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第十九章 二次根式
19.3 二次根式的加法与减法
第1课时 二次根式的加减
1. 理解可以合并的二次根式的含义，会判断几个二次根式是不是可以合并的二次根式.(重点)
2. 理解和掌握二次根式加减的方法，会正确进行二次根式的加减运算.(难点)
3. 通过类比整式的加减法，体会化归思想，提高计算能力，培养认真细致的良好学习习惯.
问题1 满足什么条件的根式是最简二次根式
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
问题2 化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点
化简后被开方数相同
探究点1：可以合并的二次根式
问题1：如何计算 .
整式的加减
找同类项
合并同类项
二次根式的加减
合并同类二次根式
找同类
二次根式
类 比
例如：3a + 2a =
(2 + 1)a = 3a
分析：
问题2：将 与 化为最简二次根式，看看它们可以合并吗？为什么？
（化成最简二次根式）
（利用分配律合并）
， 可以合并，由于它们有共同的因数 ，可以利用分配律进行合并.
分析：
探究点1：可以合并的二次根式
【归纳总结】
一般地，二次根加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并.
合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变. 如：
探究点1：可以合并的二次根式
例1 若 和最简二次根式 可以合并，
则 m＝ .
1. 下列各组二次根式中，化简后能合并的是( )
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【练一练】
3
D
探究点1：可以合并的二次根式
探究点2：二次根式的加减
例2 计算：
(1) ；
(2) ；
解：(1) ；
(2) .
(3)
(3) .
思考：比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论
化为最简
二次根式
用结合律合并
整式
加减
二次根
式性质
结合律
整式加
减法则
基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
思考：如何合并同类二次根式？
合并同类二次根式的方法是：
(1) 化——将非最简二次根式的二次根式化简；
(2) 找——找出被开方数相同的二次根式；
(3) 并——把被开方数相同的二次根式合并.
“一化简二判断三合并”
例3 计算：
(1) ；
(2)
解：(1)
(2)
注意：(1) 若被开方数中含有带分数或者小数，则要先化成 (假) 分数，进而化为最简二次根式；
(2) 原式中若有括号，要先去括号，特别注意需要变号的情况，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
【练一练】
2. 计算：
(1) ；
(2) .
解：(1)
(2)
例4 有一块长 7.5 dm、宽 5 dm 的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是 8 dm2 和 18 dm2 的正方形木板？
7.5 dm
5 dm
S=8dm2
S=18dm2
分析：由图可以看出，只要木板的宽大于大正方形木板的边长，木板的长大于两个正方形木板的边长的和，就能截出所要求的两个正方形木板.
探究点3：二次根式的加减应用
7.5 dm
5 dm
S=8dm2
S=18dm2
解：大正方形木板的边长为 dm.
因为 ＜5，所以这块木板够宽.
两块正方形木板的边长的和为 ( ) dm，而
由 ＜1.5 可知 ＜7.5，
即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，所以这块木板够长.
因此，可以用这块卡板按要求截出两块面积分别是 8 dm 和 18 dm 的正方形木板.
探究点3：二次根式的加减应用
3. 有一个等腰三角形的两边长分别为
求其周长.
分析：题目给的是等腰三角形的两边长，并未确定是底边还是腰，则需分两种情况讨论，
同时要满足三角形三边之间的关系.
探究点3：二次根式的加减应用
【练一练】
解：① 当腰长为 时，
∵
∴此时能构成三角形，周长为
② 当腰长为 时，
∵
∴ 此时能构成三角形，周长为
二次根式的加减
先将二次根式化成_________
再将__________相同的二次根式进行_________
最简二次根式
被开方数
合并
1. 下列二次根式中，能与 合并的是(　C　)
A. B.
C. D.
2. 计算 － 的正确结果是(　D　)
A. 4 B.
C. 2 D.
C
D
3. 下列计算正确的是(　D　)
A. ＋ ＝
B. 3＋ ＝3
C. － ＝
D. － ＝
D
4. 计算：
(1) ＋ ＝ 　7 　；
(2) － ＝ 　3 　.
5. [高频易错]若最简二次根式 与－7 能
够合并，则a＝ .
6. 已知长方形相邻两边长分别为 ， ，则它
的周长是 .
7 　
3 　
5　
14 　
(1) － ＋ ；
解：原式＝2 .
(2) ＋ .
解：原式＝ .
解：原式＝2 .
解：原式＝ .
7. [教材变式]计算：

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