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人教版（2024）七年级下册 10.3 实际问题与二元一次方程组 题型专练（参考答案）
【题型1】和差倍分问题
【典例】某中学现有学生500人，计划一年后女生在校人数增加，男生在校人数增加，这样，在校学生总数将增加．问该校现有女生和男生的人数分别是（ ）
A.女生180和男生320 B.女生320和男生180 C.女生200和男生300 D.女生300和男生200
【答案】D
【解析】设现有男生x人，女生y人，由题意，得
，
解得：，
故选D．
【强化训练1】某校团支部组织优秀团员进行垃圾清理和绿色环保宣传，在分发垃圾袋时，若每人发2个垃圾袋，则多6个，若每人发3个垃圾袋，则少6个．设有x个优秀团员，y个垃圾袋．则下列所列方程组不正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解：设有x个优秀团员，y个垃圾袋，根据题意得
或或
∴不正确的是A．
【强化训练2】牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长．这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天．那么可供25头牛吃__________天．
【答案】
5
【解析】
解：设一天牛每天吃牧草x千克，牧场的牧草每天生长y千克，根据“这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天”即可得出关于x、y的二元一次方程，整理后可得出y＝5x，将其代入10×20x－20y中即可求出牧场原有牧草，再根据天数＝牧草总重量÷(25头牛每天吃的牧草重量－每天生长的重量)即可求出结论．设一天牛每天吃牧草x千克，牧场的牧草每天生长y千克，根据题意，得10×20x－20y＝15×10x－10y，∴y＝5x，∴牧场原有牧草10×20x－20y＝100x.100x÷(25x－y)＝100x÷(25x－5x)＝5.故答案为5.
【强化训练3】某校举行运动会时，由若干名同学组成一个13列的长方形彩旗队阵．如果原队阵中增加16人，能组成一个正方形队阵；如果原队阵中减少16人，也能组成一个正方形队阵，则原长方形彩旗队阵中有同学　 　人．
【答案】
65
【解析】
解：设原长方形彩旗队阵有同学n人，
由已知得n+16和n﹣16均为完全平方数，
设n+16＝a2，n﹣16＝b2，
则a2﹣b2＝32，即（a+b）（a﹣b）＝32，
由原队阵有13列，a+b与a﹣b的奇偶性相同，且a，b都为自然数，可得
解得
所以n＝a2﹣16＝65.
【强化训练4】为了增强学生体质，九年一班决定购进两种体育器材：跳绳和毽子，如果购进3根跳绳和2个毽子共需63元，购进2根跳绳和5个毽子共需75元，求一根跳绳和一个毽子的售价分别是多少元．
【答案】解：设一根跳绳售价为x元，一个毽子售价为y元．
根据题意得：，解得：，
答：一根跳绳售价为15元，一个毽子售价为9元．
【强化训练5】当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多克．已知从吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克．
【答案】解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克，
根据题意得：，
解得：，
答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克．
【题型2】数字问题
【典例】如果一个两位数的十位数字和个位数字之和是，则这样的两位数有（ ）个．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设该两位数的个位数为：，十位数为，且，均为整数，
∵该两位数的十位数字和个位数字之和是，
∴，
∴当时，，两位数为：；
当时，，两位数为：；
当时，，两位数为：；
当时，，两位数为：；
当时，，两位数为：
∴满足题意的两位数为：，，，，，个数．
故选：B．
【强化训练1】已知两数x、y之和是10，x比y的2倍大1，则这两个数的平方和等于（　　）
A.73 B.37 C.58 D.85
【答案】C
【解析】根据题意，
得
解得
所以这两个数的平方和等于72+32=47+9=58.
故选：C．
【强化训练2】有一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字之和为5，且十位上的数字比个位上的数字的2倍少1，则符合条件的两位数是（ ）
A.23 B.32 C.14 D.41
【答案】B
【解析】设个位上的数字为x,十位上的数为y，
依题意得，解得
故这个两位数是32，
故选B.
【强化训练3】一个四位数从中间分开变成两个两位数，这两个两位数的和为38，差为2，则这个四位数是 ．
【答案】或．
【解析】解：设分开的两个两位数分别为和，
则，解得，
故这个四位数为或．
答案为：或．
【强化训练4】把这九个数填入的方格中，使其任意一行，任意一列及任意对角线上的数之和都相等，这样便构成一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”，（图2）是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则的值为 ．

【答案】-2.
【解析】解：由题意得：，
解得，
∴，
故答案为：．
【强化训练5】一个两位数，个位数字比十位数字大5，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得到的新数与原数的和是143.求原来的两位数．
【答案】
解：个位数字为x，十位数字为y，
由题意，得
解得
答：原来的两位数是49.
【题型3】年龄问题
【典例】甲是乙现在的年龄时，乙8岁，乙是甲现在的年龄时，甲26岁，那么（ ）
A.甲20岁，乙14岁 B.甲22岁，乙16岁 C.乙比甲大18岁 D.乙比甲大34岁
【答案】A
【解析】设甲现在的年龄为x岁，乙现在的年龄为y岁.
依题意得，解.
故选A
【强化训练1】甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁，则（ ）
A.甲比乙大6岁 B.乙比甲大6岁 C.甲比乙大4岁 D.乙比甲大4岁
【答案】C
【解析】解：设甲现在x岁，乙现在y岁．
根据题意，得，
解得，
∴
故选：C
【强化训练2】一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是 岁．
【答案】70
【解析】设爷爷现在x岁，小民现在y岁，
根据题意：，
解得：，
故答案为：70．
【强化训练3】某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁．
【答案】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则
相据该学生和李老师的年龄差不变，
可得
解得
答：今年李老师24岁，该学生13岁．
【题型4】行程问题
【典例】某船顺流航行用，逆流航行用，则水流的速度与船在静水中的速度分别为（ ）
A.， B.， C.， D.，
【答案】A
【解析】解：设水流的速度为，船在静水中的速度为，
根据同意有：，
解得：，
故水流的速度为，船在静水中的速度为，
故选：A．
【强化训练1】甲、乙二人相距42 km，若相向而行，2小时相遇；若同向而行，乙14小时才能追上甲，则甲乙二人每小时各走(　　)
A.12 km,9 km B.9 km,12 km C.10 km,11 km D.11 km,10 km
【答案】B
【解析】
解：设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，由题意，得
解得故选B.
【强化训练2】某同学家到学校之间只有一段上坡和一段平路．如果该同学保持上坡速度50米/分，平路速度70米/分，下坡速度80米/分，那么他从家到学校需要26分钟，从学校回家需要20分钟．则该同学家到学校全程是 　 　米．
【答案】
1500
【解析】
解：设上坡路的长度为x 米，平路的长度为y 米，
根据题意得
解得
∴x+y＝800+700＝1500，
∴该同学家到学校全程是1500米．
【强化训练3】从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度走平路，到达乙地共用55分钟；他返回时，以每小时8千米的速度通过平路，以每小时4千米的速度上山，共用1.5小时，求甲、乙两地的距离．
【答案】解：设平路为x千米，坡路为y千米，
根据题意，得，
解得：，
∴，
∴甲、乙两地的距离为9千米．
【题型5】工程问题
【典例】一个存有一些水的水池，有一个进水口和若干个口径相同的出水口，进水口每分钟进水3立方米，若同时打开进水口和三个出水口，池中水16分钟放完，若同时打开进水口和五个出水口，池中水9分钟放完，池中原有水(　　)
A.288立方米 B.296立方米 C.302立方米 D.316立方米
【答案】A
【解析】
解：设池中原有水为a立方米，出水速度为每分钟x立方米，则有解得即池中原有水288立方米．故选A.
【强化训练1】22名工人按定额共完成1 400件产品，三级工每人定额200件，二级工每人定额50件，若22名工人中只有二、三级工，则(　　)
A.三级工有3人，二级工有19人
B.三级工有2人，二级工有20人
C.三级工有5人，二级工有17人
D.三级工有4人，二级工有18人
【答案】B
【解析】
解：设有二级工x人，三级工y人，根据总人数为22人可列出一个方程；再根据定额共完成1 400件产品＝二级工完成的数＋三级工完成的数，列出第二个方程，解方程组即可．根据题意，得，解得x=20,y=2,即有二级工20人，三级工2人．故选B.
【强化训练2】为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由A，B两个工程小组先后接力完成，A工程小组每天整治12米，B工程小组每天整治8米，共用时20天，设A工程小组整治河道x米，B工程小组整治河道y米，依题意可列方程组（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解：设A工程小组整治河道x米，B工程小组整治河道y米，依题意可得
【强化训练3】李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需________分钟．
【答案】
40
【解析】
解：设李师傅加工1个甲种零件需要x分钟，加工1个乙种零件需要y分钟，根据题中“加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟”列出方程组并解答．依题意，得由①＋②，得7x＋14y＝140，所以x＋2y＝20，则2x＋4y＝40，所以李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需40分钟．故答案是40.
【强化训练4】一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要12天完成．按原计划这项工程要求在7天内完成，现在乙、丙两队先合作若干天，后来为加快进度，甲队也同时加入这项工程，这样比原定时间提前一天完成任务．乙、丙两队合作了多少天？甲队加入后又做了多少天？
【答案】解：设乙、丙两队合作了天，甲队加入后又做了天
根据题意有解得
答：乙、丙两队合作了4天，甲队加入后又做了2天．
【强化训练5】穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米．
(1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？
(2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米，乙组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？
【答案】解：（1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，
由题意得，
解得
答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米；
（2）按此施工进度，还需要：（天），
答：按此施工进度，两组还需要190天完成任务．
【题型6】调配问题
【典例】某校预安排若干间宿舍给七年级男寄宿生住，若每间宿舍住6人，则有4人住不下，若每间住7人，则有1间只住2人且空余8间宿舍．设该校七年级男寄宿生有x人，预安排给七年级男寄宿生的宿舍有y间，则下列方程组正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解：由题意得
【强化训练1】现有大、小两种船，1艘大船与4艘小船一次最多可以载客46名，2艘大船与3艘小船一次最多可以载客57名，某旅游点的船有3艘大船与6艘小船，一次最多可以载客的人数为(　　)
A.129 B.120 C.108 D.96
【答案】D
【解析】
解：应先算出1艘大船的载客量，一艘小船的载客量．等量关系为：1艘大船的载客量＋4×一艘小船的载客量＝46；2×1艘大船的载客量＋3×一艘小船的载客量＝57，依此列出方程求解即可．设1艘大船的载客量为x人，一艘小船的载客量为y人．由题意，可得解得∴3x＋6y＝96.∴3艘大船与6艘小船，一次可以载游客的人数为96人．故选D.
【强化训练2】某配餐公司需用甲、乙两种食材为在校午餐的同学配置营养餐，两种食材的蛋白质含量和碳水化合物含量如下表所示：
若每位中学生每餐需要21单位蛋白质和40单位碳水化合物，那么每餐甲、乙两种食材各多少克恰好满足一个中学生的需要？设每餐需要甲食材x克，乙食材y克，那么可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：由题意可得，
，
故选：C．
【强化训练3】某工厂有A、B、C、D四个小组制造同一型号的螺栓与螺母，A组每天能制造螺栓8个或者螺母10个，B组每天能制造螺栓9个或者螺母12个，C组每天能制造螺栓7个或者螺母11个，D组每天能制造螺栓6个或者螺母7个．现在把一个螺母和一个螺栓配套组装成一个新型零件，则7天中这四个小组最多可组装________个零件．
【答案】
120
【解析】
解：四个工作小组每天能制造螺栓：8＋9＋7＋6＝30(个)，四个工作小组每天能制造螺母：10＋12＋11＋7＝40(个)．设四个工作小组制造螺栓 x 天；四个工作小组制造螺母y天．则解得所以30x＝120.答：7天中这四个小组最多可组装120个零件．故答案为120.
【强化训练4】“建盏”作为一种茶器，是黑瓷的代表，更是南平的一张名片．“建盏”的焙烧方法目前有两种：“柴烧”和“电烧”，制坯的原料是用当地的红土和白土．已知某种同样规格的建盏，一个柴烧的坯体原料红土需要90克，白土需要60克，一个电烧的坯体原料红土需要75克，白土需要75克．在不考虑破损的情况下，某生产车间在一次生产中恰好用了红土1530克，白土1170克．
(1)在这次生产中，“柴烧”和“电烧”建盏各生产多少个？
(2)该车间计划购买礼盒，现有两种礼盒可供选择，A礼盒可装2个建盏，B礼盒可装6个建盏，若要把本次生产的建盏恰好全部装完，且礼盒装满，有几种购买方案？请说明理由．
【答案】解：（1）设这次生产“柴烧”建盏x个，“电烧”建盏y个，根据题意，得
解这个方程组得：，
答：“柴烧”建盏生产12个，“电烧”建盏生产6个．
（2）由（1）可知共生产18个建盏，设A礼盒购买m个，B礼盒购买n个，
根据题意，得 ，
化简得 ，
所以 ，
因为m，n均为非负整数，
所以 ，
所以 ，且n为非负整数，
所以当；
当，
当，
当，
所以共有四种购买方案．
【题型7】销售与购物的问题
【典例】某班为奖励在校运动会上取得好成绩的同学，花了200元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件8元，乙种奖品每件6元．若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则所列方程正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
解：设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，
由题意得
【强化训练1】随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某公司计划购进A，B两种型号的新能源汽车共3台，据了解，2辆A型和1辆B型汽车的进价共计55万元，2辆B型和1辆A型汽车的进价共计50万元，若设每辆A型汽车的价格为x万元，每辆B型汽车的价格为y万元，则可列二元一次方程组为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解：由题意得
【强化训练2】已知甲、乙两种商品原来单价和为160元，因市场变化，销售时甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%，则甲种商品原来的单价是________元，乙种商品原来的单价是_______元．
【答案】
57.6：134.4
【解析】
解：如果设甲商品原来的单价是x元，乙商品原来的单价是y元，那么根据“甲、乙两种商品原来的单价和为160元”可得出方程为x＋y＝160，根据“甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后，两种商品的单价之和比原来的单价之和提高了20%”，可得出方程为x(1－10%)＋y(1＋40%)＝160(1＋20%)．设甲种商品原来的单价是x元，乙种商品原来的单价是y元，依题意得解得 (1－10%)×64＝57.6(元)，(1＋40%)×96＝134.4(元)．即：甲种商品现在的单价是57.6元，乙种商品现在的单价是113.4元．故答案是57.6；102.4.
【强化训练3】“阅见未来，读享人生”．学校本学期准备开展学生阅读活动，并计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，购买15本甲种图书和20本乙种图书共需600元．求甲、乙两种图书每本的价格各是多少元？
【答案】
解：设甲种图书每本的价格是x元，乙种图书每本的价格是y元，
根据题意得
解得
即甲种图书每本的价格是20元，乙种图书每本的价格是15元．
【强化训练4】某商场购进物品后，加价20%作为销售价．商场为了搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到六折和九折，共付款360元，两种商品原销售价之和为540元，两种商品的进价分别是多少元．
【答案】
解：设甲种商品进价为x元，乙种商品进价为y元．
根据题意，得,
化简得解得
答：甲种商品进价为350元，乙种商品进价为100元．
【题型8】运输问题
【典例】某货运公司有大、小两种货车，已知9辆小货车一次运货的质量比7辆大货车少6吨，11辆小货车一次运货的质量比7辆大货车一次运货的质量多2吨，则1辆小货车一次可以运货的质量为（　　）
A.6吨 B.5吨 C.4吨 D.3吨
【答案】C
【解析】
解：设1辆小货车一次可以运货的质量为x吨，1辆大货车一次可以运货的质量为y吨，
根据题意得
解得
∴1辆小货车一次可以运货的质量为4吨．
【强化训练1】现有x辆载重6吨的卡车运一批重y吨的货物，若每辆卡车装5吨，则剩下2吨货物；若每辆卡车装满后，最后一辆卡车只需装4吨，即可装满所有货物．根据题意，可列方程（组）（　　）
A.5x+2＝6（x﹣1）+4 B.5x+2＝6x﹣4 C. D.
【答案】A
【解析】
解：根据每辆卡车装5吨，则剩下2吨货物，可得y﹣5x＝2，即y＝5x+2，
根据每辆卡车装满后，最后一辆卡车只需装4吨，即可装满所有货物，可得y﹣6（x﹣1）＝4，
∴得一元一次方程为5x+2＝6（x﹣1）+4或者方程组为故选项A符合题意．
【强化训练2】4辆小货车与7辆大卡车一次能运37吨，6辆小货车和3辆大卡车一次能运货18吨，问1辆小货车和1辆大卡车一次共运货　 　吨．
【答案】
5.5
【解析】
解：设1辆小货车一次能运货x吨，1辆大卡车一次能运货y吨，
由题意得
①+②得10（x+y）＝55，
∴x+y＝5.5，
即1辆小货车和1辆大卡车一次共运货5.5吨.
【强化训练3】四辆手推车和五辆卡车一次能运货27吨，十辆手推车和三辆卡车一次能运货20吨，则一辆手推车一次能运货______吨，一辆卡车一次能运货______吨．
【答案】
0.5，5
【解析】
解：设一辆手推车一次能运货x吨，一辆卡车一次能运货y吨，由题意，得解得故答案为0.5,5.
【强化训练4】天津港是国家重要的战略资源，是我国重要的现代化综合性港口、世界人工深水大港，码头等级达到30万吨，主要由北画、东疆、南疆、大沽口、高沙岭、大港六个港区组成．若港口现有A，B两种海上运输集装箱，已知3个A型与2个B型集装箱可以载重114吨，5个A型和4个B型集装箱可载重202吨．
（1）请问一个A型集装箱和一个B型集装箱分别载重多少吨？
（2）若某公司有1 000吨货物需要海运，计划同时租赁A，B两种集装箱一次运完，假设A型集装箱海运价格为400元/个，B型集装箱海运价格为300元/个，如果运费为15 500元，A型和B型集装箱各需要多少个？（数量均为整数）
【答案】
解：（1）设一个A型集装箱载重x吨，一个B型集装箱载重y吨，
由题意得
解得
即一个A型集装箱载重26吨，一个B型集装箱载重18吨.
（2）设A型集装箱需要m个，则B型集装箱需要个，即个，
由题意得400m+300×=15 500，
解得m=35，
当m＝35时，＝5，
即A型集装箱需要35个，B型集装箱需要5个．
【题型9】计费问题
【典例】某城市出租公司规定了3千米内的起步费和超过3千米后每千米的收费标准．张老师一次乘车8千米，花了12元，第二次乘车11千米，花了15.60元，则出租车3千米内的起步费和超过3千米后每千米的收费标准分别是(　　)
A.6元与1.2元 B.5元与1.2元 C.7元与1.5元 D.6元与1.5元
【答案】A
【解析】
解：设出租车3千米内的起步费为x元，超过3千米后每千米的收费标准为y元，根据题意，得,解得答：出租车3千米内的起步费为6元，超过3千米后每千米的收费标准为1.2元．故选A.
【强化训练1】某地出租车计费标准为行程不超过3千米，收费a元；超过3千米，超过部分按每千米b元计算．若行程为5千米，收费为11.20元；若行程为8千米，收费为16元，则a，b的值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解：根据题意利用行程为5千米，收费为11.20元；若行程为8千米，收费为16元，分别得出等式组成方程组求出答案即可．根据题意，可得,解得故选A.
【强化训练2】某市出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费．明明乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
解：设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，根据题意得
【强化训练3】某地出租车计费标准为行程不超过3千米，收费a元；超过3千米，超过部分按每千米b元计算．若行程为5千米，收费为11.20元；若行程为8千米，收费为16元，则a，b的值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解：根据题意利用行程为5千米，收费为11.20元；若行程为8千米，收费为16元，分别得出等式组成方程组求出答案即可．根据题意，可得,解得故选A.
【强化训练4】某市出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费．明明乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
解：设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，根据题意得
【强化训练5】为鼓励居民节约用电，广州市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时（含180千瓦时）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时（含450千瓦时）的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，比第二档的单价每千瓦时提高0．05元． 海珠区的李白同学家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知我市的另一位居民杜甫家今年4、5月份的家庭用电量分别为200和 490千瓦时，请你依据题目条件，计算杜甫家4、5月份的电费分别为多少元？
【答案】解：设基本电价为x元/千瓦时，提高电价为y元/千瓦时，
由题意得， ，
解得： ，
元
则四月份电费为：（元），
五月份电费为：
（元）．
答：杜甫家四月份的电费为122元，五月份的电费为327元．
【强化训练6】小明、小刚经营一家体育器材店，准备去批发市场采购一批乒乓球拍和乒乓球，两人决定打车前往．随着“互联网+”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p元/公里计算，耗时费按q元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价）．小明、小刚两人之前分别用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如表：
如果这次采购也用该打车方式，车速55公里/时，商店距离批发市场11公里，那么打车总费用为多少？
【答案】
解：根据题意得
解得
∴11p+×60p＝11×1+×60×0.5＝17．
即打车总费用为17元.
【题型10】积分问题
【典例】一张试卷只有25道选择题，做对一题得4分，做错1题倒扣1分，某学生做了全部试题共得70分，他做对了(　　)
A.17道 B.18道 C.19道 D.20道
【答案】C
【解析】
解：设做对了x道，做错了y道，则解得即答对了19道．故选C.
【强化训练1】在学校组织的篮球比赛中．积分规则：胜1场记2分，负1场记1分，且每场比赛都要分出胜负，七年级某队在5场比赛中共得到8分，若设该队胜x场，负y场，则可列方程组为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
解：设该队胜x场，负y场，根据题意得
故B项符合题意.
【强化训练2】小明和爸爸一起做投篮游戏，两人商定：小明投中1个得3分，爸爸投中1个得1分，结果两人一共投中20个，两人的得分恰好相等．设小明投中x个，爸爸投中y个，根据题意列方程组为(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解：由于设小明投中x个，爸爸投中y个，题目而两人一共投中20个，由此得到方程x＋y＝20，又爸爸投中1个得1分，两人的得分恰好相等，由此可以得到3x＝y，由它们组成方程组即可求解．∴依题意，得.故选A.
【强化训练3】某足球赛一个赛季共进行了26轮比赛(即每队均需26场)，其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得34分，则这个队在第一赛季中胜、平、负的场数依次是____________．
【答案】
7,13,6
【解析】
解：设这个队在第一赛季中胜了x场，负了y场，平了(y＋7)场，根据总共赛了26场以及共得34分即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．根据题意，得,解得∴y＋6＝13.故答案为7、13、6.
【强化训练4】重庆市某足球特色学校在七年级各班男队开展足球单循环比赛，即每个班男队都与其他各班男队比赛一场，再按各队总积分（即该队所有比赛场得分之和）排列名次．记分办法是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．
（1）比赛中，若七一班男队胜场数的两倍比平场数多1场，总积分为14分，求七一班男队胜了多少场？
（2）已知该校七年级共有16个班，比赛中，若七一班男队的平场数是负场数的整数倍，且总积分为15分，请推算七一班男队最少负了多少场？
【答案】
解：（1）设七一班男队胜了x场，平了y场，
依题意得
解得x＝3，y＝5．
即七一班男队胜了3场.
（2）∵该校七年级共有16个班，
∴七一班男队共比赛15场，
设七一班男队负了z场，则平了kz场，k是整数．
依题意得3×（15﹣kz﹣z）+kz＝15，
解得（2k+3）z＝30．
因为k为整数，所以（2k+3）只能是奇数．即（2k+3）为30的正奇数约数，
所以（2k+3）只可能为1，3，5，15．
当2k+3＝1时，z＝30，不符合题意，舍去；
当2k+3＝3时，k＝0，z＝10；
当2k+3＝5时，k＝1，z＝6；
当2k+3＝15时，k＝6，z＝2．
经比较可知，七一班男队最少负了2场．
【题型11】与几何有关的问题
【典例】如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A′，D′对应，若∠CFE=，设∠CFD′＝x°，∠CFE＝y°，根据题意可得（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
解：根据翻折的性质可得∠DFE＝∠EFD′＝x+y，所以，x+2y＝180，
根据题意，得
【强化训练1】图1是由3个相同小长方形拼成的图形其周长为24 cm，图2中的长方形ABCD内放置10个相同的小长方形，则长方形ABCD的周长为（　　）
A.32 cm B.36 cm C.48 cm D.60 cm
【答案】C
【解析】
解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm，
由图1得4x+4y＝24，
∴x+y＝6，
由图2得，长方形ABCD的长AB表示为(3x+y)cm，宽AD表示为(x+3y)cm，
∴周长为2（3x+y+x+3y）＝8x+8y＝48 (cm).
【强化训练2】如图，在大长方形ABCD中，放入六个相同的小长方形，则阴影部分的面积为（　　）
A.140 cm2 B.96cm2 C.44 cm2 D.16 cm2
【答案】C
【解析】
解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm，
依题意得：，
解得：，
∴阴影部分的面积＝14（x+y）﹣6xy＝14×（8+2）﹣6×8×2＝44（cm2）．
故选：C．
【强化训练3】如图，用10个形状、大小完全相同的小长方形拼成一个大长方形，设每个小长方形的长和宽分别为和，则可列方程组为 ．
【答案】
【解析】
解：设每个小长方形的长和宽分别为和，
由题意得：，
故答案为：．
【强化训练4】探究：已知点，，，为平面直角坐标系内一点．
(1)若线段平移得到线段，其中点与点是对应点，求点的坐标．
(2)将线段平移，使得点与点重合，若，求点的坐标．
拓展：
(3)已知，，，，若平移得到，其中点与点是对应点，求的值．
【答案】
解：（1）线段平移得到线段．其中点与点是对应顶点，，，
线段先向右平移1个单位长度．再向上平移2个单位长度得到线段，
，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的坐标为；
（2）线段平移，使得点与点重合，
，
，点，，，
点的横坐标为，纵坐标为．
点的坐标为；
（3）由题意得，
解得：，
．
【题型12】古代问题
【典例】“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程，则表示的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：表示的方程是：
故选：A．
【强化训练1】在《算法统宗》里记载了一道趣题：
原文：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑!
意思是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问甜、苦果各买几个？
下列是四位同学的解答：
①小明：设苦果买x个，甜果买y个，根据题意可列方程组为
②小刚：设苦果买x个，甜果买y个，根据题意可列方程组为
③小勇：设苦果买x个，甜果买（1000﹣x）个，根据题意可列方程为=999；
④小强：设苦果买x个，甜果买（1 000﹣x）个，根据题意可列方程为=999；
其中，以上解答一定正确的是（　　）
A.①②③ B.②③④ C.①③ D.②④
【答案】C
【解析】解：设苦果买x个，甜果买y个，
∵甜果和苦果共买了1 000个，
∴x+y＝1 000；
∵四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，买甜果苦果共花费999文钱，
∴x+y＝999，
∴根据题意得可列方程组解答①正确；
设苦果买x个，则甜果买（1 000﹣x）个，
∵四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，买甜果苦果共花费999文钱，
∴x+（1 000﹣x）＝999，
∴根据题意可列方程x+（1 000﹣x）＝999，解答③正确．
【强化训练2】一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？这首诗的意思是：一千名官兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，则军官有　 　名，士兵有　 　名．
【答案】
200，800．
【解析】
解：设军官有x名，士兵有y名．
根据题意得：
解得．
故答案为：200，800．
【强化训练3】九宫格，一款数字游戏，起源于《河图洛书》，是中国古代流传下来的图案，被誉为“宇宙魔方”．在如图所示的九宫格中，横向、纵向及对角线上的实数之和相等，则 ， ．
【答案】3 3
【解析】解：依题意得，，
解得，，
故答案为：3，3．
【强化训练4】《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”大意是：3捆上等谷子结出的粮食，再加上6斗，相当于10捆下等谷子结出的粮食；5捆下等谷子结出的粮食，再加上1斗，相当于2捆上等谷子结出的粮食．问：上等谷子和下等谷子每捆各能结出多少斗粮食？
【答案】解：设每捆上等谷子能结出x斗粮食，每捆下等谷子能结出y斗粮食，
根据题意得
解得
即每捆上等谷子能结出8斗粮食，每捆下等谷子能结出3斗粮食．
【强化训练5】老长沙有一首童谣：“杨裕兴的面，奇峰阁的鸭，德园的包子真好呷．”德园包子是湖南长沙地区的传统小吃之一．德园的掌案师傅历来都是技术高超的老师傅，老面发酵，所制包点皮薄馅大、面香浓郁、颜色白净、质地松软、面呈海绵状富有回弹性，口感特有嚼劲．小何到德园买早点，“阿姨，我买8个香菇肉包和5个酸菜包．阿姨说：“一共34元．”付款后，小何说：“阿姨，少买2个酸菜包，换3个香菇肉包吧．阿姨说：“可以，但还需补交5元钱．”
（1）请从他们的对话中求出香菇肉包和酸菜包的单价；
（2）如果小何一共有且全部花掉50元，需要买20个包子，他恰好能买几个香菇肉包呢？
【答案】解：（1）设香菇肉包的单价是x元，酸菜包的单价是y元，
由题意得
解得
即香菇肉包的单价是3元，酸菜包的单价是2元.
（2）设可以买m个香菇肉包，则可以买n个酸菜包，由题意得
解得
即小何能买10个香菇肉包和10个酸菜包．
【题型13】方案问题
【典例】七一中学八年级全体学生378人前往“两弹城”开展红色研学活动，现有大小两种客车可以租赁．已知大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，要使每个人都能上车且各辆车刚好坐满，则租车方案的种数为（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】B
【解析】解：设租大客车x辆，小客车y辆，
由题意可得54x+36y＝378，
整理得x=7﹣y，
∵x，y都是非负整数，
∴或或或
∴共4种租车方案.
【强化训练1】某校为加强爱读书、读好书、善读书的阅读氛围，准备用720元购买图书展示架，可供选择的有A种展示架120元/个，B种展示架180元/个，在资金用尽且可以只买其中一种展示架的情况下，购买方案共有（　　）
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
【答案】C
【解析】解：设购买A种展示架x个，B种展示架y个，由题意可得
当只购买A种展示架时，则有120x＝720，
解得x＝6；
当只购买B种展示架时，则有180y＝720，
解得y＝4；
当购买A和B一起时，则120x+180y＝720，
解得
综上所述，一共有3种购买方案.
【强化训练2】小丽去斗南花市为妈妈准备生日礼物．已知玫瑰花每支3元，百合花每支4元．小明将40元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（　　）
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
【答案】B
【解析】解：设可以购买x支玫瑰花，y支百合花，
依题意，得3x+4y＝40，
∴x＝﹣y．
∵x，y均为正整数，
∴或或
∴小明有3种购买方案．
【强化训练3】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，已知A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元．若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则不同的购买方案共有______种．
【答案】3
【解析】解：该公司购进x辆A型汽车，y辆B型汽车，
根据题意得25x+10y＝200，
∴y＝20﹣x，
又∵x，y均为正整数，
∴或或
∴该公司共有3种不同的购买方案．
【强化训练4】为了更好的开展大课间活动，某班级计划购买跳绳和呼啦圈两种体育用品，已知一个跳绳8元，一个呼啦圈12元．准备用120元钱全部用于购买这两种体育用品（两种都要买且钱全部用完），则该班级的购买方案有 　 　种．
【答案】4
【解析】解：设购买x个跳绳，y个呼啦圈，
依题意得8x+12y＝120，
∴y＝10﹣x．
∵x，y均为正整数，
∴x为3的倍数，
∴或或或
∴该班级共有4种购买方案．
【强化训练5】某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1 000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4 500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7 500元．当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加式方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案．
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上全部销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成，你认为选择哪种方案获利最多，为什么？
【答案】
解：①方案一获利为4 500×140＝630 000(元)．
②方案二获利为7 500×(6×15)＋1 000×(140－6×15)＝675 000＋50 000＝725 000(元)．
③设x天进行粗加工，y天进行精加工，
由题意，得解得
所以方案三获利为7 500×6×10＋4 500×16×5＝810 000(元)．
由于810 000＞725 000＞630 000，所以选择方案三获利最多．
答：选择方案三获利最多．
【强化训练6】本校4月份为“班主任月”，学校开展了一系列“庆祝班主任节日快乐”的活动，并通过悬挂横幅与宣传牌进行专项宣传．已知制作5条横幅与制作2块宣传牌的费用一样，制作1条横幅与3块宣传牌共需850元．
（1）求制作横幅与宣传牌的单价各是多少？
（2）学校计划共用2000元制作横幅和宣传牌（横幅和宣传牌都要有），要求宣传牌不少于3块，请问：可以设计几种制作方案？请写出满足条件的制作方案。
【答案】（1）解：设制作横幅的单价是元，宣传牌的单价是元，
依题意得：
解得：
答：制作横幅的单价是100元，宣传牌的单价是250元。
（2）解：设制作横幅条，宣传牌块，
依题意得：
解得
又，均为正整数，且n≥3，或尝试检验法相应得分）
答：一共有2种制作方案。制作横幅10条，宣传牌4块或者制作横幅5条，宣传牌6块.
【题型14】图表信息问题
【典例】某爱心组织开展图书捐赠活动，以教育助力乡村振兴，如表是本次购买图书的发票，部分数据看不清，根据其他数据求出购买《爱的教育》《边城》的数量分别为（　　）
A.15，10 B.10，15 C.12，13 D.13，12
【答案】A
【解析】解：设购买《爱的教育》x本，《边城》y本，
由题意得：，
解得：，
即购买《爱的教育》15本，《边城》10本，
故选：A．
【强化训练1】“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为（ ）
A.0 B. C.或9 D.9
【答案】A
【解析】解：根据题意得：
，
解得：，
，
故选择：A
【强化训练2】八达岭长城是北京市著名的旅游景点，史称天下九塞之一，是万里长城的精华．五一假期期间，某校七年级历史兴趣小组游览八达岭长城，乘坐缆车的费用如表所示：
已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有18人乘坐缆车，返程时有20人乘坐缆车，他们乘坐缆车的总费用是3320元，则该小组共有 　 　人．
【答案】30．
【解析】解：设该小组共有x人，乘坐缆车往返的有y人，
依题意得：，
解得：，
即该小组共有30人，
故答案为：30．
【强化训练3】下表是某校七﹣九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同，但表格中九年级的两个数据被遮盖了，记得九年级文艺小组活动次数与科技小组活动次数相同．
则九年级科技小组活动的次数是 ．
【答案】5．
【解析】解：设每次文艺小组活动时间为x h，每次科技小组活动的时间为y h．九年级科技小组活动的次数是m次．
由题意 ，
解得 ，
∴1.5m+m＝12.5，
解得m＝5
故答案为：5．
【强化训练4】“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物.一家商店连续两个月销售规格为“10cm”的“冰墩墩”和“雪容融”摆件.销售情况如表所示：
分别求“冰墩墩”和“雪容融”摆件的零售价格.
【答案】解：设“冰墩墩”玩具的零售价格为x元，“雪容融”玩具的零售价格为y元，
依题意得
化简方程组得
①×3得30x+12y=3696，③
②×2得32x+12y=3872，④
④-③得2x=176，
解得x=88，
把x=88代入①得880+4y=1232，
4y=352，
解得y=88，
所以这个方程组的解是
即此款“冰墩墩”玩具的零售价格为88元，“雪容融”玩具的零售价格为88元．
【题型15】利率问题
【典例】某工厂现向银行申请了两种货款，共计35万元，每年需付利息2.25万元，甲种贷款每年的利率是7%，乙种贷款每年的利率是6%，求这两种贷款的数额各是多少．若设甲、乙两种贷款的数额分别为x万元和y万元，则(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解：本题中的两个等量关系为两种货款共35万元和两种货款每年的年利息之和为2.25万元，根据两个等量关系可用二元一次方程组求解．依题意，得解得故选A.
【强化训练1】我国民间流传这样一道数学名题：原题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两少7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两）其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【强化训练2】小明以两种形式分别储蓄了2 000元和1 000元，一年后全部取出，扣除利息所得税(利息×20%)后可得利息43.92元，已知这两种储蓄年利率和为3.24%，则这两种储蓄的年利率分别为__________________．
【答案】
2.25%，0.99%
【解析】
解：本题中的等量关系有两个：年利率之和＝3.24%；税后利息之和＝43.92元，可据此列出二元一次方程组求解．设储蓄2000元和1 000元的年利率分别为x，y，得方程组
，解得故填2.25%,0.99%.
【强化训练3】蔬菜种植专业户王先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请甲、乙两种贷款，共13万元，王先生每年须付利息6 075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，则甲、乙两种贷款分别是______万元和______万元．
【答案】
6.1，6.9
【解析】
解：设甲、乙两种贷款分别是x、y万元，根据甲、乙两种贷款，共13万元可以列出方程x＋y＝13，根据王先生每年须付利息6 075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%可以列出方程6%x＋3.5%y＝0.6075，联立两个方程组成方程组，解方程组即可求出甲、乙两种贷款的数目．设甲、乙两种贷款分别是x、y万元，则6075元＝0.6075万元，依题意得解之得答：甲、乙两种贷款分别是6.1万元，6.9万元．
【强化训练4】嘉林的爸爸为了给他筹备学习新技术的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱．第一种，一年期存取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期存取，这种存款银行利率为年息2.70%．三年后同时取出共得利息303.75元．问嘉林的爸爸两种存款各存入了多少元？
【答案】解：设嘉林的爸爸一年期存了x元，三年期存了y元，
根据题意，得
解得
答：嘉林的爸爸一年期的存了1500元，三年期的存了2500元．人教版（2024）七年级下册 10.3 实际问题与二元一次方程组 题型专练
【题型1】和差倍分问题
【典例】某中学现有学生500人，计划一年后女生在校人数增加，男生在校人数增加，这样，在校学生总数将增加．问该校现有女生和男生的人数分别是（ ）
A.女生180和男生320 B.女生320和男生180 C.女生200和男生300 D.女生300和男生200
【强化训练1】某校团支部组织优秀团员进行垃圾清理和绿色环保宣传，在分发垃圾袋时，若每人发2个垃圾袋，则多6个，若每人发3个垃圾袋，则少6个．设有x个优秀团员，y个垃圾袋．则下列所列方程组不正确的是（　　）
A. B. C. D.
【强化训练2】牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长．这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天．那么可供25头牛吃__________天．
【强化训练3】某校举行运动会时，由若干名同学组成一个13列的长方形彩旗队阵．如果原队阵中增加16人，能组成一个正方形队阵；如果原队阵中减少16人，也能组成一个正方形队阵，则原长方形彩旗队阵中有同学　 　人．
【强化训练4】为了增强学生体质，九年一班决定购进两种体育器材：跳绳和毽子，如果购进3根跳绳和2个毽子共需63元，购进2根跳绳和5个毽子共需75元，求一根跳绳和一个毽子的售价分别是多少元．
【强化训练5】当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多克．已知从吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克．
【题型2】数字问题
【典例】如果一个两位数的十位数字和个位数字之和是，则这样的两位数有（ ）个．
A. B. C. D.
【强化训练1】已知两数x、y之和是10，x比y的2倍大1，则这两个数的平方和等于（　　）
A.73 B.37 C.58 D.85
【强化训练2】有一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字之和为5，且十位上的数字比个位上的数字的2倍少1，则符合条件的两位数是（ ）
A.23 B.32 C.14 D.41
【强化训练3】一个四位数从中间分开变成两个两位数，这两个两位数的和为38，差为2，则这个四位数是 ．
【强化训练4】把这九个数填入的方格中，使其任意一行，任意一列及任意对角线上的数之和都相等，这样便构成一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”，（图2）是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则的值为 ．

【强化训练5】一个两位数，个位数字比十位数字大5，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得到的新数与原数的和是143.求原来的两位数．
【题型3】年龄问题
【典例】甲是乙现在的年龄时，乙8岁，乙是甲现在的年龄时，甲26岁，那么（ ）
A.甲20岁，乙14岁 B.甲22岁，乙16岁 C.乙比甲大18岁 D.乙比甲大34岁
【强化训练1】甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁，则（ ）
A.甲比乙大6岁 B.乙比甲大6岁 C.甲比乙大4岁 D.乙比甲大4岁
【强化训练2】一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是 岁．
【强化训练3】某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁．
【题型4】行程问题
【典例】某船顺流航行用，逆流航行用，则水流的速度与船在静水中的速度分别为（ ）
A.， B.， C.， D.，
【强化训练1】甲、乙二人相距42 km，若相向而行，2小时相遇；若同向而行，乙14小时才能追上甲，则甲乙二人每小时各走(　　)
A.12 km,9 km B.9 km,12 km C.10 km,11 km D.11 km,10 km
【强化训练2】某同学家到学校之间只有一段上坡和一段平路．如果该同学保持上坡速度50米/分，平路速度70米/分，下坡速度80米/分，那么他从家到学校需要26分钟，从学校回家需要20分钟．则该同学家到学校全程是 　 　米．
【强化训练3】从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度走平路，到达乙地共用55分钟；他返回时，以每小时8千米的速度通过平路，以每小时4千米的速度上山，共用1.5小时，求甲、乙两地的距离．
【题型5】工程问题
【典例】一个存有一些水的水池，有一个进水口和若干个口径相同的出水口，进水口每分钟进水3立方米，若同时打开进水口和三个出水口，池中水16分钟放完，若同时打开进水口和五个出水口，池中水9分钟放完，池中原有水(　　)
A.288立方米 B.296立方米 C.302立方米 D.316立方米
【强化训练1】22名工人按定额共完成1 400件产品，三级工每人定额200件，二级工每人定额50件，若22名工人中只有二、三级工，则(　　)
A.三级工有3人，二级工有19人
B.三级工有2人，二级工有20人
C.三级工有5人，二级工有17人
D.三级工有4人，二级工有18人
【强化训练2】为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由A，B两个工程小组先后接力完成，A工程小组每天整治12米，B工程小组每天整治8米，共用时20天，设A工程小组整治河道x米，B工程小组整治河道y米，依题意可列方程组（　　）
A. B. C. D.
【强化训练3】李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需________分钟．
【强化训练4】一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要12天完成．按原计划这项工程要求在7天内完成，现在乙、丙两队先合作若干天，后来为加快进度，甲队也同时加入这项工程，这样比原定时间提前一天完成任务．乙、丙两队合作了多少天？甲队加入后又做了多少天？
【强化训练5】穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米．
(1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？
(2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米，乙组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？
【题型6】调配问题
【典例】某校预安排若干间宿舍给七年级男寄宿生住，若每间宿舍住6人，则有4人住不下，若每间住7人，则有1间只住2人且空余8间宿舍．设该校七年级男寄宿生有x人，预安排给七年级男寄宿生的宿舍有y间，则下列方程组正确的是（　　）
A. B. C. D.
【强化训练1】现有大、小两种船，1艘大船与4艘小船一次最多可以载客46名，2艘大船与3艘小船一次最多可以载客57名，某旅游点的船有3艘大船与6艘小船，一次最多可以载客的人数为(　　)
A.129 B.120 C.108 D.96
【强化训练2】某配餐公司需用甲、乙两种食材为在校午餐的同学配置营养餐，两种食材的蛋白质含量和碳水化合物含量如下表所示：
若每位中学生每餐需要21单位蛋白质和40单位碳水化合物，那么每餐甲、乙两种食材各多少克恰好满足一个中学生的需要？设每餐需要甲食材x克，乙食材y克，那么可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练3】某工厂有A、B、C、D四个小组制造同一型号的螺栓与螺母，A组每天能制造螺栓8个或者螺母10个，B组每天能制造螺栓9个或者螺母12个，C组每天能制造螺栓7个或者螺母11个，D组每天能制造螺栓6个或者螺母7个．现在把一个螺母和一个螺栓配套组装成一个新型零件，则7天中这四个小组最多可组装________个零件．
【强化训练4】“建盏”作为一种茶器，是黑瓷的代表，更是南平的一张名片．“建盏”的焙烧方法目前有两种：“柴烧”和“电烧”，制坯的原料是用当地的红土和白土．已知某种同样规格的建盏，一个柴烧的坯体原料红土需要90克，白土需要60克，一个电烧的坯体原料红土需要75克，白土需要75克．在不考虑破损的情况下，某生产车间在一次生产中恰好用了红土1530克，白土1170克．
(1)在这次生产中，“柴烧”和“电烧”建盏各生产多少个？
(2)该车间计划购买礼盒，现有两种礼盒可供选择，A礼盒可装2个建盏，B礼盒可装6个建盏，若要把本次生产的建盏恰好全部装完，且礼盒装满，有几种购买方案？请说明理由．
【题型7】销售与购物的问题
【典例】某班为奖励在校运动会上取得好成绩的同学，花了200元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件8元，乙种奖品每件6元．若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则所列方程正确的是（　　）
A. B. C. D.
【强化训练1】随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某公司计划购进A，B两种型号的新能源汽车共3台，据了解，2辆A型和1辆B型汽车的进价共计55万元，2辆B型和1辆A型汽车的进价共计50万元，若设每辆A型汽车的价格为x万元，每辆B型汽车的价格为y万元，则可列二元一次方程组为（　　）
A. B. C. D.
【强化训练2】已知甲、乙两种商品原来单价和为160元，因市场变化，销售时甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%，则甲种商品原来的单价是________元，乙种商品原来的单价是_______元．
【强化训练3】“阅见未来，读享人生”．学校本学期准备开展学生阅读活动，并计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，购买15本甲种图书和20本乙种图书共需600元．求甲、乙两种图书每本的价格各是多少元？
【强化训练4】某商场购进物品后，加价20%作为销售价．商场为了搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到六折和九折，共付款360元，两种商品原销售价之和为540元，两种商品的进价分别是多少元．
【题型8】运输问题
【典例】某货运公司有大、小两种货车，已知9辆小货车一次运货的质量比7辆大货车少6吨，11辆小货车一次运货的质量比7辆大货车一次运货的质量多2吨，则1辆小货车一次可以运货的质量为（　　）
A.6吨 B.5吨 C.4吨 D.3吨
【强化训练1】现有x辆载重6吨的卡车运一批重y吨的货物，若每辆卡车装5吨，则剩下2吨货物；若每辆卡车装满后，最后一辆卡车只需装4吨，即可装满所有货物．根据题意，可列方程（组）（　　）
A.5x+2＝6（x﹣1）+4 B.5x+2＝6x﹣4 C. D.
【强化训练2】4辆小货车与7辆大卡车一次能运37吨，6辆小货车和3辆大卡车一次能运货18吨，问1辆小货车和1辆大卡车一次共运货　 　吨．
【强化训练3】四辆手推车和五辆卡车一次能运货27吨，十辆手推车和三辆卡车一次能运货20吨，则一辆手推车一次能运货______吨，一辆卡车一次能运货______吨．
【强化训练4】天津港是国家重要的战略资源，是我国重要的现代化综合性港口、世界人工深水大港，码头等级达到30万吨，主要由北画、东疆、南疆、大沽口、高沙岭、大港六个港区组成．若港口现有A，B两种海上运输集装箱，已知3个A型与2个B型集装箱可以载重114吨，5个A型和4个B型集装箱可载重202吨．
（1）请问一个A型集装箱和一个B型集装箱分别载重多少吨？
（2）若某公司有1 000吨货物需要海运，计划同时租赁A，B两种集装箱一次运完，假设A型集装箱海运价格为400元/个，B型集装箱海运价格为300元/个，如果运费为15 500元，A型和B型集装箱各需要多少个？（数量均为整数）
【题型9】计费问题
【典例】某城市出租公司规定了3千米内的起步费和超过3千米后每千米的收费标准．张老师一次乘车8千米，花了12元，第二次乘车11千米，花了15.60元，则出租车3千米内的起步费和超过3千米后每千米的收费标准分别是(　　)
A.6元与1.2元 B.5元与1.2元 C.7元与1.5元 D.6元与1.5元
【强化训练1】某地出租车计费标准为行程不超过3千米，收费a元；超过3千米，超过部分按每千米b元计算．若行程为5千米，收费为11.20元；若行程为8千米，收费为16元，则a，b的值为(　　)
A. B. C. D.
【强化训练2】某市出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费．明明乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【强化训练3】某地出租车计费标准为行程不超过3千米，收费a元；超过3千米，超过部分按每千米b元计算．若行程为5千米，收费为11.20元；若行程为8千米，收费为16元，则a，b的值为(　　)
A. B. C. D.
【强化训练4】某市出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费．明明乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【强化训练5】为鼓励居民节约用电，广州市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时（含180千瓦时）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时（含450千瓦时）的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，比第二档的单价每千瓦时提高0．05元． 海珠区的李白同学家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知我市的另一位居民杜甫家今年4、5月份的家庭用电量分别为200和 490千瓦时，请你依据题目条件，计算杜甫家4、5月份的电费分别为多少元？
【强化训练6】小明、小刚经营一家体育器材店，准备去批发市场采购一批乒乓球拍和乒乓球，两人决定打车前往．随着“互联网+”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p元/公里计算，耗时费按q元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价）．小明、小刚两人之前分别用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如表：
如果这次采购也用该打车方式，车速55公里/时，商店距离批发市场11公里，那么打车总费用为多少？
【题型10】积分问题
【典例】一张试卷只有25道选择题，做对一题得4分，做错1题倒扣1分，某学生做了全部试题共得70分，他做对了(　　)
A.17道 B.18道 C.19道 D.20道
【强化训练1】在学校组织的篮球比赛中．积分规则：胜1场记2分，负1场记1分，且每场比赛都要分出胜负，七年级某队在5场比赛中共得到8分，若设该队胜x场，负y场，则可列方程组为（　　）
A. B. C. D.
【强化训练2】小明和爸爸一起做投篮游戏，两人商定：小明投中1个得3分，爸爸投中1个得1分，结果两人一共投中20个，两人的得分恰好相等．设小明投中x个，爸爸投中y个，根据题意列方程组为(　　)
A. B. C. D.
【强化训练3】某足球赛一个赛季共进行了26轮比赛(即每队均需26场)，其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得34分，则这个队在第一赛季中胜、平、负的场数依次是____________．
【强化训练4】重庆市某足球特色学校在七年级各班男队开展足球单循环比赛，即每个班男队都与其他各班男队比赛一场，再按各队总积分（即该队所有比赛场得分之和）排列名次．记分办法是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．
（1）比赛中，若七一班男队胜场数的两倍比平场数多1场，总积分为14分，求七一班男队胜了多少场？
（2）已知该校七年级共有16个班，比赛中，若七一班男队的平场数是负场数的整数倍，且总积分为15分，请推算七一班男队最少负了多少场？
【题型11】与几何有关的问题
【典例】如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A′，D′对应，若∠CFE=，设∠CFD′＝x°，∠CFE＝y°，根据题意可得（　　）
A. B. C. D.
【强化训练1】图1是由3个相同小长方形拼成的图形其周长为24 cm，图2中的长方形ABCD内放置10个相同的小长方形，则长方形ABCD的周长为（　　）
A.32 cm B.36 cm C.48 cm D.60 cm
【强化训练2】如图，在大长方形ABCD中，放入六个相同的小长方形，则阴影部分的面积为（　　）
A.140 cm2 B.96cm2 C.44 cm2 D.16 cm2
【强化训练3】如图，用10个形状、大小完全相同的小长方形拼成一个大长方形，设每个小长方形的长和宽分别为和，则可列方程组为 ．
【强化训练4】探究：已知点，，，为平面直角坐标系内一点．
(1)若线段平移得到线段，其中点与点是对应点，求点的坐标．
(2)将线段平移，使得点与点重合，若，求点的坐标．
拓展：
(3)已知，，，，若平移得到，其中点与点是对应点，求的值．
【题型12】古代问题
【典例】“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程，则表示的方程是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】在《算法统宗》里记载了一道趣题：
原文：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑!
意思是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问甜、苦果各买几个？
下列是四位同学的解答：
①小明：设苦果买x个，甜果买y个，根据题意可列方程组为
②小刚：设苦果买x个，甜果买y个，根据题意可列方程组为
③小勇：设苦果买x个，甜果买（1000﹣x）个，根据题意可列方程为=999；
④小强：设苦果买x个，甜果买（1 000﹣x）个，根据题意可列方程为=999；
其中，以上解答一定正确的是（　　）
A.①②③ B.②③④ C.①③ D.②④
【强化训练2】一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？这首诗的意思是：一千名官兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，则军官有　 　名，士兵有　 　名．
【强化训练3】九宫格，一款数字游戏，起源于《河图洛书》，是中国古代流传下来的图案，被誉为“宇宙魔方”．在如图所示的九宫格中，横向、纵向及对角线上的实数之和相等，则 ， ．
【强化训练4】《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”大意是：3捆上等谷子结出的粮食，再加上6斗，相当于10捆下等谷子结出的粮食；5捆下等谷子结出的粮食，再加上1斗，相当于2捆上等谷子结出的粮食．问：上等谷子和下等谷子每捆各能结出多少斗粮食？
【强化训练5】老长沙有一首童谣：“杨裕兴的面，奇峰阁的鸭，德园的包子真好呷．”德园包子是湖南长沙地区的传统小吃之一．德园的掌案师傅历来都是技术高超的老师傅，老面发酵，所制包点皮薄馅大、面香浓郁、颜色白净、质地松软、面呈海绵状富有回弹性，口感特有嚼劲．小何到德园买早点，“阿姨，我买8个香菇肉包和5个酸菜包．阿姨说：“一共34元．”付款后，小何说：“阿姨，少买2个酸菜包，换3个香菇肉包吧．阿姨说：“可以，但还需补交5元钱．”
（1）请从他们的对话中求出香菇肉包和酸菜包的单价；
（2）如果小何一共有且全部花掉50元，需要买20个包子，他恰好能买几个香菇肉包呢？
【题型13】方案问题
【典例】七一中学八年级全体学生378人前往“两弹城”开展红色研学活动，现有大小两种客车可以租赁．已知大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，要使每个人都能上车且各辆车刚好坐满，则租车方案的种数为（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
【强化训练1】某校为加强爱读书、读好书、善读书的阅读氛围，准备用720元购买图书展示架，可供选择的有A种展示架120元/个，B种展示架180元/个，在资金用尽且可以只买其中一种展示架的情况下，购买方案共有（　　）
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
【强化训练2】小丽去斗南花市为妈妈准备生日礼物．已知玫瑰花每支3元，百合花每支4元．小明将40元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（　　）
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
【强化训练3】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，已知A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元．若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则不同的购买方案共有______种．
【强化训练4】为了更好的开展大课间活动，某班级计划购买跳绳和呼啦圈两种体育用品，已知一个跳绳8元，一个呼啦圈12元．准备用120元钱全部用于购买这两种体育用品（两种都要买且钱全部用完），则该班级的购买方案有 　 　种．
【强化训练5】某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1 000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4 500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7 500元．当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加式方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案．
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上全部销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成，你认为选择哪种方案获利最多，为什么？
【强化训练6】本校4月份为“班主任月”，学校开展了一系列“庆祝班主任节日快乐”的活动，并通过悬挂横幅与宣传牌进行专项宣传．已知制作5条横幅与制作2块宣传牌的费用一样，制作1条横幅与3块宣传牌共需850元．
（1）求制作横幅与宣传牌的单价各是多少？
（2）学校计划共用2000元制作横幅和宣传牌（横幅和宣传牌都要有），要求宣传牌不少于3块，请问：可以设计几种制作方案？请写出满足条件的制作方案。
【题型14】图表信息问题
【典例】某爱心组织开展图书捐赠活动，以教育助力乡村振兴，如表是本次购买图书的发票，部分数据看不清，根据其他数据求出购买《爱的教育》《边城》的数量分别为（　　）
A.15，10 B.10，15 C.12，13 D.13，12
【强化训练1】“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为（ ）
A.0 B. C.或9 D.9
【强化训练2】八达岭长城是北京市著名的旅游景点，史称天下九塞之一，是万里长城的精华．五一假期期间，某校七年级历史兴趣小组游览八达岭长城，乘坐缆车的费用如表所示：
已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有18人乘坐缆车，返程时有20人乘坐缆车，他们乘坐缆车的总费用是3320元，则该小组共有 　 　人．
【强化训练3】下表是某校七﹣九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同，但表格中九年级的两个数据被遮盖了，记得九年级文艺小组活动次数与科技小组活动次数相同．
则九年级科技小组活动的次数是 ．
【强化训练4】“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物.一家商店连续两个月销售规格为“10cm”的“冰墩墩”和“雪容融”摆件.销售情况如表所示：
分别求“冰墩墩”和“雪容融”摆件的零售价格.
【题型15】利率问题
【典例】某工厂现向银行申请了两种货款，共计35万元，每年需付利息2.25万元，甲种贷款每年的利率是7%，乙种贷款每年的利率是6%，求这两种贷款的数额各是多少．若设甲、乙两种贷款的数额分别为x万元和y万元，则(　　)
A. B. C. D.
【强化训练1】我国民间流传这样一道数学名题：原题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两少7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两）其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（　　）
A. B. C. D.
【强化训练2】小明以两种形式分别储蓄了2 000元和1 000元，一年后全部取出，扣除利息所得税(利息×20%)后可得利息43.92元，已知这两种储蓄年利率和为3.24%，则这两种储蓄的年利率分别为__________________．
【强化训练3】蔬菜种植专业户王先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请甲、乙两种贷款，共13万元，王先生每年须付利息6 075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，则甲、乙两种贷款分别是______万元和______万元．
【强化训练4】嘉林的爸爸为了给他筹备学习新技术的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱．第一种，一年期存取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期存取，这种存款银行利率为年息2.70%．三年后同时取出共得利息303.75元．问嘉林的爸爸两种存款各存入了多少元？

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