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2025-2026学年湖北省孝感市汉川外国语学校初中部九年级（上）月考数学试卷（1月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列交通标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A. 经过有交通信号灯的路口，刚好遇到绿灯
B. 在黑板上任意画两条直线，它们恰好平行
C. 在黑板上任意画一个四边形，其内角和为360°
D. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，全都正面朝上
3.下列方程是一元二次方程的是（　　）
A. x+2=1 B. x2+y=2 C. 2x2+x=1 D.
4.关于二次函数y=2（x-3）2+1，下列说法正确的是（　　）
A. 图象的开口向下 B. 图象的对称轴为直线x=-3
C. 图象顶点坐标为（3，-1） D. 当x＜3时，y随x的增大而减小
5.关于反比例函数的图象，下列说法中错误的是（　　）
A. 点（1，-1）在它的图象上 B. 图象位于第二、四象限
C. y随x的增大而增大 D. 图象的两个分支关于原点对称
6.将抛物线y=-3x2平移，得到抛物线y=-3（x-1）2-2，下列平移方式中，正确的是（　　）
A. 向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B. 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
C. 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
D. 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
7.已知⊙O的半径为5cm,点A到圆心O的距离为3cm,则点A与⊙O的位置关系是（　　）
A. 点A在圆内 B. 点A在圆上 C. 点A在圆外 D. 无法判断
8.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（　　）

A. 2 B. 4 C. 4 D. 8
9.一次函数y=ax+c（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＞0；②2a+b=0；③3b-2c＞0；④am2+bm＞a+b（m为实数）.其中正确结论的个数是（　　）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.在平面直角坐标系中，若点A（-1，a）和点B（b,2）关于原点中心对称，则a+b的值为 .
12.若反比例函数的图象有一支位于第一象限，则k的取值范围是 .
13.一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的弧长为______．（结果保留π）
14.已知关于x的方程kx2-（2k-1）x+k-2=0有实数根，则实数k的取值范围是 .
15.观察下列各式：（x-1）（x+1）=x2-1；（x-1）（x2+x+1）=x3-1；（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1；…根据这一规律计算：22020+22019+22018+…+22+2+1的结果是 ．
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
解方程：
（1）x2-4x=0；
（2）2x2-3x+1=0.
17.(本小题6分)
如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A（1，3），B（n,-1）两点.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）请根据图像，直接写出不等式的解集.
18.(本小题6分)
已知关于x的方程y=ax2+bx+3.
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2=6，求m的值.
19.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-2，1），B（-1，3），C（-2，4）.
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标.
20.(本小题8分)
如图，BD是⊙O的直径，A是BD延长线上的一点，点E在⊙O上，BC⊥AE，交AE的延长线于点C，BC交⊙O于点F，且点E是的中点.
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠CBD=60°，BE=6，求BC的长.
21.(本小题8分)
深圳市某中学组织学生开展了“青春心向党，红色永传承”党史知识竞赛，为了解学生对党史的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
（1）本次共抽取了______名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
（2）若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数为______人；
（3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加学校党史报告活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率.
22.(本小题10分)
一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件.
（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）；
（2）每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元；
（3）商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由.
23.(本小题11分)
在数学的研究中，我们常常利用类比联想的思想方法，可以对一些问题进行引申拓展研究，达到“解一题，知一类”的目的.
【题根分析】例如：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系.解题思路：把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，由∠ADG=∠B=90°，得∠FDG=180°，即点F、D、G共线，易证EF、BE、DF之间的数量关系为EF=BE+FD.
【类比引申】
（1）如图2，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D、E是BC边上两点，∠DAE=45°.试猜想BD、DE、EC之间的数量关系.（直接写出你的猜想，不必写出证明过程）
【联想拓展】
（2）如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，点D、E均在BC边上，且∠DAE=30°.若BD=4，EC=6，求DE的长.
24.(本小题12分)
如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A（-4，0）和点B，与y轴交于点C（0，4），连接AC.点P为x轴上方抛物线上一动点（点P不与点C重合），设点P的横坐标为t.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）连接PC，当∠PCA=45°时，求t的值；
（3）设以A，O，C，P为顶点的四边形的面积为S，
①求S关于t的函数解析式；
②根据S的不同取值，试探索点P的个数情况.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】-1
12.【答案】k＞1
13.【答案】2π
14.【答案】k≥-
15.【答案】22021-1
16.【答案】x1=0，x2=4 ，x2=1
17.【答案】y=x+2， x＜-3或0＜x＜1
18.【答案】（1）证明：根据题意可知：Δ=（-2m）2-4（m2-9）=36＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：x1+x2=2m
∴x1+x2=2m=6，
解得m=3．
19.【答案】△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，如图即为所求； △ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2，如图2即为所求；
A2（1，2）
20.【答案】连接OE，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∵点E是的中点，
∴，
∴∠CBE=∠OBE，
∴∠CBE=∠OEB，
∴OE∥BC，
∵BC⊥AC，
∴OE⊥AC，
∵OE是圆的半径，
∴AC是⊙O的切线.
21.【答案】400；补全条形统计图见解答．
800．
．
22.【答案】解：（1）2x ，（40-x）；
（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为（40-x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，
依题意得：（120-x-80）（20+2x）=1200，
整理得：x2-30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20．
又∵需要让利于顾客，
∴x=20．
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元；
（3）商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下：
设每件服装降价y元，则每件的销售利润为（120-y-80）元，平均每天的销售量为（20+2y）件，
依题意得：（120-y-80）（20+2y）=1800，
整理得：y2-30y+500=0．
∵Δ=b2-4ac=（-30）2-4×1×500=-1100＜0，
∴此方程无解，
即不可能每天盈利1800元．
23.【答案】EC2+BD2=DE2
24.【答案】解：（1）∵二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点C（0，4），
∴，
∴，
∴该二次函数的解析式为y=-x2-3x+4；
（2）∵A（-4，0），C（0，4），
∴OA=OC=4，
∴∠OAC=∠OCA=45°．
∵∠PCA=45°，
∴∠PCO=90°，
∴PC⊥OC，
∵OA⊥OC，
∴PC∥OA．如图，
∴点P的纵坐标为4，
∴-x2-3x+4=4，
∴x=0或x=-3，
∴P（-3，4），
∴t=-3．
（3）①令y=0，则-x2-3x+4=0，
∴x=-4或x=1，
∴B（1，0），
∴OB=1．
当点P在AC的上方时，即-4＜t＜0，P（t,-t2-3t+4），
过点P作PD⊥OA于点D，如图，
则PD=-t2-3t+4，OD=-t,
∴AD=OA-OD=4+t,
∴S=S△PAD+S梯形PDOC
=AD PD+（PD+OC）OD
=（4+t）（-t2-3t+4）+（-t2-3t+4+4）×（-t）
=-2t2-8t+8．
当点P在AC的下方时，即0＜t＜1，P（t,-t2-3t+4），
过点P作PE⊥OC于点E，如图，
则PE=t,
∴S=S△OAC+S△OPC=OA OC+OC PE=4×4=t=2t+8．
综上，S关于t的函数解析式为S=；
②当-4＜t＜0时，S=-2t2-8t+8=-2（t+2）2+16，
∵-2＜0，
∴当t=-2时，S有最大值为16，
∴8＜S≤16．
当0＜t＜1时，S=2t+8，
∴8＜S＜10．
画出函数S=的大致图象如图：
由图象可知：当8＜S＜10时，存在3个符合条件的点P；
当10≤S＜16时，存在2个符合条件的点P；
当S=16时，存在1个符合条件的点P．
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