资源简介

(共21张PPT)
第二十章 勾股定理
20.2 勾股定理的逆定理
及其应用
第2课时 勾股定理的逆定理
的应用
1. 理解勾股定理与其逆定理的区别和联系.
2. 灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题，培养应用数学的意识. (重点)
3. 割补思想、转化思想和数形结合思想的应用.
(难点)
A　
B　
C　
a
b
c
勾股定理：
在 Rt△ABC 中，
若∠C = 90°，
则___________
勾股定理的逆定理：
回顾所学，并完成下列框图.
互逆定理
a2 + b2 = c2
在 △ABC 中，若 a2 + b2 = c2，则△ABC 为直角三角形且∠C = 90°.
在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧.
情境导入
1
2
例1 如图，港口 P 位于东西方向的海岸线上.
“蓝天”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“蓝天”号每小时航行 16 n mile，“海天”号每小时航行 12 n mile. 它们离开港口 1.5 h 后分别位于点 Q，R 处，且相距 30 n mile. 如果“蓝天”号沿东北方向航行，那么“海天”号
沿什么方向航行吗？
N
E
P
Q
R
探究点1：勾股定理的逆定理的实际应用
1
2
N
E
P
Q
R
实际问题：“海天”号沿哪个方向航行？
16×1.5=24
12×1.5=18
30
24
18
30
“蓝天”号沿东北方向
∠1 = 45°
抽象成数学问题
解决实际问题
1
2
N
E
P
Q
R
几何问题：
知______________，
求______________
PQ,PR,QR 的长
∠2 的度数
利用勾股定理逆定理求度数
探究点1：勾股定理的逆定理的实际应用
解：根据题意，
PQ = 16×1.5 = 24，
PR = 12×1.5 = 18，QR = 30.
1
2
N
E
P
Q
R
由“蓝天”号沿东北方向航行可知，∠1 = 45°.
因此∠2 = 45°，即“海天”号沿西北方向航行.
所以∠QPR = 90°.
因为 242 + 182 = 302，即 PQ2 + PR2 = QR2，
探究点1：勾股定理的逆定理的实际应用
归纳总结：
解决实际问题的步骤：
① 构建几何模型（从整体到局部）；
② 标注有用信息，明确已知和所求；
③ 应用数学知识求解.
探究点1：勾股定理的逆定理的实际应用
【变式题】 如图，南北方向PQ以东为某国领海，以西为公海，晚上10时28分，边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向该国沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入该国领海？
东
北
P
A
B
C
Q
D
分析：根据勾股定理的逆定理可得△ABC 是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求 PD，然后再利用勾股定理便可求 CD.
探究点1：勾股定理的逆定理的实际应用
解：∵ AC = 10，AB = 6，BC = 8，
∴ AC2 = AB2 + BC2，
即△ABC 是直角三角形.
设 PQ 与 AC 相交于点 D，根据三
角形面积公式有 BC · AB = AC · BD，
即 6×8 = 10BD，解得 BD =
在Rt△BCD 中，
东
北
P
A
B
C
Q
D
探究点1：勾股定理的逆定理的实际应用
又∵ 该船只的速度为 12.8 海里/时，
6.4÷12.8 = 0.5(小时)= 30(分钟)，
∴ 需要 30 分钟进入我领海，即最早晚上 10 时 58 分进入我领海.
探究点1：勾股定理的逆定理的实际应用
探究点2：勾股定理及其逆定理的综合应用
问题：勾股定理与其逆定理的区别和联系是什么？
区别
联系
(1) 勾股定理是已知直角三角形，得出三边之间的关系；勾股定理的逆定理是已知三角形的三边关系，得出直角三角形.
(2) 勾股定理是直角三角形的性质定理，
而其逆定理是判定定理.
勾股定理及其逆定理都与直角三角形有关.
例2 如图，在四边形 ABCD 中，AB＝5，BC＝3，AD＝ ，DC＝ . 如果 AC⊥BC，判断 AC 与AD 是否也垂直，并说明理由.
分析：若能求出 AC 的长，就可以根据勾股定理或其逆定理判断△ACD 是不是直角三角形，从而判断 AC 是否垂直于 AD.
A
B
C
D
探究点2：勾股定理及其逆定理的综合应用
解：因为 AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.
在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AC ＝AB －BC ＝5 －3 ＝16.
所以 AC＝4.
在△ACD 中，
所以 AC ＋AD ＝CD .
因此△ACD 是直角三角形，即AC⊥AD.
A
B
C
D
探究点2：勾股定理及其逆定理的综合应用
【练一练】 1. 如图，在四边形 ABCD 中，AC⊥DC，△ADC 的面积为 30 cm2，DC＝12 cm，AB＝3cm，
BC＝4 cm，求△ABC 的面积.
解: ∵ S△ACD=30 cm2，DC＝12 cm.
∴ AC = 5 cm.
又∵
∴△ABC 是直角三角形， ∠B 是直角.
∴
D
C
B
A
探究点2：勾股定理及其逆定理的综合应用
2. 如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现
AB＝DC＝8 m，AD ＝ BC ＝6 m，AC ＝9 m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？
解：∵ AB＝DC＝8 m，AD＝BC＝6 m，
∴ AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.
又∵ AC2＝92＝81，
∴ AB2＋BC2≠AC2.
∴ ∠ABC≠90°，
∴ 该农民挖的不合格．
【练一练】
探究点2：勾股定理及其逆定理的综合应用
解：(1) 证明：∵ CD = 1，BC＝ ，BD = 2，
∴ CD2 + BD2 = BC2，∴△BDC 是直角三角形.
(2) 设腰长 AB = AC = x，
在 Rt△ADB 中，∵ AB2 = AD2 + BD2，
∴ x2 = (x - 1)2 + 22，解得
用到了方程的思想
【练一练】3. 如图，△ABC 中，AB = AC，D 是 AC 边上的一点，CD = 1，BC＝ ，BD = 2．
(1) 求证：△BCD 是直角三角形；
(2) 求△ABC 的面积．
∴S△ADB =
A
B
C
D
探究点2：勾股定理及其逆定理的综合应用
勾股定理的逆定理的应用
应用
航海问题
方法
认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆
定理来解决问题
与勾股定理结合解决不规则图形等问题
1. 如图，OA＝6，OB＝8，AB＝10，点A在点O
的北偏西50°方向，则点B在点O的(　A　)
A. 北偏东40°的方向上
B. 北偏东50°的方向上
C. 南偏东40°的方向上
D. 南偏东50°的方向上
A
2. 一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个
三角形最长边上的高线长为 .
　
3. 如图，学校要在一块四边形空地ABCD上种植草
皮，测得∠ABC＝90°，AB＝3m，BC＝4m，
CD＝12m，AD＝13m.若每平方米草皮需要200元，则学校需要投入多少钱？
解：如图，连接AC，∵∠B＝90°，AB＝3m，
BC＝4m，
∴AC＝ ＝ ＝5(m).
∵CD＝12m，AD＝13m，
∴AC2＋CD2＝AD2.
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°.
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝ ×3×4＋
×5×12＝36(m2)，200×36＝7200(元).
∴学校需要投入7200元.

展开更多......

收起↑