF＝EG.
(1)求证：CE是∠ACD的平分线；
证明：如图，过点E作EH⊥AC于点H.
∵点E在∠BAC的平分线上，EF⊥AB，EH⊥AC，
∴EF＝EH.
∵EF＝EG，∴EH＝EG.
又EG⊥CD，EH⊥AC，
∴CE是∠ACD的平分线.
(2)求证：AC＝AF＋CG.
证明：∵EF⊥AB，EH⊥AC，
∴∠AFE＝∠AHE＝90°.
在Rt△AEF和Rt△AEH中，
∴Rt△AEF≌Rt△AEH(HL).
∴AF＝AH.
同理，得CH＝CG.
∴AC＝AH＋CH＝AF＋CG.
11.(1)如图1，在△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B，C，E三点在同一直线上，AB＝2，ED＝3，则BE＝_______；
5
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积；
解：如图2，过D作DE⊥BC交BC的延长线于点E.
∵DE⊥BC，CD⊥AC，
∴∠E＝∠ACD＝90°.
∴∠ACB＝90°－∠DCE＝∠CDE.
在△ABC和△CED中，
∴△ABC≌△CED(AAS).∴ED＝BC＝2.
∴S△BCD＝BC DE＝2.
(3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD的面积为14，且CD的长为7，求△BCD的面积.
解：如图3，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD交DC延长线于点F.
∵△ACD的面积为14，CD的长为7，
即×7×AE＝14，
∴AE＝4.
∵∠ADC＝45°，AE⊥CD，
∴△ADE是等腰直角三角形.
∴DE＝AE＝4.
∴CE＝CD－DE＝3.
∵∠ABC＝∠CAB＝45°，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∠ACE＝90°－∠BCF＝∠CBF.
在△ACE和△CBF中，
∴△ACE≌△CBF(AAS).∴BF＝CE＝3.
∴S△BCD＝CD BF＝.(共7张PPT)
第四章　几何初步与三角形
综合与实践　房屋高度测量的实践与应用
某校数学小组为了测量某村宅基地房屋的高度，进行了以下实践活动：
a.准备测量工具：测角仪、皮尺.
b.实地测量数据：
①画出房屋的侧面示意图(如图)
说明：该房屋示意图是由等腰三角形ABC(∠BAC＝120°)和矩形DEFG构成的轴对称图形，对称轴为房屋的高AP所在的直线.
②确定测量方案
在地面上的点M处架设测角仪，测量房檐点C的仰角∠CMF，然后沿射线FM方向前进一段距离到达点N处，再次
测出点C的仰角∠CNF.
③测量数据
EF＝6 m，FM＝10 m，MN＝3 m，∠CMF＝45°，∠CNF＝37°，点E，P，F，M，N在同一条直线上，测角仪的高度忽略不计.
请你根据示意图及测量数据，解决以下问题(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，≈1.73)：
(1)计算房檐点C到地面的距离；
解：如图，过点C作CH⊥FM于点H.
设CH＝x.
易证得四边形CGFH是矩形.
∵在Rt△CHM中，∠CHM＝90°，∠CMH＝45°，
∴HM＝CH＝x.
∵MN＝3，
∴HN＝HM＋MN＝x＋3.
∴在Rt △CHN中，tan∠CNH＝.
解得x≈9.0.
∴CH≈9.0，
即房檐点C到地面的距离约为9.0 m.
∴＝tan 37°≈0.75.
(2)计算该宅基地房屋的高度AP.
解：由(1)及题意，得CH＝HM＝9，FM ＝10.
∵四边形CGFH和四边形DEFG是矩形，
∴CG＝FH＝1，DG＝EF＝6.
设AP与BC交于点Q，如图.
∵房屋关于AP所在的直线成轴对称，
∴QG＝QD＝DG＝3.
∴CQ＝CG＋QG＝4.
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠ACQ＝30°.
∴在Rt△ACQ中，AQ＝CQ tan 30°≈2.31.
∴AP＝AQ＋QP＝AQ＋CH≈11.3.
∴该宅基地房屋的高度AP约为11.3 m.(共15张PPT)
第四章　几何初步与三角形
第26课时　相似三角形(含位似)
1.(2025贵州)如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝2∶1，若DF＝2，则AC的长为(　　)
A.1 B.2　　
C.4 D.8
C
2.如图，在△ABC中，DE∥AB，若＝，CD＝6，则AC的长为(　　)
A.4 B.6　　 　　
C.8 D.10
D
3.(2025浙江)如图，五边形ABCDE，A′B′C′D′E′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A′的坐标分别为(2，0)，(3，0).若DE的长为3，则D′E′的长为(　　)
A. B.4　　
C. D.5
C　
4.(2025河北)“这么近，那么美，周末到河北”.嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片(如图).回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7 cm和4 cm，笔的实际长度为14 cm，则该化石的实际长度为(　　)
A.2 cm
B.6 cm　　
C.8 cm
D.10 cm
C
5.(2025绥化)两个相似三角形的最长边分别是10 cm和6 cm，并且它们的周长之和为48 cm，那么较小三角形的周长是(　　)
A.14 cm B.18 cm　　
C.30 cm D.34 cm
B
6.(2025福州模拟)若＝2，则＝_______.
　　
7.如图，AB∥CD，AC，BD交于点E，若＝，则的值为____.
　　
8.如图，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝24，AC＝48，AE＝16，AD＝32，求证：∠C＝∠D.
证明：∵AB＝24，AC＝48，AE＝16，AD＝32，
∴＝＝＝＝.
∴＝.
又∠BAC＝∠EAD，
∴△ABC∽△AED.
∴∠C＝∠D.
9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，AD＝3，CD＝4，则BD的长为(　　)
A.　　
C. D.2
A　
10.(2025河北)如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是(　　)
A.∠B＋∠4＝180° B.CD∥AB　　
C.∠1＝∠4 D.∠2＝∠3
D　
11.如图，点A为反比例函数y＝－(x＜0)图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点B，则的值为______.
　　
12.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，DF，BE，DF与BE交于点G.已知四边形DFCE是平行四边形，且＝.
(1)若AC＝25，求线段AE的长；
解：∵四边形DFCE是平行四边形，
∴DE∥BC，DF∥AC，DE＝CF.
∴△ADE∽△ABC.
∴＝＝.
∵AC＝25，
∴AE＝10.
(2)若四边形GFCE的面积为48，求△ABC的面积.
解：∵＝＝，DE＝FC，
∴＝.
∴＝.
∵DF∥AC，
∴△BFG∽△BCE.
∴＝＝.
∴＝2＝.
∵S△BFG＋S四边形GFCE
＝S△BCE，
∴＝＝.
∵四边形GFCE的面积为48，
∴S△BCE＝75.
∵＝，AE＋CE＝AC，
∴＝.
∴＝.
∴S△ABC＝125.

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