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第十九章 二次根式
19.2 二次根式的乘法与除法
第1课时 二次根式的乘法
1. 理解和掌握二次根式的乘法法则： (a＞0，b＞0). 经历法则的探究过程，体会合情推理与演绎推理相互补充的辩证关系. (重点)
2. 理解和掌握积的算术平方根的性质： (a＞0，b＞0).体会二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质之间的互逆关系. (重点)
3.利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行计算和化简，提高运算能力，初步要求计算结果达到求简意识.(难点)
长方形面积 ＝
＝
？
面积＝
？
面积＝
？
计算下列各式：
=_________；
(1) ___×___=____；
(3) ___×___=____；
=_________；
=_________.
(2) ___×___=____；
2
3
6
4
5
20
6
7
42
观察两者有什么关系？
探究点1：二次根式的乘法法则
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
思考 能用字母表示你所发现的规律吗？
(1)
(2)
(3)
猜测：
你能证明这个猜测吗？
探究点1：二次根式的乘法法则
(a≥0，b≥0)
证明：根据积的乘方法则，有
∴
就是 ab 的算术平方根.
又∵ 表示 ab 的算术平方根，
∴ .
求证：
探究点1：二次根式的乘法法则
面积＝
一般地，二次根式的乘法法则是
二次根式相乘，________不变，
_________相乘.
根指数
被开方数
【知识要点】
探究点1：二次根式的乘法法则
(a≥0，b≥0)
本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数.
例1 计算：
解：
探究点1：二次根式的乘法法则
【练一练】 1. 计算：
总结
当三个及三个以上的二次根式相乘，
解：(1) 原式 =
(2)原式＝
(a≥0，b≥0，k≥0)
探究点1：二次根式的乘法法则
【练一练】2. 计算：
解:
归纳:当二次根式根号外的因数不为 1 时，可类比单项式乘单项式的法则计算，即
想一想 你还记得单项式乘单项式的法则吗？
试回顾如何计算 3a2 · 2a3 = .
6a5
(a≥0,b≥0)
探究点1：二次根式的乘法法则
反过来：
(a≥0，b≥0)
这个性质在有的地方称之为“积的算术平方根的性质”
语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
【知识要点】
探究点2：积的算术平方根的性质
(a≥0，b≥0)
一般地：
解：(1)
例2 化简：
(1) 　　　 　； (2) (a≥0，b≥0)．
(2)
(2) 中4a2b3含有像
4a2，b2，这样开得尽方的因数或因式，把它们开方后移到根号外.
探究点2：积的算术平方根的性质
【练一练】3. 化简：
解：(1)
＝5×12
＝60；
(2)
探究点2：积的算术平方根的性质
(1) 　 ；(2) ； (3) .　　
解：(1)
(2)
(3)
例3 计算：
探究点2：积的算术平方根的性质
1. 把被开方数分解因式(或因数) ；
2. 把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
式(或因数)的算术平方根的积；
化简二次根式的步骤：
【归纳总结】
探究点2：积的算术平方根的性质
3. 如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式
= |a|把这个因式(或因数)开出来，将二次根
式化简 .
【练一练】4. 计算：
解：原式
原式
探究点2：积的算术平方根的性质
(1)
(2)
解：它的面积为:
( m2 )
答：它的面积为 m2.
5. 小明家有一块长方形的地，它的长为 m，
宽为 m，求出它的面积.
探究点2：积的算术平方根的性质
二次根式乘法：
正用：计算
逆用：化简
简单应用
1. 化简 的结果是(　B　)
A. 2 B. 2
C. －2 D. ±2
2. 计算 × 的结果应是(　B　)
A. ± B. 2
C. 4 D. 20
B
B
3. 若 · ＝ ，则(　A　)
A. x≥6 B. x≥0
C. 0≤x≤6 D. x为一切实数
4. 若 ＝m， ＝n，则
＝ (用含m，n的代数式表示).
A
10mn　
(1) × ＝ 　2 　；
(2) · ＝ ；
(3) ＝ .
2 　
2　
156　
5. 计算：
6. [教材变式]计算或化简：
(1) × ；
解：原式＝ .
(2)9 ×(－ )；
解：原式＝－27 .
(3) (m＞0).
解：原式＝3m .
解：原式＝ .
解：原式＝－27 .
解：原式＝3m .

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