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（人教2024版）八年级下册数学
《第20章勾股定理》
能力提升卷卷
时间：120分钟 试卷满分：120分
选择题（每小题3分，共10个小题，共30分）
1．△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．（a+b）（a﹣b）＝c2
C．∠A+∠B＝∠C D．
2．已知a，b，c是△ABC的三边长，如果（c﹣5）2+|b﹣12|0，则△ABC是（　　）
A．以a为斜边的直角三角形
B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形
D．不是直角三角形
3．如图，中俄“海上联合﹣2017”军事演习在海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/小时的速度航行，二号舰以16海里/小时速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A，B两点，相距30海里，则二号舰航行的方向是（　　）
A．南偏东30° B．北偏东30° C．南偏东 60° D．南偏西 60°
4．如果一个三角形，三条边的长度之比为，且周长为，那么这个三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，的顶点分别在第一，二象限内，，则n的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（　　）米．
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
7．如图，△OA1A2是等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OA2021的长为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，正方形ABCD中，AB＝6，将△ADE沿AE对折至△AEF，延长EF交BC于点G，G刚好是BC边的中点，则ED的长是（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
9．如图，在一个长方形草坪上，嵌入一根长方体的木条，已知米，米，该木条的较长的棱长与平行，露出地面部分的横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木条到达点C处需要走的最短路程是（ ）
A．13米 B．10米 C．米 D．米
10．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为25，则图2中的长为（　　）

A．3 B．4 C． D．
二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分）
11．如图，S1、S2、S3分别是以Rt△ABC的三边为直径所画半圆的面积，其中S1＝10π，S2＝6π，则S3＝　 ．
12．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O，若，，则 ．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，连接DE，则DE的长是 　 ．
14．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，∠A＝90°，则四边形ABCD面积是 　 　．
15．如图，在中，，，，点为射线上一点，若是直角三角形，则的面积是___________.
16．如图，等边三角形ABC中，D是边BC上一点，过点C作AD的垂线段，垂足为点E，连接BE，若AB＝2，则BE的最小值是　 　．
三、解答题（共8个小题，共72分）
17．（8分）如图，一块四边形花圃ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，CD＝12m，AD＝13m．
（1）求四边形花圃ABCD的面积；
（2）求C到AD的距离．
18．（8分）已知：如图，在中，E是中点，D是上一点，F是上一点，若，且，求证：．
19．（8分）如图，地面上放着一个小凳子（凳宽与地面平行，墙面与地面垂直），点A到地面的距离为．在图①中，一根长的木杆一端与墙角O重合，另一端靠在点A处．
(1)求小凳子顶点A与墙面的距离；
(2)在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处，若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度．
20．（8分）如图所示为直角三角形纸片，，是边上一点．将纸片沿折叠，使点落在点的位置，交于点，且．
(1)求证：是直角三角形．
(2)若，，求折痕的长．
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，且，点B在y轴上，且．

(1)求线段的长；
(2)若点E在线段上，，且，求的值；
(3)在（2）的条件下，过点O作，交于点M，试证明：
22．（9分）定义：若a，b，c是△ABC的三边，且，则称△ABC为“方倍三角形”．
(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ．
A. ①一定是“方倍三角形” B. ②一定是“方倍三角形”
C. ①②都一定是“方倍三角形” D. ①②都一定不是“方倍三角形”
(2)若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边，则该三角形的面积为 ；
(3)如图，△ABC中，，，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连结CD，AD，若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝，求BC的长．
23．（10分）（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．求证：①BD＝CE，②∠DCE＝120°；
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：①∠DCE的度数；②线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．
①则题（2）的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；
②连接BE，若BE＝10，BC＝6，直接写出AE的长．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，B 的坐标分别为 A（0，2），B（8，8），点 C（m，0）为 x 正半轴 上一个动点．
（1）当 m＝4 时，写出线段 AC＝ ，BC＝ ．
（2）当 0＜m＜8 时，求△ABC 的面积．（用含 m 的代数式表示）
（3）当点 C 在运动时，是否存在点 C 使△ABC 为直角三角形，如果存在，请求出这个三角形的面积；如果不存在， 请说明理由．
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《第20章勾股定理》
能力提升卷卷
时间：120分钟 试卷满分：120分
选择题（每小题3分，共10个小题，共30分）
1．△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．（a+b）（a﹣b）＝c2
C．∠A+∠B＝∠C D．
【答案】A．
【分析】根据三角形内角和定理即可判断A、C；如果三角形的三边长a，b，c，满足a2+b2＝c2或a2+c2＝b2或b2+c2＝a2，那么这个三角形就是直角三角形，据此可判断B、D．
【详解】解：A、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴，∠B＝180°60°，∠C＝180°75°，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意；
B、∵（a+b）（a﹣b）＝c2，
∴a2﹣b2＝c2，
∴b2+c2＝a2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∵∠A+∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、∵，
∴设a＝x，，c＝2x，且，
即a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
2．已知a，b，c是△ABC的三边长，如果（c﹣5）2+|b﹣12|0，则△ABC是（　　）
A．以a为斜边的直角三角形
B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形
D．不是直角三角形
【答案】A．
【分析】利用非负数的性质分别求出a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理进行判定即可．
【解答】解：∵a2﹣26a+169＝（a﹣13）2，
∴（c﹣5）2+|b﹣12|（c﹣5）2+|b﹣12|（c﹣5）2+|b﹣12|+|a﹣13|，
∴a＝13，b＝12，c＝5，
∵52+122＝25+144＝169＝132，
∴以a、b、c三边的三角形是以a为斜边的直角三角形，
故选：A．
【点评】本题主要考查非负数的性质及勾股定理的逆定理，利用非负数的性质得出a、b、c的值是解题的关键．
3．如图，中俄“海上联合﹣2017”军事演习在海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/小时的速度航行，二号舰以16海里/小时速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A，B两点，相距30海里，则二号舰航行的方向是（　　）
A．南偏东30° B．北偏东30° C．南偏东 60° D．南偏西 60°
【答案】C．
【分析】直接利用已知得出AO，BO，AB的长，再利用勾股定理的逆定理得出∠BOA的度数，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：BO＝16×1.5＝24（海里），
AO＝12×1.5＝18（海里），AB＝30海里，
则此时：AO2+BO2＝AB2，
故△AOB是直角三角形，
则∠BOA＝90°，
∵∠AOD＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∴2号舰的航行方向是：南偏东60°．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确得出△AOB是直角三角形是解题关键．
4．如果一个三角形，三条边的长度之比为，且周长为，那么这个三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设这个三角形的三条边的长度分别为，根据周长为列出方程并求得三边长度；然后由勾股定理逆定理判定该三角形为直角三角形，由三角形的面积公式作答即可．
【详解】解：设这个三角形的三条边的长度分别为，
∵三角形的周长为，
则，
解得，
则该三角形的三条边的长度分别为，
∵，
则该三角形为直角三角形，两直角边长分别为，
∴面积为: ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程求得三角形的三条边的长度．
5．如图，的顶点分别在第一，二象限内，，则n的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵的顶点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
故选C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟知坐标系中两点距离公式是解题的关键．
6．如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（　　）米．
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】B．
【分析】作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，根据AAS可证△AOF≌△OCG，根据全等三角形的性质可得OG＝4米，在Rt△AFO中，根据勾股定理可求AO，可求OB，再根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B的高度差CE．
【详解】解：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，
∵∠AOC＝∠AOF+∠COG＝90°，
∠AOF+∠OAF＝90°，
∴∠COG＝∠OAF，
在△AOF与△OCG中，
，
∴△AOF≌△OCG（AAS），
∴OG＝AF＝BD＝4米，
设AO＝x米，
在Rt△AFO中，AF2+OF2＝AO2，即42+（x﹣1）2＝x2，
解得x＝8.5．
则CE＝GB＝OB﹣OG＝8.5﹣4＝4.5（米）．
故选：B．
【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
7．如图，△OA1A2是等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OA2021的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B．
【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，依据规律即可得出答案．
【详解】解：∵△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，
∴OA2，
∵△OA2A3为等腰直角三角形，
∴OA3＝2＝（）2；
∵△OA3A4为等腰直角三角形，
∴OA4＝2（）3．
∵△OA4A5为等腰直角三角形，
∴OA5＝4＝（）4，
……
∴OA2021的长为（）2021﹣1＝（）2020，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及等腰直角三角形的性质等知识；熟练应用勾股定理，得出规律是解题的关键．
8．如图，正方形ABCD中，AB＝6，将△ADE沿AE对折至△AEF，延长EF交BC于点G，G刚好是BC边的中点，则ED的长是（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】C．
【分析】根据正方形的性质和折叠的性质，很容易证明△ABG≌△AFG，进而得到BG＝GF，由G是BC的中点，AB＝6，得到GF＝CG＝3，在Rt△ECG中有勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：连接AG，由已知AD＝AF＝AB，且∠AFG＝∠ABG＝∠D＝90°，
∵AG＝AG，
∴△ABG≌△AFG （HL），
∴BG＝GF
∵AB＝BC＝CD＝DA＝6，G是BC的中点，
∴BG＝GF＝GC＝3，
设DE＝x，则EF＝x，EC＝6﹣x，
在Rt△ECG中，由勾股定理得：
（x+3）2＝32+（6﹣x）2，
解得x＝2，即DE＝2．
故选：C．
【点睛】考查正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定和性质、直角三角形的勾股定理等知识，理解折叠的性质、合理的进行转化到一个直角三角形中，是解决此类问题常用的方法．
9．如图，在一个长方形草坪上，嵌入一根长方体的木条，已知米，米，该木条的较长的棱长与平行，露出地面部分的横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木条到达点C处需要走的最短路程是（ ）
A．13米 B．10米 C．米 D．米
【答案】D
【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，解题的关键是将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答．
【详解】解：由题意可知，将木条展开，相当于是个正方形的宽，
∴长为米；宽为6米，
于是最短路径为：（米）．
故选：D．
10．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为25，则图2中的长为（　　）

A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形，由大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积得出，再结合即可得出的值，再根据勾股定理即可求出的长．
【详解】解：由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形，
∵大正方形的面积为25，
∴，
又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积，
∴，
∴，
∴，
∴（负值已舍），
即图2中小正方形的边长为3，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，正确得出大正方形的面积是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分）
11．如图，S1、S2、S3分别是以Rt△ABC的三边为直径所画半圆的面积，其中S1＝10π，S2＝6π，则S3＝　 ．
【答案】4π．
【分析】根据△ABC是直角三角形，得出AC2＝AB2+BC2，再结合半圆的面积表达式可判断出S1＝S2+S3，从而可得出S3．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，所以AC2＝AB2+BC2，
∴π（）2＝（）2+（）2，
即S1＝S2+S3，
又∵S1＝10π，S2＝6π，
所以S3＝10π﹣6π＝4π．
故答案为：4π．
【点评】本题考查的是勾股定理，注意根据圆面积公式结合勾股定理证明：S2+S3＝S1，即直角三角形中，以直角边为直径的两个半圆面积的和等于以斜边为直径的半圆面积．
12．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O，若，，则 ．
【答案】13
【分析】在和中，根据勾股定理得，，进一步得，再根据，可求得的值．
【详解】解：，
，
在和中，根据勾股定理得，
，，
，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，连接DE，则DE的长是 　 ．
【答案】.
【分析】证∠ADE＝∠ACB＝90°，再由勾股定理求出AB的长，然后由面积法求出DE的长即可．
【解答】解：∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴∠ACD＝∠ADC，AE是CD的垂直平分线，
∴CE＝DE，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB15，
∴BD＝AB﹣AD＝6．
∴S△ABC＝S△ACE+S△ABE，
∴AC BCAC CEAB DE，
∴9×12＝9CE+15DE，
解得：DE，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键．
14．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，∠A＝90°，则四边形ABCD面积是 　 　．
【答案】36．
【分析】先根据勾股定理求出BD，进而判断出△BCD是直角三角形，最后用面积的和即可求出四边形ABCD的面积．
【详解】解：如图，连接BD，
在Rt△ABD中，AB＝3，DA＝4，
根据勾股定理得，BD5，
在△BCD中，BC＝12，CD＝13，BD＝5，
∴BC2+BD2＝122+52＝132＝CD2
∴△BCD为直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD
AB ADBC BD
3×412×5
＝36．
故答案为：36．
【点睛】此题主要考查了勾股定理及逆定理，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出△BCD是直角三角形．
15．如图，在中，，，，点为射线上一点，若是直角三角形，则的面积是___________.
【答案】6或
【分析】分两种情况讨论：①当时，根据勾股定理求出的长，即可求出的面积；②当时，设，在Rt中根据勾股定理列方程求出x的值，即可求出的长，进而可求出的面积.
【详解】①当时，E点与C点重合
∵在中，，，
即
②如图，当时，设
在Rt中,
在Rt中，
解得
∴的面积是6或
故答案为：6或
【点睛】本题主要考查了勾股定理和求直角三角形面积，分类讨论是解题的关键.
16．如图，等边三角形ABC中，D是边BC上一点，过点C作AD的垂线段，垂足为点E，连接BE，若AB＝2，则BE的最小值是　 　．
【答案】1
【分析】取AC中点F，连接EF，BF，由等边三角形的性质可得AB＝BC＝AC＝2，AF＝CF＝1，BF⊥AC，由勾股定理可求BF的长，由三角形三边关系可求BE的最小值．
【详解】解：如图，取AC中点F，连接EF，BF，
∵△ABC是等边三角形，点F是AC中点，
∴AB＝BC＝AC＝2，AF＝CF＝1，BF⊥AC
∴BF
∵∠AEC＝90°
∴点E在以AC为直径的圆上，
∴EF＝AF＝1
在△BEF中，BE≥BF﹣EF1
∴当点E在BF上时，BE的最小值为1
故答案为：1
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系，找到BE最小值时点E的位置是本题的关键．
三、解答题（共8个小题，共72分）
17．（8分）如图，一块四边形花圃ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，CD＝12m，AD＝13m．
（1）求四边形花圃ABCD的面积；
（2）求C到AD的距离．
【分析】（1）连接AC．根据勾股定理求得AC的长，从而根据勾股定理的逆定理发现直角三角形ACD，就可求得该四边形的面积．
（2）根据等面积法即可求出C到AD的距离．
【解答】解：连接AC．
∵∠B＝90°，
∴cm．
∵52+122＝132，
∴△ADC是直角三角形．
∴S四边形ABCD．
（2）过点C作CH⊥AD于点H，如上图：
根据等面积法得AD CHAC CD，即13×CH5×12，
解得CH，即C到AD的距离是cm．
【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握定理的内容是解题的关键．
18．（8分）已知：如图，在中，E是中点，D是上一点，F是上一点，若，且，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键．
如图：延长到G使，连接证，推出，，求出，再根据勾股定理即可证明结论．
【详解】证明：如图：延长到G使，连接，，
∵E是中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．（8分）如图，地面上放着一个小凳子（凳宽与地面平行，墙面与地面垂直），点A到地面的距离为．在图①中，一根长的木杆一端与墙角O重合，另一端靠在点A处．
(1)求小凳子顶点A与墙面的距离；
(2)在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处，若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度．
【答案】(1)顶点与墙面的距离为；
(2)凳子宽的长度为，木杆的长度为．
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理并结合题意构造直角三角形是解题的关键．
（1）通过作垂线构造直角三角形，利用勾股定理计算小凳子顶点与墙面的距离；
（2）延长线段构造直角三角形，设未知数表示各边长度，再通过勾股定理列方程求解小凳子宽和木杆长．
【详解】（1）解：过作垂直于墙面，垂足，根据题意可得，，
在中，，
即顶点与墙面的距离为；
（2）解：延长交墙面于点，可得，
设，则，，，
在中，，即，
解得，
∴，，
∴凳子宽的长度为，木杆的长度为．
20．（8分）如图所示为直角三角形纸片，，是边上一点．将纸片沿折叠，使点落在点的位置，交于点，且．
(1)求证：是直角三角形．
(2)若，，求折痕的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据等边对等角及对顶角相等得，根据折叠的性质得，再根据直角三角形两锐角互余可推出，即可得证；
（2）如图，过点作于点，根据勾股定理得，根据三角形等积变换得，再结合折叠的性质推出，最后再根据勾股定理可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵将纸片沿折叠，使点落在点的位置，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：如图，过点作于点，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵将纸片沿折叠，使点落在点的位置，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即折痕的长为．
【点睛】本题考查折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的判定，勾股定理等知识点，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，且，点B在y轴上，且．

(1)求线段的长；
(2)若点E在线段上，，且，求的值；
(3)在（2）的条件下，过点O作，交于点M，试证明：
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据即可解决．
（2）先证明得，所以即可解决．
（3）结论：．只要证明，，在中利用勾股定理即可证明．
【详解】（1）在中，
∵，
∴．
（2）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（3）结论：，理由如下：
连接．∵，

∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是寻找全等三角形，属于中考常考题型．
22．（9分）定义：若a，b，c是△ABC的三边，且，则称△ABC为“方倍三角形”．
(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ．
A. ①一定是“方倍三角形” B. ②一定是“方倍三角形”
C. ①②都一定是“方倍三角形” D. ①②都一定不是“方倍三角形”
(2)若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边，则该三角形的面积为 ；
(3)如图，△ABC中，，，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连结CD，AD，若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝，求BC的长．
【答案】(1)A
(2)
(3)
【分析】(1)直接利用“方倍三角形”的定义对等边三角形和直角三角形分别判断即可；
(2)根据勾股定理和“方倍三角形”的定义求得直角三角形的三边长，即可求得直角三角形的面积；
(3)根据题意可得△ABP≌△DBP，根据“方倍三角形”定义可得△ABD为等边三角形，从而证明△APD为等腰直角三角形，可得AP＝DP＝，延长BP交AD于点E，根据勾股定理求出BE的长，根据△PBC为等腰直角三角形，即可求得结论．
【详解】（1）对于①等边三角形，三边相等，
设边长为a，
则，
根据“方倍三角形”定义可知：
等边三角形一定是“方倍三角形”；
对于②直角三角形，三边满足关系式：，
根据“方倍三角形”定义可知：
直角三角形不一定是“方倍三角形”；
故选：A
故答案为：A；
（2）设Rt△ABC其余两条边为a，b，
则满足，
根据“方倍三角形”定义，还满足：，
联立解得，
则Rt△ABC的面积为：；
故答案为：；
（3）由题意可知：，
∴，
根据“方倍三角形”定义可知：
，
∴，
∴△ABD为等边三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴△APD为等腰直角三角形，
∴，
∴．
延长BP交AD于点E，如图，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴．
【点睛】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质．
23．（10分）（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．求证：①BD＝CE，②∠DCE＝120°；
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：①∠DCE的度数；②线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．
①则题（2）的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；
②连接BE，若BE＝10，BC＝6，直接写出AE的长．
【分析】（1）①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，即可得出结论；
②由△ABD≌△ACE以及等边三角形的性质，得出∠ACE＝∠B＝60°，则∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝120°；
（2）先判定△ABD≌△ACE（SAS），得出∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，在Rt△DCE中，根据勾股定理得出CE2+CD2＝DE2，即可得到BD2+CD2＝DE2；
（3）①运用（2）中的方法得出BD2+CD2＝DE2；②根据Rt△BCE中，BE＝10，BC＝6，求得CE＝8，进而得出CD＝8﹣6＝2，在Rt△DCE中，求得DE，最后根据△ADE是等腰直角三角形，即可得出AE的长．
【解答】证明：（1）①如图1，∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠ACB＝∠B＝60°，
∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
②∵△ABD≌△ACE，
∴∠ACE＝∠B＝60°，
∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°；
（2）∠DCE＝90°，BD2+CD2＝DE2．
证明：如图2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝90°，
∴Rt△DCE中，CE2+CD2＝DE2，
∴BD2+CD2＝DE2；
（3）①（2）中的结论还成立．
理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABC＝∠ACE＝45°，BD＝CE，
∴∠ABC+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝90°＝∠ECD，
∴Rt△DCE中，CE2+CD2＝DE2，
∴BD2+CD2＝DE2；
②∵Rt△BCE中，BE＝10，BC＝6，
∴CE8，
∴BD＝CE＝8，
∴CD＝8﹣6＝2，
∴Rt△DCE中，DE，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，B 的坐标分别为 A（0，2），B（8，8），点 C（m，0）为 x 正半轴 上一个动点．
（1）当 m＝4 时，写出线段 AC＝ ，BC＝ ．
（2）当 0＜m＜8 时，求△ABC 的面积．（用含 m 的代数式表示）
（3）当点 C 在运动时，是否存在点 C 使△ABC 为直角三角形，如果存在，请求出这个三角形的面积；如果不存在， 请说明理由．
【答案】（1），；（2）S△ABC=3m+8；（3）存在m的值为或4或14，使△ABC为直角三角形，面积为或20或50．
【分析】（1）过点B作BE⊥x轴于E，由A、B、C点的坐标可得BE=8、OE=8、AO=2、OC=4，最后根据勾股定理解答即可；
（2）由0＜m＜8可得点C在OE上，然后根据面积关系求解即可；
（3）分∠BAC=90°、∠ABC=90°、∠ACB=90°三种情况，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）如图，过点B作BE⊥x轴于E
∵点A（0，2），点B{8，8），点C（4，0）
∴BE=8，OE=8，AO=2，OC=4，
∴CE=4，
∴，
故填：，；
（2）∵当0＜m＜8
∴点C在OE上时，
∴A（0，2），点B（8，8），点C{m，0）
∴BE=8，OE=8，AO=2，OC=m，
∴
；
∴，S△ABC=3m+8；
（3）当∠BAC=90°时，BC2=AB2+AC2，即64+（8-m）2=64+（8-2）2+4+m2，解得m=
∴；
当∠ACB=90°时，AB2=AC2+BC2，则64+（8-2）2=4+m2+64+{8-m）2，解得m=4，
∴；
当∠ABC=90°时，AC2=AB2+BC2，则4+m2=64+（8-2）2+64+{8-m）2，解得m=14，
∴；
综上：存在m的值为或4或14，使△ABC为直角三角形，面积为或20或50．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想成为解答本题的关键．
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