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第十九章 二次根式
章末小结
1．二次根式的概念
一般地，形如____(a≥0)的式子叫做二次根式.
对于二次根式的理解：
①带有二次根号；②被开方数是非负数，即 a≥0.
[易错点] 二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义.
2．二次根式的性质：
3．最简二次根式
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次
根式．
(1)被开方数中不含_______；
(2)被开方数中不含能__________的因数或因式．
开得尽方
分母
4．二次根式的乘除法则：
乘法： ＝______(a≥0，b≥0)；
除法： ＝____ (a≥0，b＞0)
被开方数相同
最简二次根式
5．二次根式的加减：
类似合并同类项
逆用也适用.
可以先将二次根式化成_____________，
再将________________的二次根式进行合并．
注意平方差公式与完全平方公式的运用！
6．二次根式的混合运算
有理数的混合运算与类似：先算乘（开）方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.
解：(1) 由题意得
例1 求下列二次根式中字母 a 的取值范围：
(3) ∵ (a + 3)2≥0，∴ a 为全体实数.
(4) 由题意得 ∴ a≥0 且 a ≠ 1.
考点一 二次根式的相关概念及有意义的条件
【方法总结】求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
① 被开方数大于或等于零；
② 被开方数的分母中有字母时， 要保证分母不为零.
1.下列各式： 中，一定是二次根式的有 （ ）
A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个
B
【练一练】
考点一 二次根式的相关概念及有意义的条件
2. 求下列二次根式中字母的取值范围：
解得 -5≤x＜3.
解：(1) 由题意得
∴ x = 4.
(2) 由题意得
考点一 二次根式的相关概念及有意义的条件
例2 若 求 的值.
解：∵
∴ x - 1 = 0，3x + y - 1 = 0，解得 x = 1，y = -2.
则
【解析】根据题意及二次根式与完全平方式的非负性可知 和 均为 0.
考点二 二次根式的性质
初中阶段主要涉及三种非负式： ≥0，| a |≥0，a2≥0. 如果若干个非负式的和为 0 ，那么这若干个非负式都必为 0. 这是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一.
【方法总结】
考点二 二次根式的性质
例3 实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，请化简：
b
a
0
解：由数轴可以确定 a＜0，b＞0，
∴
∴ 原式= - a - (-a ) + b = b.
解析：化简此代数式的关键是能准确地判断 a，b的符号，然后利用绝对值及二次根式的性质化简.
考点二 二次根式的性质
4. 若 1< a < 3，化简 的结果
是 .
2
3.若实数 a，b 满足 则 .
1
5. 将下列各数写成一个非负数的平方的形式：
【练一练】
考点二 二次根式的性质
考点三 二次根式的运算及应用
例4 计算：
解：
二次根式的混合运算的运算顺序与整式的运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，在具体运算中可灵活运用运算律和乘法公式简化运算.
【方法总结】
考点三 二次根式的运算及应用
例5 把两张面积都为 18 的正方形纸片各剪去一个面积为 2 的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸盒．求这个纸盒的侧面积（接缝忽略不计）．
解：
考点三 二次根式的运算及应用
8. 计算：
解：(1) 原式
(2) 原式
6.下列运算正确的是 （　　）
C
7. 若等腰三角形底边长为 ，底边的高为
，则三角形的面积为 .
【练一练】
考点三 二次根式的运算及应用
9. 交警为了估计肇事汽车在出事前的速度，总结出经验公式 ，其中 v 是车速(单位：千米/时)，d 是汽车刹车后车轮滑动的距离(单位：米)，f 是摩擦系数．在某次交通事故调查中，测得 d=20 米，f =1.2，请你帮交警计算一下肇事汽车在出事前的速度．
解：根据题意得 (千米/时)．
答：肇事汽车在出事前的速度是 千米/时．
考点三 二次根式的运算及应用
例6 先化简，再求值： ，其中
.
解：
当 时，原式
解析：先利用分式的加减运算化简式子，然后代入数值计算即可.
考点四 二次根式的化简求值
例7 有这样一道题：“计算 的值，其中x=2026”.小卿把“x=2026”错抄成“x=2062” ，但是她的计算结果仍然是正确的，这是为什么？
解：∵
∴ 无论 x 取何值，原式的值都为 -2.
考点四 二次根式的化简求值
10. 先化简，再求值： ，其中
解：原式
当 时，原式
考点四 二次根式的化简求值
考点五 数学思想方法
分类讨论思想
例8 已知 a 是实数，求 的值.
解： 分三种情况讨论：
当 a≤-2 时，原式=(-a-2)-[-(a-1)]= -a-2+a-1= -3；
当 -2＜a≤1 时，原式= (a + 2) + (a - 1) = 2a + 1；
当 a＞1 时，原式= (a + 2) - (a - 1) = 3.
整体思想
例9 已知 ，求 的值.
解：∵
∴
例10 阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ，善于思考的小明进行了以下探索：
设 (其中 a、b、m、n 均为整数)，则有 这样小明就找到了一种把类似 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
类比思想
(1) 当 a、b、m、n 均为正整数时，若 ，用含 m、n 的式子分别表示 a，b，得
a = ；b = ；
(2) 利用所探索的结论，用完全平方式表示出：
(3) 请化简：
m2 + 3n2
2mn
解：
加、减、乘、除运算
二次根式
性质
二次根式的概念
见教材章末练习

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