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第二十章 勾股定理
20.2 勾股定理的逆定理
及其应用
第1课时 勾股定理的逆定理
1. 理解并掌握勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形. (重点)
2. 探究勾股定理的逆定理的证明方法，感悟数形结合思想的应用.(难点)
3.会认识并判断勾股数，由特殊到一般寻找勾股数规律.
如果∠A +∠B = 90°，那么△ABC 就是一个直角三角形，∠C 为直角.
即有如下的直角三角形的判定方法：
两个角互余的三角形是直角三角形.
思考：如何判定一个三角形是直角三角形？
除了根据角的关系判定，还能根据其他的关系判定吗？
由勾股定理可以知道，直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，反过来，如果三角形的三边长满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方，那么这个三角形是不是直角三角形呢？
A
C
B
a
b
c
如图给出了确定直角的一张方法：把一根长绳打上等距离的 13 个结，然后以 3 个结间距，4 个结间距，5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
这种做法真能得到一个直角三角形吗？
探究点1： 勾股定理的逆定理
3
4
5
32 + 42 = 52
这个三角形三边有什么关系吗？
一般地，满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方的三角形是不是直角三角形呢？
探究点1： 勾股定理的逆定理
观察：(1) 下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长 (单位：cm) 画三角形：
① 2.5，6，6.5； ② 4，7.5，8.5.
(2) 量一量：用量角器分别测量上述各三角形的度数.
2.5
6
6.5
4
7.5
8.5
探究点1： 勾股定理的逆定理
(3) 想一想：判断这些三角形的形状，提出猜想.
如果三角形的三边长 a，b，c 满足
a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
猜想
是直角三角形.
探究点1： 勾股定理的逆定理
△ABC≌△ A′B′C′ 　　
∠C 是直角　　　
△ABC 是直角三角形　　
A　
B　
C　
a
b
c
构造两直角边分别为a，b 的 Rt△A′B′C′
【证一证】
已知：如图，△ABC的三边长 a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC 是直角三角形．
探究点1： 勾股定理的逆定理
证明：作 Rt△A′B′C′，使 B′C′ = a，A′C′ = b，∠C′ = 90°.
所以△ABC≌△A′B′C′(SSS).
因此∠C = ∠C′ = 90°，
即△ABC 是直角三角形.
A
C
a
B
b
c
在△ABC 和△A′B′C′ 中
根据勾股定理，A′B′ 2 = B′C′ 2 + A′C′ 2 = a2 + b2.
因为 a2 + b2 = c2，所以 A′B′ = c .
A
C
a
B
b
c
BC = a = B′C′，AC = b = A′C′，
AB = c = A′B′.
探究点1： 勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长 a，b，c 满足
a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
勾股定理的逆定理
这是判定直角三角形的一个依据.
形
数
探究点1： 勾股定理的逆定理
例1 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是
直角三角形：
(1) a = 15，b = 8，c = 17；
(2) a = 13，b = 14，c = 15.
分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要判断两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
探究点1： 勾股定理的逆定理
解：(1) 因为 82 + 152 = 64 + 225 = 289，172 = 289，
所以 152 + 82 = 172，
(2) 因为 142 + 132 = 196 + 169 = 365，152 = 225，
所以 132 + 142 ≠ 152.
根据勾股定理的逆定理，由线段 a，b，c 组成的三角形是直角三角形.
根据勾股定理的逆定理，由线段 a，b，c 组成的三角形不是直角三角形.
(1) a = 15，b = 8，c = 17；
(2) a = 13，b = 14，c = 15.
探究点1： 勾股定理的逆定理
思维轴
1
找
2
算
3
判
最长边
算出两短边的平方和与最长边的平方
判断等量关系
最长边为斜边，其所对应的角为直角
利用边的关系判断直角三角形
探究点1： 勾股定理的逆定理
【变式题1】若△ABC 的三边 a，b，c 满足
a∶b∶c = 3∶4∶5，试判断 △ABC 的形状.
解：设 a = 3k，b = 4k，c = 5k (k＞0)，
∵ (3k)2 + (4k)2 = 25k2，(5k)2 = 25k2，
∴ (3k)2 + (4k)2 = (5k)2，
∴△ABC 是直角三角形，且∠C 是直角.
归纳：已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.
探究点1： 勾股定理的逆定理
【变式题2】(1) 若△ABC 的三边 a，b，c，且 a + b = 4，ab = 1，c = ，试说明△ABC 是直角三角形.
解：∵ a + b = 4，ab = 1，
∴ a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = 16 - 2 = 14.
又∵ c2 = 14，
∴ a2 + b2 = c2，
∴△ABC 是直角三角形.
探究点1： 勾股定理的逆定理
(2) 若△ABC 的三边 a，b，c 满足
a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c. 试判断△ABC 的形状.
解：∵ a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c，
∴ a2－6a + 9 + b2－8b + 16 + c2－10c + 25 = 0.
即 (a－3) + (b－4) + (c－5) = 0.
∴ a = 3，b = 4，c = 5.∴ a2 + b2 = c2.
∴△ABC 是直角三角形.
探究点1： 勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长 a，b，c 满足
a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数.
探究点2： 勾股数
常见勾股数：
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；
8，15，17；9，40，41；10，24，26 等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数 k ( k 为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
如：3，4，5
6，8，10
扩大 2 倍
【练一练】 1.下列各组数是勾股数的是 ( )
A. 6，8，10 B. 7，8，9
C. 0.3，0.4，0.5 D. 52，122，132
A
方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最大数的平方是否等于其他两数的平方和即可.
勾股定理
的逆定理
内容
作用
注意
如果三角形的三边长 a，b，
c 满足a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形
从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形
最长边不一定是 c，∠C也不一定是直角
勾股数一定是正整数
课堂小结
1. 下列各组数是勾股数的是(　A　)
A. 6，8，10 B. 0.3，0.4，0.5
C. 9，41，47 D. 52，122，132
2. 在△ABC中，AB＝1，AC＝ ，BC＝2，则
这个三角形是(　B　)
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
A
B
3. 已知△ABC的三边长为a，b，c，且a＋b＝7，
ab＝1，c2＝47，试判断△ABC的形状，并说明理由.C是以c为斜边的直角三角形.
解：△ABC是直角三角形.
理由：∵a＋b＝7，ab＝1，
∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝49－2＝47.
又∵c2＝47，
∴a2＋b2＝c2.
∴△ABC是以c为斜边的直角三角形.

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