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人教版（2024）八年级下册 23.4 实际问题与一次函数 题型专练
【题型1】一次函数与最佳方案问题
【典例】某地电话拨号入网有两种收费方式：①计时制：0.05元/分钟；②包月制：50元/月.此外，每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分钟.某用户估计一个月上网时间为1 000分钟，你认为采用哪种收费方式较为合算(　　)
A.计时制 B.包月制 C.两种一样 D.不确定
【强化训练1】一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：
例如，若购买A类会员年卡，一年内游泳20次，则消费50+25×20＝550（元）．若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为（　　）
A.购买A类会员年卡 B.购买B类会员年卡 C.购买C类会员年卡 D.不购买会员年卡
【强化训练2】小静准备到甲或乙商场购买一些商品，两商场同种商品的标价相同，而各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买满一定数额a元后，再购买的商品按原价的90%收费；在乙商场累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费．若累计购物x元，当x＞a时，在甲商场需付钱数yA＝0.9x+10，当x＞50时，在乙商场需付钱数为yB.下列说法：
①yB＝0.95x+2.5；
②当累计购物大于50元时，选择乙商场一定优惠些；
③当累计购物超过150元时，选择甲商场一定优惠些；
④a＝100．
其中正确的说法是 　 　（填序号）
【强化训练3】如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用（元）与通话时间x（分）之间的关系.
（1）若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜 　 　元．
（2）若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间 　 　（填“多”或“少”）．
（3）若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜 　 　元．
（4）若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是 　 　分．
【强化训练4】甲乙两个商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠措施，甲商场的优惠措施是：累计购买100元商品后，再买的商品按原价的90%收费；乙商场则是：累计购买50元商品后，再买商品按原价的95%收费，顾客选择哪个商店购物获得更多的优惠？
【题型2】一次函数与跨学科(或其他)问题
【典例】如图1是某湖最深处的一个截面图，湖水面下任意一点A的压强P（单位：cmHg）与其离水面的深度h（单位：m）的函数解析式为P＝ah+P0，其图象如图2所示，其中P0为湖水面大气压强，a为常数且a＞0，点M的坐标为（34.5，342），根据图中信息分析，下列结论正确的是（　　）
A.湖水面大气压强为76.0 cmHg
B.函数解析式P＝ah+P0中P的取值范围是P＜342
C.湖水深20m处的压强为256 cmHg
D.P与h的函数解析式为P＝8h+66（0≤h≤34.5）
【强化训练1】某品牌鞋子的长度y cm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系.若22码鞋子的长度为16 cm，44码鞋子的长度为27 cm，则38码鞋子的长度为(　　)
A.23 cm B.24 cm C.25 cm D.26 cm
【强化训练2】两摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，根据图中给出的数据信息，可以知道高度和碗的个数是一次函数关系.若桌面上有12个碗整齐叠放成一摞，则它的高度为(　　)
A.22.5 cm B.25.7 cm C.31.5 cm D.24.5 cm
【强化训练3】如图1是某湖最深处的一个截面图，湖水面下任意一点A的压强P（单位：cmHg）与其离水面的深度h（单位：m）的函数解析式为P＝ah+P0，其图象如图2所示，其中P0为湖水面大气压强，a为常数且a＞0，点M的坐标为（34.5，342），根据图中信息分析，下列结论正确的是（　　）
A.湖水面大气压强为76.0 cmHg
B.函数解析式P＝ah+P0中P的取值范围是P＜342
C.湖水深20m处的压强为256 cmHg
D.P与h的函数解析式为P＝8h+66（0≤h≤34.5）
【强化训练4】某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由如图所示的一次函数图象确定，二者的关系式为y＝kx－600，那么旅客携带50 kg 行李时的运费为(　　)
A.300元 B.500元 C.600元 D.900元
【强化训练5】为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元，单价不变，第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，共花费265元．求：
（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？
（2）若计划再购买A、B两种花草共30棵，设购买A种花草m棵，购买花草的总费用为W元，求出W关于m的函数表达式，并计算当m＝9时，购买花草的总费用为多少元？
【强化训练6】某快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买甲、乙两种型号的机器人共20台来代替人工分拣，两种型号机器人的工作效率和价格如下表：
设购买甲种型号的机器人x台，购买这20台机器人所花的费用为y万元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若要求这20台机器人每小时分拣快递件数总和不少于12700件，则该公司至少需要购买几台甲种型号的机器人？此时所花费的费用为多少万元？人教版（2024）八年级下册 23.4 实际问题与一次函数 题型专练（参考答案）
【题型1】一次函数与最佳方案问题
【典例】某地电话拨号入网有两种收费方式：①计时制：0.05元/分钟；②包月制：50元/月.此外，每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分钟.某用户估计一个月上网时间为1 000分钟，你认为采用哪种收费方式较为合算(　　)
A.计时制 B.包月制 C.两种一样 D.不确定
【答案】C
【解析】计时制的费用为0.05×1 000＋0.02×1 000＝70(元)，
包月制的费用为50＋0.02×1 000＝70(元)，
∴两种收费方式一样合算.
【强化训练1】一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：
例如，若购买A类会员年卡，一年内游泳20次，则消费50+25×20＝550（元）．若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为（　　）
A.购买A类会员年卡 B.购买B类会员年卡 C.购买C类会员年卡 D.不购买会员年卡
【答案】C
【解析】
解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，
根据题意得：yA＝50+25x，
yB＝200+20x，
yC＝400+15x，
当45≤x≤55时，
1175≤yA≤1425；
1100≤yB≤1300；
1075≤yC≤1225；
由此可见，C类会员年卡消费最低，所以最省钱的方式为购买C类会员年卡．
故选：C．
【强化训练2】小静准备到甲或乙商场购买一些商品，两商场同种商品的标价相同，而各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买满一定数额a元后，再购买的商品按原价的90%收费；在乙商场累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费．若累计购物x元，当x＞a时，在甲商场需付钱数yA＝0.9x+10，当x＞50时，在乙商场需付钱数为yB.下列说法：
①yB＝0.95x+2.5；
②当累计购物大于50元时，选择乙商场一定优惠些；
③当累计购物超过150元时，选择甲商场一定优惠些；
④a＝100．
其中正确的说法是 　 　（填序号）
【答案】
①③④
【解析】
解：根据题意得当x＞50时，在乙商场需付钱数yB＝50+（x﹣50）×95%＝0.95x+2.5，
可判断①正确；
根据题意得当x＞a时，在甲商场需付钱数yA＝a+（x﹣a）×90%＝0.9x+0.1a，
∵yA＝0.9x+10，
∴0.1a＝10，解得a＝100，
可判断④正确；
当yA＞yB时，0.9x+10＞0.95x+2.5，解得x＜150，
即当累计购物50＜x＜150时，选择乙商场一定优惠些，
当yA＜yB时，0.9x+10＜0.95x+2.5，解得x＞150，
即当累计购物x＞150时，选择甲商场一定优惠些，
当yA＝yB时，0.9x+10＝0.95x+2.5，解得x＝150，
即当累计购物x＝150时，两个商场需付钱数一样多．
可判断②错误，③正确，
故答案为：①③④．
【强化训练3】如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用（元）与通话时间x（分）之间的关系.
（1）若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜 　 　元．
（2）若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间 　 　（填“多”或“少”）．
（3）若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜 　 　元．
（4）若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是 　 　分．
【答案】
（1）20 （2）多 （3）12 （4）145或195
【解析】
解：（1）通话时间少于120分，A方案费用30元，B方案费用50元，所以A方案比B方案便宜20元．
故答案为：20；
（2）从图中可以看出，当通讯费用为60元，那么A方案比B方案的通话时间多．
故答案为：多；
（3）当x＞120，yA＝30+（x﹣120）×[（50﹣30）÷（170﹣120）]＝0.4x﹣18；
当x＞200，yB＝50+[（70﹣50）÷（250﹣200）]（x﹣200）＝0.4x﹣30，
∴当x≥200时，B方案比A方案便宜12元，
故答案为：12；
（4）当B方案为50元，A方案是40元或者60元时，两种方案通讯费用相差10元，
将yA＝40或60代入，得x＝145分或195分，
故答案为：145或195．
【强化训练4】甲乙两个商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠措施，甲商场的优惠措施是：累计购买100元商品后，再买的商品按原价的90%收费；乙商场则是：累计购买50元商品后，再买商品按原价的95%收费，顾客选择哪个商店购物获得更多的优惠？
【答案】
解：设在甲商场购买x元的花费为W甲元，在乙商场购买的花费为W乙元，由题意，得
W甲＝100+（x﹣100）×0.9＝0.9x+10（x≥100）
W乙＝50+0.95（x﹣50）＝0.95x+2.5（x≥50）．
当W甲＞W乙时，0.9x+10＞0.95x+2.5，
x＜150
W甲＝W乙时，0.9x+10＝0.95x+2.5，
x＝150
W甲＜W乙时，0.9x+10＜0.95x+2.5，
x＞150．
综上所述：当50＜x＜150时，在乙商场购买优惠些，
当x＝150或x≤50时，在甲、乙两商场购买一样优惠，
当x＞150时，在甲商场购买优惠些．
【题型2】一次函数与跨学科(或其他)问题
【典例】如图1是某湖最深处的一个截面图，湖水面下任意一点A的压强P（单位：cmHg）与其离水面的深度h（单位：m）的函数解析式为P＝ah+P0，其图象如图2所示，其中P0为湖水面大气压强，a为常数且a＞0，点M的坐标为（34.5，342），根据图中信息分析，下列结论正确的是（　　）
A.湖水面大气压强为76.0 cmHg
B.函数解析式P＝ah+P0中P的取值范围是P＜342
C.湖水深20m处的压强为256 cmHg
D.P与h的函数解析式为P＝8h+66（0≤h≤34.5）
【答案】D
【解析】
解：由图象可知，直线P＝kh+P0过点（0，66）和（34.5，342）．
∴，
解得，
∴直线解析式为：P＝8h+66．故D正确，符合题意；
∴青海湖水面大气压强为66.0 cmHg，故A错误，不符合题意；
根据实际意义，函数解析式P＝ah+P0中P的取值范围是66≤P≤342，故B错误，不符合题意；
将h＝20代入解析式P＝8h+66，
∴P＝8×20+66＝226，即青海湖水深20m处的压强为226 cmHg，故C错误，不符合题意．
故选：D．
【强化训练1】某品牌鞋子的长度y cm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系.若22码鞋子的长度为16 cm，44码鞋子的长度为27 cm，则38码鞋子的长度为(　　)
A.23 cm B.24 cm C.25 cm D.26 cm
【答案】B
【解析】∵鞋子的长度y cm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系，
∴设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
由题意知，当x＝22时，y＝16，
当x＝44时，y＝27，
∴ 解得
∴函数解析式为y＝x＋5，
当x＝38时，y＝×38＋5＝24.
【强化训练2】两摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，根据图中给出的数据信息，可以知道高度和碗的个数是一次函数关系.若桌面上有12个碗整齐叠放成一摞，则它的高度为(　　)
A.22.5 cm B.25.7 cm C.31.5 cm D.24.5 cm
【答案】A
【解析】由(7，15)，(4，10.5)得该一次函数解析式为y＝1.5x＋4.5.
当x＝12时，y＝1.5×12＋4.5＝22.5.
【强化训练3】如图1是某湖最深处的一个截面图，湖水面下任意一点A的压强P（单位：cmHg）与其离水面的深度h（单位：m）的函数解析式为P＝ah+P0，其图象如图2所示，其中P0为湖水面大气压强，a为常数且a＞0，点M的坐标为（34.5，342），根据图中信息分析，下列结论正确的是（　　）
A.湖水面大气压强为76.0 cmHg
B.函数解析式P＝ah+P0中P的取值范围是P＜342
C.湖水深20m处的压强为256 cmHg
D.P与h的函数解析式为P＝8h+66（0≤h≤34.5）
【答案】D
【解析】
解：由图象可知，直线P＝kh+P0过点（0，66）和（34.5，342）．
∴，
解得，
∴直线解析式为：P＝8h+66．故D正确，符合题意；
∴青海湖水面大气压强为66.0 cmHg，故A错误，不符合题意；
根据实际意义，函数解析式P＝ah+P0中P的取值范围是66≤P≤342，故B错误，不符合题意；
将h＝20代入解析式P＝8h+66，
∴P＝8×20+66＝226，即青海湖水深20m处的压强为226 cmHg，故C错误，不符合题意．
故选：D．
【强化训练4】某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由如图所示的一次函数图象确定，二者的关系式为y＝kx－600，那么旅客携带50 kg 行李时的运费为(　　)
A.300元 B.500元 C.600元 D.900元
【答案】D
【解析】∵点(30，300)在函数y＝kx－600的图象上，
∴30k－600＝300，
解得k＝30，
∴y＝30x－600，
当x＝50时，y＝30×50－600＝900，
即旅客携带50 kg行李时的运费为900元.
【强化训练5】为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元，单价不变，第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，共花费265元．求：
（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？
（2）若计划再购买A、B两种花草共30棵，设购买A种花草m棵，购买花草的总费用为W元，求出W关于m的函数表达式，并计算当m＝9时，购买花草的总费用为多少元？
【答案】
解：1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，
根据题意得，，
解得，
答：A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元；
（2）∵购买A种花草的数量为m株，则购买B种花草的数量为（30﹣m）株，
根据题意得：W＝20m+5（30﹣m）＝15m+150，
当m＝9时，W＝15×9+150＝285（元），
∴当m＝9时，购买化草的总费用为285元．
【强化训练6】某快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买甲、乙两种型号的机器人共20台来代替人工分拣，两种型号机器人的工作效率和价格如下表：
设购买甲种型号的机器人x台，购买这20台机器人所花的费用为y万元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若要求这20台机器人每小时分拣快递件数总和不少于12700件，则该公司至少需要购买几台甲种型号的机器人？此时所花费的费用为多少万元？
【答案】
解：（1）y与x之间的函数关系式为：
y＝3x+2.5（20﹣x），
＝3x+50﹣2.5x
＝0.5x+50（0≤x≤20）；
（2）由题可得：800x+600（20﹣x）≥12700，
解得x≥3.5，
∴当x＝4时，y取得最小值，
∴y最小＝0.5×4+50＝52．
∴该公司至少需要购买4台甲种型号的机器人；此时所花费的费用为52万元．

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