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第十九章 二次根式
19.3 二次根式的加法与减法
第1课时 二次根式的混合运算
1. 掌握混合运算的法则，明确三级运算的顺序，合理使用运算律，能熟练地进行二次根式的混合运算.
(重点)
2. 熟练掌握含有二次根式的多项式乘法公式的应用.
(难点)
3. 通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习习惯，体会类比思想.
如图，为推进绿色亚运城市建设，某市某低碳大厦在矩形屋顶中安装了两块正方形的光伏发电板 A，B，两块光伏板沿屋顶长边恰好并排排列，其面积分别为 18 m2 和 32 m2.
A
B
(1) 光伏板 A，B 的边长分别为 m， m；
(用最简二次根式表示)
(2) 为计算屋顶中未利用区域（阴影部分）的面积，小优是这样计算的：
正确
他的作法正确吗？
问题1：单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则分别是什么
问题2：多项式与单项式的除法法则是什么
m(a + b + c) = ma + mb + mc
(m + n)(a + b) = ma + mb + na + nb
(ma + mb + mc)÷m = a + b + c
探究点1：二次根式的加减应用
分配律
单×多
转化
前面两个问题的思路是：
思考：若把字母 a，b，c，m 都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？
单×单
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.
探究点1：二次根式的加减应用
探究点1：二次根式的加减应用
例1 计算：
(1) ；
(2) .
解：(1)
(2)
归纳总结：二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要先算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行.
探究点1：二次根式的加减应用
例2 计算：
(1) ；
(2) .
解：(1)
(2)
探究点1：二次根式的加减应用
1. 计算：
注意：除号后面有括号的要先算括号里的，不可用分配律！
【练一练】
(1) ；
解：(1) 原式＝
(2) .
(2) 原式＝
＝1.
探究点1：二次根式的加减应用
(3) ；
(3) 原式＝
(4) .
(4) 原式＝
探究点1：二次根式的加减应用
平方差公式：
乘法公式
(a + b)(a - b) = a2 - b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
完全平方公式：
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
整式乘法运算中的乘法公式有哪些
探究点2：二次根式与乘法公式
例3 计算：
(2) ；
(1) .
解：(1)
(2)
2. 计算：
(1) ；
解：(1) 原式＝
(2) ；
(2) 原式＝
【练一练】
= 18 - 48 = -30.
(3) ；
(2) 原式＝
(4) .
(4) 原式＝
= (8 - 9)2 = 1.
二次根式混合运算
运算顺序
运算律
先乘方，后_____，最后______；
如有括号，先做_______的运算，按_______、______、________依次进行
乘除
加减
括号内
小括号
中括号
大括号
二次根式运算使用有理数运算的所有运算律，包括整式乘法法则和乘法公式仍然适用
1. 计算 － × 的结果是(　C　)
A. B.
C. D. 2
C
2. 计算：
(1)(－ )× ＝ ；
(2)(3 －2 )÷6＝ 　 　.
3. (1)计算(－ )(＋ )的结果等于 ；
(2)已知x＝ ＋1，则代数式x2－2x－3的值
是 .
2　
　
－2
1　
4. 计算：
(1) － ÷ ； (2) － ×(2＋ )；
解：原式＝－1.
解：原式＝ .
解：原式＝－1.
(3) ÷ － × ＋ ；
解：原式＝6 －3.
(4)(3＋ )(3－ )－ ÷ .
解：原式＝5.
解：原式＝6 －3.
解：原式＝5.
5. 若将一个长方形的长增加5 cm，宽增加7 cm，就成为一个面积为243cm2的正方形，求原长方
形的面积.
解：∵正方形的面积为243cm2，
∴边长为 ＝9 (cm).
∴原长方形的长为(9 －5 )cm，宽为9 －
7 ＝2 (cm).
∴原长方形的面积为(9 －5 )×2 ＝(54－
10 )(cm2).
解：∵正方形的面积为243cm2，
∴边长为 ＝9 (cm).
∴原长方形的长为(9 －5 )cm，宽为9 －
7 ＝2 (cm).
∴原长方形的面积为(9 －5 )×2 ＝(54－
10 )(cm2).

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