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(共15张PPT)
第十九章 二次根式
综合与实践
纸张规格的奥秘
1. 探究纸张长与宽比值规律及折叠后长方形特征.
(重点)
2. 推导折叠后长方形长与宽比值并证明.(难点)
3.经历观察、计算、分析、归纳等活动过程，培养探究能力和逻辑思维能力.
4.通过数学活动，感受数学与生活的紧密联系，培养应用意识与创新思维.
观察：打印机里的纸张是多大的呢？教科书与课外读物的长与宽是固定的吗，它们之间有什么关系呢？
例1 在探索纸张规格的奥秘的数学活动中，林老师让同学们通过测量、折纸的方式得到 A1，A2，A3，A4，A5，B1，B2，B3，B4，B5 纸的长和宽的数据如下表所示，试猜想 A 型纸和 B 型纸的长与宽的比.
A 型 宽×长
A5 148×210
A4 210×297
A3 297×420
A2 420×594
A1 594×841
B 型 宽×长
B5 182×257
B4 257×364
B3 364×515
B2 515×728
B1 728×1030
探究1：计算纸张长与宽的比值
A 型 宽×长
A5 148×210
A4 210×297
A3 297×420
A2 420×594
A1 594×841
B 型 宽×长
B5 182×257
B4 257×364
B3 364×515
B2 515×728
B1 728×1030
解：420÷297≈1.414，594÷420≈1.414，······，
所以 A 型纸的长与宽的比约为 ：1.
515÷364≈1.415，728÷515≈1.414，······，
所以B 型纸的长与宽的比值约为 ：1.
探究1：计算纸张长与宽的比值
操作2：测量教科书与课外读物的长与宽，看一看它们的长与宽的比是否也有类似确定的关系.
探究1：计算纸张长与宽的比值
归纳总结：发现各规格纸张长与宽比值接近 ，同一类型 (A 型、B 型) 纸张，长与宽比值基本一致，且相邻规格纸张，大规格长、宽分别是小规格宽、长的一定倍数 (如 A4 长 297 是 A5 宽 148 的约 2 倍，A4 宽 210 等于 A5 长)，测量书本等纸张，验证多数符合此规律.
探究1：计算纸张长与宽的比值
探究2：沿中点连线折叠后长方形长与宽比值
A
B
C
D
E
F
解： ，所以长方形 ABFE 仍为长与宽比值为 的长方形，即沿长边中点连线折叠，长与宽的比值不变.
例2 已知长方形 ABCD 长与宽的比值为 ，
设AB＝a，AD＝ a，E、F 分别是 AD、BC 的中点，求长方形ABFE 的长 (AB＝a)、宽 (AE＝ a) 比值，判断是否为 .
探究点3：折叠两次后长方形长与宽的比值
例3 设原长方形 ABCD 的长 AD＝ x，宽 AB＝x，按下图折叠，折痕分别为 AE，EI，推导长方形 GHID的长、宽，计算比值，判断是否为 .
解：由折叠可知，AB＝AG＝x，
所以 GD＝AD－AG＝AD－AB＝ x－x.
所以 DI＝CD－IC
＝x－(x－x)＝2x－x.
所以
所以长方形GHID的长、宽比值还是.
E
纸张规格奥秘
生活联系：书本等纸张验证
比值计算，多数为
折叠探究
中点连线折叠，比值不变
图③方式折叠，比值不变
1. 如图，把两个边长为 1 的小正方形沿对角线剪开，所得的 4 个直角三角形拼成一个面积为 2 的大正方形. 以一个小正方形为例，可以得到一般结论：正方形的对角线与边长的比为 .
A
B
C
D
2.按照国际标准，A 系列纸为长方形，其中 A0 纸的面积为 1 平方米，将 A0 纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将 A1 纸沿长边对折、剪开，便成 A2 纸；将 A2 纸沿长边对折、剪开，便成 A3 纸；将 A3 纸沿长边对折、剪开，便成 A4 纸，···，现将一张 A4 纸按下图所示的方式进行两次折叠(折痕分别是 AB 和 AE )，观察发现点 B 恰好与点 C 重合，求 A4 纸的长、宽的比.
解：设 A4 纸的长为 m，宽为 n.
第一次折叠形成一个正方形，所以 AB＝n；
第二次折叠得到 AB＝AC＝m.
∴n＝m. ∴.
∴A4 纸的长宽的比为 1.
3. 已知 A0 纸的长、宽之比是 ∶1，面积为 1 平方米.估算A0纸的长与宽分别是多少毫米？
(结果取整数， ≈1.414，≈8.4083，≈8.1)
解：因为 A0 纸的长、宽之比是∶1，设 A0 纸的宽为 x 毫米，长为 x 毫米.
因为 A0 纸的面积1 平方米1000 000 平方毫米，
所以 x·x1000 000，解得 x≈841.
所以 ×841≈1 189.
答：A0 纸的长是 1 189 毫米，宽是 841 毫米.

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